Principio de elección restringida

El principio de elección restringida es una directriz que se utiliza en juegos de cartas como el bridge para intuir información oculta. Se puede expresar como "el juego de una carta que podría haber sido seleccionada como una elección de jugadas iguales aumenta la probabilidad de que el jugador haya empezado con una mano en la que su elección estaba restringida". ^[1] Fundamentalmente, ayuda a jugar "en situaciones que antes se consideraban como una cuestión de adivinanzas".

Por ejemplo, Sur juega con una espada baja, Oeste juega con una espada baja, Norte juega con la reina, Este gana con el rey. El as y el rey son cartas equivalentes; el juego del rey por parte de Este disminuye la probabilidad de que Este tenga el as y aumenta la probabilidad de que Oeste tenga el as. El principio ayuda a otros jugadores a inferir la ubicación de cartas equivalentes no observadas, como ese as de espadas, después de observar el rey. El aumento o la disminución de la probabilidad es un ejemplo de actualización bayesiana a medida que se acumulan las evidencias y las aplicaciones particulares de la elección restringida son similares al problema de Monty Hall .

En muchas de esas situaciones la regla derivada del principio es jugar por honores divididos . Es decir, después de observar una carta equivalente, se debe continuar el juego como si se hubieran repartido dos cartas equivalentes entre los jugadores oponentes, de modo que no haya elección sobre cuál jugar. Quien jugó la primera no tiene la otra.

Cuando el número de cartas equivalentes es mayor que dos, el principio se complica porque su equivalencia puede no ser manifiesta. Cuando un compañero tiene ♣ Q y ♣ 10, por ejemplo, y el otro tiene ♣ J, suele ser cierto que esas tres cartas son equivalentes, pero el que tiene dos de ellas no lo sabe. La elección restringida siempre se introduce en términos de dos cartas en contacto – rangos consecutivos del mismo palo, como ♥ QJ o ♦ KQ – donde la equivalencia es manifiesta.

Si no hay ninguna razón para preferir una carta específica (por ejemplo, para hacer una señal a un compañero), un jugador que tenga dos o más cartas equivalentes debería a veces aleatorizar su orden de juego (véase la nota sobre el equilibrio de Nash). Los cálculos de probabilidad en la cobertura de la elección restringida a menudo dan por sentada la aleatorización uniforme, pero eso es problemático.

El principio de elección restringida se aplica incluso a la elección por parte del oponente de una salida inicial entre palos equivalentes. Véase Kelsey y Glauert (1980).

Considere la combinación de palos representada a la izquierda. Hay cuatro cartas de espadas ♠ 8754 en el Sur (mano cerrada) y cinco ♠ AJ1096 en el Norte (muerto, visible para todos los jugadores). Oeste y Este tienen las cuatro espadas restantes ♠ KQ32 en sus dos manos cerradas.

Antes de empezar a jugar, desde la perspectiva del Sur, son posibles 16 posiciones o "posiciones" de espadas diferentes de Oeste y Este. Estas se enumeran en la Tabla 1, ordenadas primero por "división" de números iguales a desiguales de cartas, luego por la posición de Oeste de la más fuerte a la más débil.

Sur juega una pica pequeña, Oeste juega el ♠ 2 (o ♠ 3), Norte juega el ♠ J y Este gana con el ♠ K. Más tarde, después de ganar una baza de palos secundarios, Sur juega otra pica pequeña y Oeste sigue con el ♠ 3 (o ♠ 2). En este punto, con Norte y Este aún por jugar, la ubicación de la ♠ Q no ha sido establecida. Sur está en un punto de decisión y sabe que solo dos de las 16 posiciones originales siguen siendo posibles (en negrita en la Tabla 1), ya que Oeste ha jugado ambas cartas bajas y Este el rey. A primera vista, puede parecer que las probabilidades ahora están parejas, 1:1, por lo que Sur debería esperar obtener el mismo resultado con cualquiera de las dos posibles continuaciones. Sin embargo, el principio de elección restringida nos dice que, si bien ambas posiciones de las cartas son posibles, las probabilidades son 2:1 a favor de asumir que Oeste tiene Q32 y, por lo tanto, jugar el diez.

Si Este hubiera tenido ♠ KQ, podría haber jugado la dama en lugar del rey. Por lo tanto, algunas jugadas con la posición original 32 y KQ no llegarían a esta etapa; algunas, en cambio, llegarían a la etapa paralela con ♠ K solo faltando, ya que Sur había observado 32 y Q. En cambio, todas las jugadas con la posición original Q32 y K llegarían a esta etapa, ya que Este jugó el rey forzosamente (sin elección, o por "elección restringida").

Si Este ganara la primera baza con el rey o la reina de manera uniforme y aleatoria desde ♠ KQ, entonces esa posición original 32 y KQ llegaría a esta etapa la mitad de las veces y tomaría la otra bifurcación del camino la otra mitad de las veces. Por lo tanto, en la secuencia real de juego, las probabilidades no son iguales sino de una a una, o 1:2. Este retendría la reina del ♠ KQ original aproximadamente un tercio de las veces y no retendría espadas del ♠ K original aproximadamente dos tercios de las veces. El principio de elección restringida postula que hacer la finesse jugando el ♠ 10 tiene casi el doble de probabilidades de éxito.

