Root of unity

In mathematics, a root of unity is any complex number that yields 1 when raised to some positive integer power n. Roots of unity are used in many branches of mathematics, and are especially important in number theory, the theory of group characters, and the discrete Fourier transform. It is occasionally called a de Moivre number after French mathematician Abraham de Moivre.

Roots of unity can be defined in any field. If the characteristic of the field is zero, the roots are complex numbers that are also algebraic integers. For fields with a positive characteristic, the roots belong to a finite field, and, conversely, every nonzero element of a finite field is a root of unity. Any algebraically closed field contains exactly nnth roots of unity, except when n is a multiple of the (positive) characteristic of the field.

An nth root of unity, where n is a positive integer, is a number z satisfying the equation^[1][2]$${\displaystyle z^{n}=1.}$$ Unless otherwise specified, the roots of unity may be taken to be complex numbers (including the number 1, and the number −1 if n is even, which are complex with a zero imaginary part), and in this case, the nth roots of unity are^[3]$${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

However, the defining equation of roots of unity is meaningful over any field (and even over any ring) F, and this allows considering roots of unity in F. If the characteristic of F is not 0, these roots belong to a finite field. Conversely, every nonzero element in a finite field is a root of unity in that field. See Root of unity modulo n and Finite field for further details.

Se dice que una raíz enésima de la unidad esprimitivo si no es unam-ésima de la unidad para algúnm, es decir si ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{y}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ para }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

Si n es un número primo , entonces todas las raíces enésimas de la unidad, excepto 1, son primitivas. ^{[ 6 ]}

En la fórmula anterior en términos de funciones exponenciales y trigonométricas, las raíces primitivas n- ésimas de la unidad son aquellas para las cuales k y n son enteros coprimos .

Las secciones subsiguientes de este artículo tratarán sobre raíces complejas de la unidad. Para el caso de raíces de la unidad en cuerpos de característica distinta de cero, véase Cuerpo finito §  Raíces de la unidad . Para el caso de raíces de la unidad en anillos de enteros modulares , véase Raíz de la unidad módulo n .

Cada raíz enésima de la unidad z es una raíz enésima primitiva de la unidad para algún a ≤ n , que es el entero positivo más pequeño tal que z ^a = 1 .

Cualquier potencia entera de una raíz enésima de la unidad es también una raíz enésima de la unidad, ^{[ 7 ]} como

${\displaystyle {\bigl (}z^{k}{\bigr )}^{n}=z^{kn}={\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=1^{k}=1.}$

Esto también es cierto para exponentes negativos. En particular, el recíproco de una raíz enésima de la unidad es su conjugado complejo , y también es una raíz enésima de la unidad: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

Si z es una raíz enésima de la unidad y a ≡ b ( mod n ) , entonces z ^a = z ^b . En efecto, por la definición de congruencia módulo n , a = b + kn para algún entero k , y por lo tanto

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}{\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

Por lo tanto, dada una potencia z ^a de z , se tiene z ^a = z ^r , donde 0 ≤ r < n es el resto de la división euclidiana de a por n .

Sea z una raíz primitiva n -ésima de la unidad. Entonces las potencias z , z ² , ..., z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 son raíces n- ésimas de la unidad y son todas distintas. (Si z ^a = z ^b donde 1 ≤ a < b ≤ n , entonces z ^{b − a} = 1 , lo que implicaría que z no sería primitiva). Esto implica que z , z ² , ..., z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 son todas raíces n -ésimas de la unidad, ya que una ecuación polinómica de grado n sobre un cuerpo (en este caso, el cuerpo de los números complejos) tiene como máximo n soluciones.

