Grupo de permutaciones primitivas

En matemáticas , un grupo de permutaciones G que actúa sobre un conjunto finito no vacío X se denomina primitivo si G actúa transitivamente sobre X y las únicas particiones que preserva la acción de G son las particiones triviales en un único conjunto o en conjuntos unitarios de | X|. En caso contrario, si G es transitivo y preserva una partición no trivial, se denomina imprimitivo .

Si bien los grupos de permutación primitivos son transitivos, no todos los grupos de permutación transitivos son primitivos. El ejemplo más simple es el grupo de Klein de cuatro elementos que actúa sobre los vértices de un cuadrado, el cual preserva la partición en diagonales. Por otro lado, si un grupo de permutación preserva solo particiones triviales, es transitivo, excepto en el caso del grupo trivial que actúa sobre un conjunto de dos elementos. Esto se debe a que, para una acción no transitiva, o bien las órbitas de G forman una partición no trivial preservada por G , o bien la acción del grupo es trivial, en cuyo caso todas las particiones no triviales de X (que existen para | X | ≥ 3) son preservadas por G.

Esta terminología fue introducida por Évariste Galois en su última carta, en la que utilizó el término francés équation primitive para referirse a una ecuación cuyo grupo de Galois es primitivo. ^{[ 1 ]}

En la misma carta en la que introdujo el término "primitivo", Galois enunció el siguiente teorema: ^{[ 2 ]}

Si G es un grupo primitivo resoluble que actúa sobre un conjunto finito X , entonces el orden de X es una potencia de un número primo p . Además, X puede identificarse con un espacio afín sobre el cuerpo finito con p elementos, y G actúa sobre X como un subgrupo del grupo afín .

Si el conjunto X sobre el que actúa G es finito, su cardinalidad se llama grado de G.

Un corolario de este resultado de Galois es que, si p es un número primo impar, entonces el orden de un grupo transitivo resoluble de grado p es un divisor de${\displaystyle p(p-1).}$De hecho, todo grupo transitivo de grado primo es primitivo (ya que el número de elementos de una partición fijada por G debe ser un divisor de p ), y${\displaystyle p(p-1)}$es la cardinalidad del grupo afín de un espacio afín con p elementos.

De ello se deduce que, si p es un número primo mayor que 3, el grupo simétrico y el grupo alternante de grado p no son resolubles, puesto que su orden es mayor que${\displaystyle p(p-1).}$El teorema de Abel-Ruffini se deriva de esto y del hecho de que existen polinomios con un grupo de Galois simétrico.

Una definición equivalente de primitividad se basa en el hecho de que toda acción transitiva de un grupo G es isomorfa a una acción que surge de la acción canónica de G sobre el conjunto G / H de clases laterales para H un subgrupo de G. Una acción de grupo es primitiva si es isomorfa a G / H para un subgrupo maximal H de G , e imprimitiva en caso contrario (es decir, si existe un subgrupo propio K de G del cual H es un subgrupo propio). Estas acciones imprimitivas son ejemplos de representaciones inducidas .

Robert Carmichael mencionó en 1937 el número de grupos primitivos de pequeño grado:

Hay una gran cantidad de grupos primitivos de grado 16. Como señala Carmichael, todos estos grupos, excepto el grupo simétrico y el grupo alternante , son subgrupos del grupo afín en el espacio de 4 dimensiones sobre el cuerpo finito de 2 elementos .

• Consideremos el grupo simétrico${\displaystyle S_{3}}$actuando en el set${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$y la permutación

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

Ambos${\displaystyle S_{3}}$y el grupo generado por${\displaystyle \eta }$son primitivos.

• Ahora consideremos el grupo simétrico.${\displaystyle S_{4}}$actuando en el set${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$y la permutación

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

El grupo generado por${\displaystyle \sigma }$no es primitivo, ya que la partición${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$dónde${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$y${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$se conserva bajo${\displaystyle \sigma }$, es decir${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$y${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$.

• Todo grupo transitivo de grado primo es primitivo.
• El grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$actuando en el set${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$es primitivo para cada n y el grupo alternante${\displaystyle A_{n}}$actuando en el set${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$es primitivo para todo n > 2.   

• Bloque (teoría de grupos de permutación)
• Teorema de Jordan (grupo simétrico)
• Teorema de O'Nan-Scott , una clasificación de grupos primitivos finitos en varios tipos.

• Roney-Dougal, Colva M. Los grupos de permutación primitivos de grado menor que 2500 , Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154 – 183.
• La biblioteca de datos GAP "Grupos de permutación primitivos" .
• Carmichael, Robert D., Introducción a la teoría de grupos de orden finito. Ginn, Boston, 1937. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1956.
• Todd Rowland. "Acción grupal primitiva" . MathWorld .