Es importante destacar que esto supone que los defensores no tienen un sistema de señalización, de modo que la jugada de Oeste de (por ejemplo) el 3 seguido del 2 no indica un doubleton. Durante el transcurso de muchas manos equivalentes, Este con ♠ KQ debería en teoría ganar la primera baza con el rey o la reina de manera uniforme y aleatoria; es decir, la mitad de cada uno sin ningún patrón. ^[2]

A priori , las cuatro cartas en circulación se "dividen" como se muestra en las dos primeras columnas de la Tabla 2 que aparece a continuación. Por ejemplo, tres cartas están juntas y la cuarta está sola, lo que supone una "división de 3-1" con una probabilidad del 49,74 %. Para entender el "número de mentiras específicas", consulte la lista anterior de todas las mentiras de la Tabla 1.

La última columna muestra la probabilidad a priori de cualquier mano original específica, como 32 y KQ; esa mano está representada por la fila uno que cubre la división 2-2. La otra mano que aparece en nuestro ejemplo de juego del palo de espadas, Q32 y K, está representada por la fila dos que cubre la división 3-1.

Así, la tabla muestra que las probabilidades a priori de estas dos mentiras específicas no eran iguales, sino ligeramente a favor de la primera, alrededor de 6,78 a 6,22 para ♠ KQ contra ♠ K.

¿Cuáles son las probabilidades a posteriori , en el momento de la verdad, en nuestro ejemplo de juego del palo de espadas? Si Este gana la primera baza con ♠ KQ de manera uniforme y aleatoria con el rey o la dama –y con ♠ K gana la primera baza con el rey, sin tener elección– las probabilidades a posteriori son 3,39 a 6,22, un poco más de 1:2, en términos porcentuales un poco más del 35% para ♠ KQ. Jugar el as ♠ A de Norte en la segunda ronda debería ganar alrededor del 35%, mientras que hacer la finesse nuevamente con el diez ♠ 10 gana alrededor del 65%.

El principio de elección restringida es general, pero este cálculo de probabilidad específico supone que Este ganaría con el rey de ♠ KQ exactamente la mitad de las veces (lo cual es lo mejor). Si Este ganara con el rey de ♠ KQ más o menos de la mitad de las veces, entonces Sur ganaría más o menos del 35% jugando el as. De hecho, si Este ganara con el rey el 92% de las veces (=6,22/6,78), entonces Sur ganaría el 50% jugando el as y el 50% repitiendo la finesse. Sin embargo, si eso es cierto, Sur ganaría casi el 100% repitiendo la finesse después de que Este gane con la dama, ya que la dama de ese jugador de Este prácticamente niega al rey.

El principio de elección restringida es una aplicación del teorema de Bayes sobre la probabilidad condicional. En el siguiente ejemplo: Kp representa la condición de que el Rey sea jugado por Este en la primera baza; KQ representa la condición de que Este tenga KQ y; K representa la condición de que Este tenga K.

Las dos condiciones son las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(KQ\mid Kp)&={\frac {P(Kp\mid KQ)P(KQ)}{P(Kp)}}\\P(K\mid Kp)&={\frac {P(Kp\mid K)P(K)}{P(Kp)}}\\\end{aligned}}}$

Suponemos que cuando Este tiene KQ, juega cada carta el 50% del tiempo y cuando tiene sólo el K, debe jugar el K. Esto se representa de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(Kp\mid KQ)&=0,5\\P(Kp\mid K)&=1\\\end{aligned}}}$

Además, con base en la jugada de la baza 1, solo dos de las 16 posesiones originales (es decir, a priori ) posibles que se muestran en la Tabla 1 anterior permanecen disponibles para Este, cada una igualmente posible.

${\displaystyle {\begin{aligned}P(K)\approx P(KQ)\\\end{aligned}}}$

Resolviendo, encontramos ( a posteriori ) que...

${\displaystyle {\begin{alineado}\ P(K\mid Kp)\aprox 2*P(KQ\mid Kp)\end{alineado}}}$

En conclusión, podemos decir que "después de que Este ha jugado el K en la primera ronda, la probabilidad de que Este haya comenzado con el singleton K es el doble de probable que la de que haya comenzado con el KQ".

Las dos primeras ecuaciones son el teorema de Bayes , el resto es álgebra simple.

Los aumentos y disminuciones en las probabilidades de mentiras originales de las cartas opuestas, a medida que avanza el juego de la mano, son ejemplos de actualización bayesiana a medida que se acumula evidencia.

• Problema de Monty Hall

• Kelsey, Hugh ; Glauert, Michael (1980). Bridge Odds for Practical Players . Master Bridge Series. Londres: Victor Gollancz Ltd en asociación con Peter Crawley. págs.  92– 116. ISBN 0-575-02799-1.
• Frey, Richard L.; Truscott, Alan F. , eds. (1964). La enciclopedia oficial del bridge (1.ª ed.). Nueva York: Crown Publishers. págs. 381-385. LCCN  64023817.El artículo sobre la elección restringida fue creado por Jeff Rubens en la primera Enciclopedia (edición de 1964). En ella y en ediciones posteriores (por ejemplo, en la página 381 de la sexta edición), Rubens afirma que Reese, en su libro Master Play, "unificó" los "principios subyacentes... discutidos por primera vez por Alan Truscott en el Contract Bridge Journal "; no da una fecha para el artículo de Truscott.
• Reese, Terence (1958). El juego del experto . Londres: Edward Arnold (Publishers) Ltd. ISBN 0-575-02799-1.Republicado en los EE. UU. como Master Play . Waltham MA: George Coffin. 1960.

• "El problema de Monty Hall y el principio de elección restringida"
• "Paradojas del puente" de Richard Pavlicek