De lo anterior se deduce que, si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, entonces${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$si y solo si${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$ Si z no es primitivo entonces ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$implica${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$pero lo contrario puede ser falso, como lo muestra el siguiente ejemplo. Si n = 4 , una raíz enésima no primitiva de la unidad es z = −1 , y se tiene${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$, a pesar de${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

Sea z una raíz primitiva n -ésima de la unidad. Una potencia w = z ^k de z es una raíz primitiva a -ésima de la unidad para

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

dónde${\displaystyle \gcd(k,n)}$es el máximo común divisor de n y k . Esto resulta del hecho de que ka es el múltiplo más pequeño de k que también es múltiplo de n . En otras palabras, ka es el mínimo común múltiplo de k y n . Por lo tanto,

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

Por lo tanto, si k y n son coprimos , z ^k también es una raíz primitiva n- ésima de la unidad, y por consiguiente existen φ ( n ) raíces primitivas n- ésimas de la unidad distintas (donde φ es la función totiente de Euler ). Esto implica que si n es un número primo, todas las raíces, excepto +1, son primitivas.

En otras palabras, si R( n ) es el conjunto de todas las raíces n- ésimas de la unidad y P( n ) es el conjunto de las raíces primitivas, R( n ) es una unión disjunta de los P( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

donde la notación significa que d pasa por todos los divisores positivos de n , incluyendo 1 y n .

Dado que la cardinalidad de R( n ) es n , y la de P( n ) es φ ( n ) , esto demuestra la fórmula clásica.

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

La fórmula de De Moivre , que es válida para todos los números reales x y enteros n , es

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Si se establece x = 2π / n , se obtiene una raíz enésima primitiva de la unidad: se obtiene

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

pero

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

para k = 1, 2, …, n − 1 . En otras palabras,

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

es una raíz n- ésima primitiva de la unidad.

Esta fórmula muestra que, en el plano complejo, las raíces enésimas de la unidad se encuentran en los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en el círculo unitario , con un vértice en 1 (véase el gráfico para n = 3 a la derecha). Este hecho geométrico explica el término "ciclotómico" en expresiones como " campo ciclotómico " y "polinomio ciclotómico" ; proviene de las raíces griegas " cyclo " (círculo) y " tomos " (cortar, dividir).

Fórmula de Euler

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

que es válida para todo x real , se puede usar para poner la fórmula para las raíces enésimas de la unidad en la forma

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

De la discusión en la sección anterior se deduce que esta es una raíz n -ésima primitiva si y solo si la fracción k / n está en su mínima expresión; es decir, que k y n son coprimos. Un número irracional que puede expresarse como la parte real de la raíz de la unidad; es decir, como${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$, se denomina número trigonométrico .

Las raíces n -ésimas de la unidad son, por definición, las raíces del polinomio x ⁿ − 1 , y por lo tanto son números algebraicos . Como este polinomio no es irreducible (excepto para n = 1 ), las raíces n -ésimas primitivas de la unidad son raíces de un polinomio irreducible (sobre los enteros) de menor grado, llamado polinomio ciclotómico n -ésimo , y a menudo denotado Φ _n . El grado de Φ _n viene dado por la función totiente de Euler , que cuenta (entre otras cosas) el número de raíces n- ésimas primitivas de la unidad. ^{[ 9 ]} Las raíces de Φ _n son exactamente las raíces n -ésimas primitivas de la unidad.

La teoría de Galois se puede utilizar para demostrar que los polinomios ciclotómicos se pueden resolver convenientemente en términos de radicales. (La forma trivial${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$(No es conveniente, porque contiene raíces no primitivas, como 1, que no son raíces del polinomio ciclotómico, y porque no proporciona las partes real e imaginaria por separado). Esto significa que, para cada entero positivo n , existe una expresión construida a partir de enteros mediante extracciones de raíces, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones (y nada más), de tal manera que las raíces primitivas n -ésimas de la unidad son exactamente el conjunto de valores que se pueden obtener eligiendo valores para las extracciones de raíces ( k valores posibles para una raíz k -ésima). (Para más detalles, véase §  Campos ciclotómicos , más adelante).

Gauss demostró que una raíz enésima primitiva de la unidad puede expresarse utilizando únicamente raíces cuadradas , suma, resta, multiplicación y división si y solo si es posible construir con regla y compás el n -gono regular . Esto se cumple si y solo si n es una potencia de dos o el producto de una potencia de dos y números primos de Fermat distintos.

