Paquete principal U(1)

En matemáticas , especialmente en geometría diferencial , los principios principales${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-paquetes (o principales)${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$-fibrados ) son fibrados principales especiales con el primer grupo unitario${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$( isomorfo al segundo grupo ortogonal especial${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$) como grupo estructural . Topológicamente, tiene la estructura de la esfera unidimensional , por lo tanto principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$Los haces sin su acción de grupo son en particular haces circulares . Estos son básicamente espacios topológicos con un círculo pegado a cada punto, de modo que todos ellos están conectados entre sí, pero globalmente no son necesariamente un producto y pueden, en cambio, estar retorcidos como una cinta de Möbius .

Principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$Los haces se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, por ejemplo, para la formulación de las ecuaciones de Seiberg-Witten o la homología de Floer monopolar . Dado que${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$es el grupo de calibre de la interacción electromagnética , principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$Los haces también son de interés en la física teórica . Concretamente, el${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$Las ecuaciones de Yang-Mills son exactamente las ecuaciones de Maxwell . En particular, los principales${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-haces sobre la esfera bidimensional${\displaystyle S^{2}}$, que incluyen la fibración de Hopf compleja , pueden usarse para describir monopolos magnéticos hipotéticos en tres dimensiones, conocidos como monopolos de Dirac , véase también la teoría de Yang-Mills bidimensional .

Principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$Los haces son generalizaciones de proyecciones canónicas.${\displaystyle B\times \operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow B}$para espacios topológicos${\displaystyle B}$, de modo que la fuente no sea un producto globalmente, sino solo localmente. Más concretamente, un mapa continuo.${\displaystyle p\colon E\twoheadrightarrow B}$con una acción colectiva continua de derechos${\displaystyle E\times \operatorname {U} (1)\rightarrow E}$, que conserva todas las preimágenes de los puntos, por lo tanto ${\displaystyle p(eg)=p(e)}$a pesar de${\displaystyle e\in E}$y${\displaystyle g\in G}$y también actúa libre y transitivamente sobre todas las preimágenes de puntos, lo que hace que todas ellas sean homeomorfas a${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$, es un director${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-paquete. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dado que los haces principales son, en particular, haces de fibras a los que les falta la acción de grupo, su nomenclatura puede transferirse.${\displaystyle E}$también se le llama el espacio total y${\displaystyle B}$También se le llama espacio base . Las preimágenes de los puntos son entonces las fibras. Dado que${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$es un grupo de Lie , por lo tanto, en particular una variedad diferenciable , el espacio base${\displaystyle B}$A menudo se elige que sea un colector liso también, ya que esto automáticamente hace que el espacio total${\displaystyle E}$también en un colector liso.

Principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-los paquetes se pueden clasificar completamente utilizando el espacio de clasificación${\displaystyle \operatorname {BU} (1)}$del primer grupo unitario${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$, que es exactamente el espacio proyectivo complejo infinito${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }\!}$. Para un espacio topológico${\displaystyle B}$, dejar${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(B)}$denotamos el conjunto de clases de equivalencia de principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-fibrados sobre él, entonces hay una biyección con clases de homotopía : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(B)\cong [B,\operatorname {BU} (1)]\cong [B,\mathbb {C} P^{\infty }].}$

${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$es un complejo CW con su${\displaystyle n}$-ser esqueleto${\displaystyle \mathbb {C} P^{k}}$para el mayor número natural${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$con${\displaystyle 2k\leq n}$. Para un${\displaystyle n}$complejo CW dimensional${\displaystyle B}$, el teorema de aproximación celular ^{[ 4 ]} establece que toda aplicación continua${\displaystyle B\rightarrow \mathbb {C} P^{\infty }}$es homotópico a un mapa celular factorizando sobre la inclusión canónica${\displaystyle \mathbb {C} P^{k}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }\!}$. Como resultado, el mapa inducido${\displaystyle [B,\mathbb {C} P^{k}]\hookrightarrow [B,\mathbb {C} P^{\infty }]}$es sobreyectivo, pero no necesariamente inyectivo como células superiores de${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$permitir homotopías adicionales. En particular si${\displaystyle B}$es un complejo CW de tres o menos dimensiones, entonces${\displaystyle k=1}$y con${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}\cong S^{2}}$, existe una conexión con los conjuntos de cohomotopía con una aplicación sobreyectiva:

${\displaystyle \pi ^{2}(B)\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(B).}$

${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$También es el espacio Eilenberg-MacLane${\displaystyle K(\mathbb {Z},2)}$, ^{[ 5 ]} que representa la cohomología singular , ^{[ 6 ]} compárese con el teorema de representabilidad de Brown :

${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(B)\cong H^{2}(B,\mathbb {Z} ).}$

(La composición${\displaystyle \pi ^{2}(B)\rightarrow H^{2}(B,\mathbb {Z} )}$es el mapa de Hurewicz .) Un isomorfismo correspondiente viene dado por la primera clase de Chern . Aunque las clases características se definen para haces vectoriales , también es posible definirlas para ciertos haces principales.

Dado un principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-manojo${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$Existe un haz vectorial asociado.${\displaystyle E\times _{\operatorname {U} (1)}\mathbb {C} \twoheadrightarrow B}$Intuitivamente, las esferas en cada punto se llenan sobre las inclusiones canónicas.${\displaystyle \operatorname {U} (1)\subset \mathbb {C} }$Debido a su único rango, el fibrado vectorial solo se describe mediante la primera clase de Chern.${\displaystyle c_{1}\colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }(B)\rightarrow H^{2}(B,\mathbb {Z} )}$, que es un isomorfismo sobre complejos CW. ^{[ 7 ]}

Los haces principales también tienen un haz vectorial adjunto, lo cual es trivial para los haces principales.${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-paquetes.

• Por definición de espacio proyectivo complejo , la proyección canónica${\displaystyle S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{n}}$es un director${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-paquete. Con${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}\cong S^{2}}$, conocida como la esfera de Riemann , la fibración de Hopf compleja${\displaystyle h_{\mathbb {C} }\colon S^{3}\twoheadrightarrow S^{2}}$es un caso especial. Para el caso general, el mapa clasificador es la inclusión canónica:

${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }\cong \operatorname {BU} (1).}$

• Uno tiene${\displaystyle S^{2n+1}\cong \operatorname {U} (n+1)/\operatorname {U} (n)}$, lo que significa que hay un principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-manojo ${\displaystyle \operatorname {U} (2)\twoheadrightarrow S^{3}\!}$. Dichos paquetes se clasifican por: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \pi _{3}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{2}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{2}S^{1}\cong 1.}$

Por lo tanto, el fibrado es trivial, lo cual encaja con eso.${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong S^{3}}$y${\displaystyle \operatorname {U} (n)\cong \operatorname {SU} (n)\times \operatorname {U} (1)}$.

• Uno tiene${\displaystyle S^{n}\cong \operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)}$, lo que significa que (usando${\displaystyle \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$) hay un principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-manojo ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)\twoheadrightarrow S^{2}}$. Dichos paquetes se clasifican por: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \pi _{2}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{1}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{1}S^{1}\cong \mathbb {Z} .}$

Uno tiene${\displaystyle \operatorname {SO} (3)\cong \mathbb {R} P^{3}}$y la composición de la doble portada canónica${\displaystyle S^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {R} P^{3}}$con el paquete principal${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}\twoheadrightarrow S^{2}}$es exactamente la fibración de Hopf compleja${\displaystyle S^{3}\twoheadrightarrow S^{2}}$. Dado que la primera clase de Chern de la fibración de Hopf compleja es${\displaystyle -1}$, la primera clase de Chern del fibrado principal${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}\twoheadrightarrow S^{2}}$es${\displaystyle -2}$.

• Paquete principal SU(2)

• Freed, Daniel (1991). Instantones y variedades de 4 dimensiones . Cambridge University Press . ISBN 978-1-4613-9705-2.
• Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.
• Mitchell, Stephen (2011). "Notas sobre haces principales y espacios de clasificación" (PDF) .
• Hatcher, Allen (2017). Paquetes vectoriales y teoría K (PDF) .

• fibrado principal U(1) en el laboratorio n