Conferencias de Princeton sobre análisis

La serie Princeton Lectures in Analysis consta de cuatro libros de texto de matemáticas , cada uno de los cuales abarca un área diferente del análisis matemático . Fueron escritos por Elias M. Stein y Rami Shakarchi y publicados por Princeton University Press entre 2003 y 2011. Son, en orden: Análisis de Fourier: Una introducción ; Análisis complejo ; Análisis real: Teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert ; y Análisis funcional: Introducción a temas adicionales de análisis .

Stein y Shakarchi escribieron los libros basándose en una serie de cursos intensivos de pregrado que Stein comenzó a impartir en la primavera de 2000 en la Universidad de Princeton . En aquel entonces, Stein era profesor de matemáticas en Princeton y Shakarchi era estudiante de posgrado en matemáticas. Aunque Shakarchi se graduó en 2002, la colaboración continuó hasta la publicación del último volumen en 2011. La serie enfatiza la unidad entre las ramas del análisis y su aplicabilidad a otras áreas de las matemáticas.

La serie de libros de texto "Princeton Lectures in Analysis" ha sido reconocida como una colección bien escrita e influyente, adecuada para estudiantes de pregrado avanzados y estudiantes de posgrado principiantes en matemáticas.

El primer autor, Elias M. Stein , fue un matemático que realizó importantes contribuciones a la investigación en el campo del análisis matemático . Antes del año 2000, había escrito o coescrito varios libros de texto avanzados e influyentes sobre análisis. ^{[ 1 ]}

A partir de la primavera de 2000, Stein impartió una secuencia de cuatro cursos intensivos de pregrado en análisis en la Universidad de Princeton , donde era profesor de matemáticas. Al mismo tiempo, colaboró ​​con Rami Shakarchi, entonces estudiante de posgrado en el departamento de matemáticas de Princeton bajo la tutela de Charles Fefferman , para convertir cada uno de los cursos en un libro de texto. Stein impartió análisis de Fourier en ese primer semestre, y para el otoño de 2000 el primer manuscrito estaba casi terminado. Ese otoño, Stein impartió el curso de análisis complejo mientras él y Shakarchi trabajaban en el manuscrito correspondiente. Paul Hagelstein, entonces investigador postdoctoral en el departamento de matemáticas de Princeton, fue asistente de cátedra para este curso. En la primavera de 2001, cuando Stein pasó al curso de análisis real , Hagelstein reinició la secuencia, comenzando con el curso de análisis de Fourier. Hagelstein y sus estudiantes utilizaron los borradores de Stein y Shakarchi como textos, y les hicieron sugerencias a los autores mientras preparaban los manuscritos para su publicación. ^{[ 2 ]} El proyecto recibió apoyo financiero de la Universidad de Princeton y de la Fundación Nacional de Ciencias . ^{[ 3 ]}

Shakarchi obtuvo su doctorado en Princeton en 2002 ^{[ 4 ]} y se mudó a Londres para trabajar en finanzas. No obstante, continuó trabajando en los libros, incluso cuando su empleador, Lehman Brothers , quebró en 2008. ^{[ 2 ]} Los dos primeros volúmenes se publicaron en 2003. El tercero le siguió en 2005 y el cuarto en 2011. Princeton University Press publicó los cuatro. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Los volúmenes se dividen en siete a diez capítulos cada uno. Cada capítulo comienza con un epígrafe que contextualiza el material y termina con una lista de desafíos para el lector, dividida en ejercicios de dificultad variable y problemas más complejos. A lo largo de la obra, los autores enfatizan la unidad entre las ramas del análisis, haciendo referencia frecuentemente a una rama dentro del libro de otra. También ofrecen aplicaciones de la teoría a otros campos de las matemáticas, en particular a las ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de números . ^{[ 2 ] [ 4 ]}

El análisis de Fourier abarca las transformadas de Fourier discretas , continuas y finitas , así como sus propiedades, incluyendo la inversión. También presenta aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas y otros temas. ^{[ 5 ]} Dado que la integración de Lebesgue no se introduce hasta el tercer libro, los autores utilizan la integración de Riemann en este volumen. ^{[ 4 ]} Comienzan con el análisis de Fourier debido a su papel central en el desarrollo histórico y la práctica contemporánea del análisis. ^{[ 9 ]}

Análisis Complejo trata los temas estándar de un curso de variables complejas, así como varias aplicaciones a otras áreas de las matemáticas. ^{[ 2 ] [ 10 ]} Los capítulos cubren el plano complejo , el teorema integral de Cauchy , las funciones meromorfas , las conexiones con el análisis de Fourier, las funciones enteras , la función gamma , la función zeta de Riemann , las transformaciones conformes , las funciones elípticas y las funciones theta . ^{[ 6 ]}

El análisis real comienza con la teoría de la medida , la integración de Lebesgue y la diferenciación en el espacio euclidiano . Luego abarca los espacios de Hilbert antes de volver a la medida y la integración en el contexto de espacios de medida abstractos . Concluye con un capítulo sobre la medida de Hausdorff y los fractales . ^{[ 7 ]}

Análisis funcional tiene capítulos sobre varios temas avanzados en análisis: espacios L ^p , distribuciones , el teorema de la categoría de Baire , teoría de la probabilidad incluyendo el movimiento browniano , la teoría de funciones de varias variables complejas e integrales oscilatorias . ^{[ 8 ]}

Los libros "recibieron críticas entusiastas que indicaban que todos son obras sobresalientes escritas con notable claridad y cuidado". ^{[ 1 ]} Las críticas elogiaron la exposición, ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 11 ]} identificaron los libros como accesibles e informativos para estudiantes avanzados de pregrado o estudiantes de posgrado de matemáticas, ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 9 ] [ 10 ]} y predijeron que crecerían en influencia al convertirse en referencias estándar para cursos de posgrado. ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 12 ]} William Ziemer escribió que el tercer libro omitía material que esperaba ver en un texto introductorio de posgrado, pero no obstante lo recomendó como referencia. ^{[ 11 ]}

Peter Duren comparó favorablemente el intento de Stein y Shakarchi de ofrecer un tratamiento unificado con el libro de texto de Walter Rudin , Análisis real y complejo , que Duren considera demasiado conciso. Por otro lado, Duren señaló que esto a veces se produce a expensas de temas que residen naturalmente en una sola rama. Mencionó en particular los aspectos geométricos del análisis complejo tratados en el libro de texto de Lars Ahlfors , pero señaló que Stein y Shakarchi también tratan algunos temas que Ahlfors omite. ^{[ 4 ]}

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Análisis de Fourier: Una introducción . Princeton University Press. ISBN 069111384X.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Análisis complejo . Princeton University Press. ISBN 0691113858.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Análisis real: Teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert . Princeton University Press. ISBN 0691113866.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2011). Análisis funcional: Introducción a temas más avanzados en análisis . Princeton University Press. ISBN 9780691113876.

• Libro I en Princeton University Press
• Libro II en Princeton University Press
• Libro III en Princeton University Press
• Libro IV en Princeton University Press