Si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, lo mismo es cierto para 1/ z y${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$es el doble de la parte real de z . En otras palabras, Φ _n es un polinomio recíproco , el polinomio${\displaystyle R_{n}}$que tiene r como raíz puede deducirse de Φ _n mediante la manipulación estándar de polinomios recíprocos, y las raíces primitivas n -ésimas de la unidad pueden deducirse de las raíces de${\displaystyle R_{n}}$resolviendo la ecuación cuadrática${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$Es decir, la parte real de la raíz primitiva es${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$y su parte imaginaria es${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

El polinomio${\displaystyle R_{n}}$es un polinomio irreducible cuyas raíces son todas reales. Su grado es una potencia de dos, si y solo si n es un producto de una potencia de dos por un producto (posiblemente vacío ) de primos de Fermat distintos, y el n -gono regular es construible con compás y regla. De lo contrario, es resoluble en radicales, pero uno está en el casus irreducible , es decir, toda expresión de las raíces en términos de radicales involucra radicales no reales .

Si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, entonces la secuencia de potencias

… , z ⁻¹ , z ⁰ , z ¹ , …

es n -periódica (porque z ^{j + n} = z ^j z ⁿ = z ^j para todos los valores de j ), y las n secuencias de potencias

s _k : … , z ^{k ⋅(−1)} , z ^{k ⋅0} , z ^{k ⋅1} , …

para k = 1, … , n son todas n -periódicas (porque z ^{k ⋅( j + n )} = z ^{k ⋅ j} ). Además, el conjunto { s ₁ , … , s _n } de estas secuencias es una base del espacio lineal de todas las secuencias n -periódicas. Esto significa que cualquier secuencia n -periódica de números complejos

… , x ₋₁ , x ₀ , x ₁ , …

puede expresarse como una combinación lineal de potencias de una raíz n- ésima primitiva de la unidad:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

para algunos números complejos X ₁ , … , X _n y cada entero j .

Esta es una forma de análisis de Fourier . Si j es una variable de tiempo (discreta), entonces k es una frecuencia y X _k es una amplitud compleja .

Elegir la raíz enésima primitiva de la unidad

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

permite que x _j se exprese como una combinación lineal de coseno y seno :

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

Esta es una transformada discreta de Fourier .

Sea SR( n ) la suma de todas las raíces enésimas de la unidad, primitivas o no. Entonces

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

Esto es una consecuencia inmediata de las fórmulas de Vieta . De hecho, siendo las raíces enésimas de la unidad las raíces del polinomio X ⁿ − 1 , su suma es el coeficiente de grado n − 1 , que es 1 o 0 según si n = 1 o n > 1 .

Alternativamente, para n = 1 no hay nada que demostrar, y para n > 1 existe una raíz z ≠ 1 , puesto que el conjunto S de todas las raíces n -ésimas de la unidad es un grupo , z S = S , por lo que la suma satisface z SR( n ) = SR( n ) , de donde SR( n ) = 0 .

Sea SP( n ) la suma de todas las raíces n- ésimas primitivas de la unidad. Entonces

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius .

En la sección Propiedades elementales , se demostró que si R( n ) es el conjunto de todas las raíces n-ésimas de la unidad y P( n ) es el conjunto de las raíces primitivas, R( n ) es una unión disjunta de los P( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

Esto implica

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

Aplicando la fórmula de inversión de Möbius se obtiene

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

En esta fórmula, si d < n , entonces SR( ⁠ n / d ⁠ ) = 0 , y para d = n : SR( ⁠ n / d ⁠ ) = 1. Por lo tanto, SP( n ) = μ ( n ) .

Este es el caso especial c _n (1) de la suma de Ramanujan c _n ( s ) , ^{[ 10 ]} definida como la suma de las potencias s th de las raíces primitivas n th de la unidad:

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

De la fórmula de suma se deduce una relación de ortogonalidad : para j  = 1, … , n y j′  = 1, … , n

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

donde δ es la delta de Kronecker y z es cualquier raíz n- ésima primitiva de la unidad.

