Elemento primitivo (coálgebra)

En álgebra, un elemento primitivo de una coálgebra C (sobre un elemento g ) es un elemento x que satisface

${\displaystyle \mu(x)=x\o veces g+g\o veces x}$

donde es la co-multiplicación y g es un elemento de C que se asigna a la identidad multiplicativa 1 del campo base bajo la co-unidad ( g se llama similar a un grupo ). ${\estilo de visualización \mu}$

Si C es una biálgebra , es decir, una coálgebra que también es un álgebra (con ciertas condiciones de compatibilidad satisfechas), entonces generalmente se toma g como 1, la identidad multiplicativa de C. Se dice que la biálgebra C está generada primitivamente si es generada por elementos primitivos (como un álgebra).

Si C es un biálgebra, entonces el conjunto de elementos primitivos forma un álgebra de Lie con el corchete conmutador usual ( conmutador graduado si C es graduado). ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Si A es un álgebra de Hopf co-conmutativa graduada conexa sobre un cuerpo de característica cero, entonces el teorema de Milnor-Moore establece que el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie graduada de elementos primitivos de A es isomorfa a A . (Esto también se cumple bajo requisitos ligeramente más débiles).

• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Primitive_element_in_a_co-algebra