Principio de permanencia

En la historia de las matemáticas , el principio de permanencia , o ley de la permanencia de las formas equivalentes , fue la idea de que las operaciones algebraicas como la suma y la multiplicación deberían comportarse de manera consistente en todos los sistemas numéricos , especialmente al desarrollar extensiones de sistemas numéricos establecidos . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Antes del advenimiento de las matemáticas modernas y su énfasis en el método axiomático , el principio de permanencia se consideraba una herramienta importante en los argumentos matemáticos. En las matemáticas modernas, los argumentos han sido reemplazados por demostraciones rigurosas basadas en axiomas, y el principio se utiliza como heurística para descubrir nuevas estructuras algebraicas . ^{[ 3 ]} Además, el principio se ha formalizado en una clase de teoremas llamados principios de transferencia , ^{[ 3 ]} que establecen que todas las afirmaciones de un lenguaje que son verdaderas para una estructura son verdaderas para otra estructura.

El principio fue descrito por George Peacock en su libro Un tratado de álgebra (énfasis en el original): ^{[ 4 ]}

132. Volvamos a este principio o ley de la permanencia de las formas equivalentes y considerémoslo cuando se expresa en forma de proporción directa e inversa .

" Cualquier forma que sea algebraicamente equivalente a otra, cuando se expresa con símbolos generales, debe ser verdadera, independientemente de lo que denoten esos símbolos. "

Por el contrario, si descubrimos una forma equivalente en álgebra aritmética o en cualquier otra ciencia subordinada, cuando los símbolos son generales en su forma aunque específicos en su naturaleza, esa misma debe ser una forma equivalente, cuando los símbolos son generales tanto en su naturaleza como en su forma.

El principio fue revisado posteriormente por Hermann Hankel ^{[ 5 ] [ 6 ]} y adoptado por Giuseppe Peano , Ernst Mach , Hermann Schubert , Alfred Pringsheim y otros. ^{[ 7 ]}

Aproximadamente en el mismo período que A Treatise of Algebra , Augustin-Louis Cauchy publicó Cours d'Analyse , que utilizó el término " generalidad del álgebra " ^{[ 8 ]} para describir (y criticar) un método de argumentación utilizado por matemáticos del siglo XVIII como Euler y Lagrange que era similar al Principio de Permanencia.

Uno de los principales usos del principio de permanencia es demostrar que una ecuación funcional que se cumple para los números reales también se cumple para los números complejos. ^{[ 9 ]}

Como ejemplo, la ecuación${\displaystyle e^{s+t}-e^{s}e^{t}=0}$se cumple para todos los números reales s y t . Por el principio de permanencia para funciones de dos variables, esto sugiere que también se cumple para todos los números complejos. ^{[ 10 ]}

Como contraejemplo, consideremos las siguientes propiedades.

• Conmutatividad de la suma:${\displaystyle x+y=y+x}$a pesar de${\displaystyle x,y}$,
• Propiedad cancelativa por la izquierda de la suma: si${\displaystyle x+y=x+z}$, entonces${\displaystyle y=z}$, para todos${\displaystyle x,y,z}$.

Ambas propiedades se cumplen para todos los números naturales , enteros , racionales , reales y complejos . Sin embargo, al seguir las extensiones de los números naturales más allá del infinito propuestas por Georg Cantor , ninguno satisface ambas propiedades simultáneamente.

• En aritmética ordinal , la suma es cancelativa por la izquierda, pero ya no conmutativa. Por ejemplo,${\displaystyle 3+\omega =\omega \neq \omega +3}$.
• En aritmética cardinal , la suma es conmutativa, pero ya no cancelativa por la izquierda, ya que${\displaystyle x+y=max\{x,y\}}$cuando sea${\displaystyle x}$o${\displaystyle y}$es infinito. Por ejemplo,${\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}=\aleph _{0}+2}$, pero${\displaystyle 1\neq 2}$. ^{[ 11 ]}

Por lo tanto, ambos sistemas, los primeros sistemas rigurosos de números infinitos, violan el principio de permanencia.