La matriz n × n U cuya entrada ( j , k ) es

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

define una transformada discreta de Fourier . El cálculo de la transformación inversa mediante eliminación gaussiana ^requiere O ( n³ ) operaciones . Sin embargo, de la ortogonalidad se deduce que U es unitaria . Es decir,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

y, por lo tanto, la inversa de U es simplemente el conjugado complejo. (Este hecho fue observado por primera vez por Gauss al resolver el problema de la interpolación trigonométrica ). La aplicación directa de U o su inversa a un vector dado requiere ^O ( n² ) operaciones . Los algoritmos de la transformada rápida de Fourier reducen aún más el número de operaciones a O ( n log n ) .

Los ceros del polinomio

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

son precisamente las raíces n -ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1. El polinomio ciclotómico n -ésimo se define por el hecho de que sus ceros son precisamente las raíces primitivas n -ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1.

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

donde z ₁ , z ₂ , z ₃ , …, z _{φ( n )} son las raíces primitivas n -ésimas de la unidad, y φ( n ) es la función totiente de Euler . El polinomio Φ _n ( z ) tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre los números racionales (es decir, no puede escribirse como el producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes racionales). ^{[ 9 ]} El caso de n primo , que es más fácil que la afirmación general, se obtiene aplicando el criterio de Eisenstein al polinomio.

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

y expandiendo mediante el teorema del binomio .

Cada raíz n -ésima de la unidad es una raíz d -ésima primitiva de la unidad para exactamente un divisor positivo d de n . Esto implica que ^{[ 9 ]}

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

Esta fórmula representa la factorización del polinomio z ⁿ − 1 en factores irreducibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

Aplicando la inversión de Möbius a la fórmula se obtiene

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

donde μ es la función de Möbius . Por lo tanto, los primeros polinomios ciclotómicos son:

Φ ₁ ( z ) = z − 1

Φ ₂ ( z ) = ( z ² − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ − 1)⋅( z ² − 1) ⁻¹ = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ − 1)⋅( z ³ − 1) ⁻¹ ⋅( z ² − 1) ⁻¹ ⋅( z − 1) = z ² − z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ − 1)⋅( z ⁴ − 1) ⁻¹ = z ⁴ + 1

Si p es un número primo , entonces todas las raíces p -ésimas de la unidad, excepto 1, son raíces p -ésimas primitivas. Por lo tanto, ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$ Sustituyendo cualquier entero positivo ≥ 2 por z , esta suma se convierte en una repunidad de base z . Por lo tanto, una condición necesaria (pero no suficiente) para que una repunidad sea prima es que su longitud sea prima.

Nótese que, contrariamente a lo que parece a primera vista, no todos los coeficientes de todos los polinomios ciclotómicos son 0, 1 o −1. La primera excepción es Φ _105. No es de extrañar que se tarde tanto en obtener un ejemplo, porque el comportamiento de los coeficientes depende no tanto de n como de cuántos factores primos impares aparecen en n . Más precisamente, se puede demostrar que si n tiene 1 o 2 factores primos impares (por ejemplo, n  = 150 ), entonces el n -ésimo polinomio ciclotómico solo tiene coeficientes 0, 1 o −1. Por lo tanto, el primer n concebible para el cual podría haber un coeficiente distinto de 0, 1 o −1 es un producto de los tres primos impares más pequeños, y ese es 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 . Esto por sí solo no prueba que el polinomio 105 tenga otro coeficiente, pero sí muestra que es el primero que tiene alguna posibilidad de funcionar (y luego un cálculo de los coeficientes muestra que sí funciona). Un teorema de Schur dice que existen polinomios ciclotómicos con coeficientes arbitrariamente grandes en valor absoluto . En particular, si${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$dónde${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$son primos impares,${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$y t es impar, entonces 1 − t aparece como coeficiente en el n- ésimo polinomio ciclotómico. ^{[ 11 ]}

Se conocen muchas restricciones sobre los valores que pueden tomar los polinomios ciclotómicos en valores enteros. Por ejemplo, si p es primo, entonces d ∣ Φ _p ( d ) si y solo si d ≡ 1 (mod p ) .

Los polinomios ciclotómicos se pueden resolver en radicales , ya que las raíces de la unidad son radicales. Además, existen expresiones radicales más informativas para las raíces enésimas de la unidad con la propiedad adicional ^{[ 12 ]} de que cada valor de la expresión obtenida al elegir valores de los radicales (por ejemplo, los signos de las raíces cuadradas) es una raíz enésima primitiva de la unidad. Esto ya lo demostró Gauss en 1797. ^{[ 13 ]} Existen algoritmos eficientes para calcular dichas expresiones. ^{[ 14 ]}

Las raíces enésimas de la unidad forman, bajo la multiplicación, un grupo cíclico de orden n , y de hecho, estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos del grupo multiplicativo del cuerpo de los números complejos. Un generador de este grupo cíclico es una raíz enésima primitiva de la unidad.

Las raíces n -ésimas de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden n . La relación de ortogonalidad también se deriva de principios de teoría de grupos como se describe en Grupo de caracteres .

Las raíces de la unidad aparecen como entradas de los autovectores de cualquier matriz circulante ; es decir, matrices que son invariantes bajo desplazamientos cíclicos, un hecho que también se deduce de la teoría de representación de grupos como una variante del teorema de Bloch . ^{[ 15 ]} En particular, si se considera una matriz hermitiana circulante (por ejemplo, un laplaciano unidimensional discretizado con fronteras periódicas ^{[ 16 ]} ), la propiedad de ortogonalidad se deduce inmediatamente de la ortogonalidad usual de los autovectores de matrices hermitianas.

Al adjuntar una raíz n -ésima primitiva de la unidad a${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$se obtiene el n -ésimo campo ciclotómico${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$Este campo contiene todas las raíces n- ésimas de la unidad y es el campo de descomposición del n -ésimo polinomio ciclotómico sobre${\displaystyle \mathbb {Q} .}$La extensión del campo${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$tiene grado φ( n ) y su grupo de Galois es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo de unidades del anillo${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

Como el grupo Galois de${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$es abeliano, esta es una extensión abeliana . Todo subcampo de un campo ciclotómico es una extensión abeliana de los racionales. De ello se deduce que toda raíz n -ésima de la unidad puede expresarse en términos de k -raíces, con distintos k que no superan φ( n ). En estos casos, la teoría de Galois puede escribirse explícitamente en términos de periodos gaussianos : esta teoría de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss se publicó muchos años antes que la de Galois. ^{[ 17 ]}

Por el contrario, toda extensión abeliana de los racionales es un subcampo de un campo ciclotómico; este es el contenido de un teorema de Kronecker , generalmente llamado teorema de Kronecker-Weber debido a que Weber completó la demostración.

Para n = 1, 2 , ambas raíces de la unidad 1 y −1 son números enteros .

Para tres valores de n , las raíces de la unidad son enteros cuadráticos :

• Para n = 3, 6 son enteros de Eisenstein ( D = −3 ).
• Para n = 4 son enteros gaussianos ( D = −1 ): ver Unidad imaginaria .

Para otros cuatro valores de n , las raíces primitivas de la unidad no son enteros cuadráticos, pero la suma de cualquier raíz de la unidad con su conjugado complejo (que también es una raíz n -ésima de la unidad) es un entero cuadrático.

Para n = 5, 10 , ninguna de las raíces no reales de la unidad (que satisfacen una ecuación cuártica ) es un entero cuadrático, pero la suma z + z = 2 Re z de cada raíz con su conjugado complejo (también una quinta raíz de la unidad) es un elemento del anillo Z [ ⁠ 1 + √ 5 / 2 ⁠ ] ( D = 5 ). Para dos pares de quintas raíces no reales de la unidad, estas sumas son la razón áurea inversa y la razón áurea negativa .

Para n = 8 , para cualquier raíz de la unidad z + z es igual a 0, ±2 o ± √ 2 ( D = 2 ).

Para n = 12 , para cualquier raíz de la unidad, z + z es igual a 0, ±1, ±2 o ± √ 3 ( D = 3 ).

• Sistema de Argand
• Grupo circular , los números complejos unitarios
• Campo ciclotómico
• Esquema de grupo de las raíces de la unidad
• carácter de Dirichlet
• La suma de Ramanujan
• Vector de Witt
• Personaje de Teichmüller

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001  
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