Preferencia revelada

Si el presupuesto establecido${\displaystyle B}$se define para dos bienes;${\displaystyle X,Y}$y determinado por los precios${\displaystyle p,q}$y los ingresos${\displaystyle m}$, entonces sea el paquete a ser${\displaystyle (x_{1},y_{1})\in B}$y paquete b sea${\displaystyle (x_{2},y_{2})\in B}$Esta situación se representaría típicamente aritméticamente mediante la desigualdad${\displaystyle pX+qY\leq m}$y gráficamente mediante una línea presupuestaria en los números reales positivos. Suponiendo preferencias fuertemente monótonas , solo las cestas que se ubican gráficamente en la línea presupuestaria, es decir, cestas donde${\displaystyle px_{1}+qy_{1}=m}$y${\displaystyle px_{2}+qy_{2}=m}$están satisfechos, deben ser considerados. Si, en esta situación, se observa que${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$es elegido sobre${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, se concluye que${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$se revela (directamente) que se prefiere a${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, que puede resumirse como la relación binaria${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$o equivalentemente como${\displaystyle \mathbf {a} \succeq \mathbf {b} }$. ^{[ 3 ]}

El Axioma Débil de Preferencia Revelada (ADPR) es uno de los criterios que deben cumplirse para asegurar la coherencia de las preferencias del consumidor. Si se elige una cesta de bienes a en lugar de otra b cuando ambas son asequibles, el consumidor revela que prefiere a sobre b . El ADPR establece que, cuando las preferencias permanecen constantes, no existen circunstancias ( conjunto presupuestario ) en las que el consumidor prefiera b sobre a . Al elegir a sobre b cuando ambas cestas son asequibles, el consumidor revela que sus preferencias son tales que nunca elegirá b sobre a cuando ambas sean asequibles, incluso si los precios varían. Formalmente:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in B\\\mathbf {a} \in C(B,\succeq )\\\mathbf {b} \in B'\\\mathbf {b} \in C(B',\succeq )\end{matrix}}\right\}~\Rightarrow ~\mathbf {a} \notin B'}$

dónde${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$son haces arbitrarios y${\displaystyle C(B,\succeq )\subset B}$es el conjunto de paquetes elegidos en el conjunto de presupuesto${\displaystyle B}$, dada la relación de preferencia${\displaystyle \succeq }$.

En otras palabras, si se elige a sobre b en el conjunto de presupuesto${\displaystyle B}$donde tanto a como b son combinaciones factibles, pero se elige b cuando el consumidor se enfrenta a algún otro conjunto de presupuesto.${\displaystyle B'}$, entonces a no es un paquete factible en el conjunto de presupuesto${\displaystyle B'}$.

El axioma fuerte de preferencias reveladas (SARP) es equivalente al WARP, con la salvedad de que las opciones A y B no pueden ser reveladas como preferibles entre sí, ni directa ni indirectamente, al mismo tiempo. Aquí, se considera que A es reveladamente preferida a B si existe C tal que A es directamente preferida a C, y C es directamente preferida a B. En términos matemáticos, esto significa que se conserva la transitividad . La transitividad es útil, ya que puede revelar información adicional al comparar dos conjuntos distintos de restricciones presupuestarias.

En los modelos económicos, suele ser conveniente evitar este tipo de "bucles", por ejemplo, para modelar decisiones con funciones de utilidad (que tienen resultados de valor real y, por lo tanto, son transitivas). Una forma de lograrlo es imponer la completitud a la relación de preferencia revelada con respecto a las opciones en general, es decir, sin considerar precios ni restricciones de asequibilidad. Esto resulta útil porque, al evaluar {A, B, C} como opciones independientes, es evidente cuál se prefiere o es indiferente a cuál otra. El uso del axioma débil impide que dos opciones sean preferidas simultáneamente; por lo tanto, sería imposible que se formaran "bucles".

Otra forma de resolver esto es imponer el principio de preferencia revelada (SARP, por sus siglas en inglés), que garantiza la transitividad. Esto se caracteriza por tomar el cierre transitivo de las preferencias reveladas directas y exigir que sea antisimétrico , es decir, si A se revela como preferido a B (directa o indirectamente), entonces B no se revela como preferido a A (directa o indirectamente).

Se trata de dos enfoques diferentes para resolver el problema; la completitud se ocupa de la entrada (dominio) de las funciones de elección; mientras que el axioma fuerte impone condiciones sobre la salida.

El axioma generalizado de preferencia revelada (GARP) es una generalización del SARP. Es el criterio final necesario para que se cumpla la constancia y así garantizar que las preferencias de los consumidores no cambien.

Este axioma contempla las condiciones en las que dos o más cestas de consumo satisfacen niveles de utilidad iguales, dado que el nivel de precios permanece constante. Abarca las circunstancias en las que la maximización de la utilidad se logra mediante más de una cesta de consumo. ^{[ 4 ]}

Un conjunto de datos satisface GARP si${\displaystyle x^{i}Rx^{j}}$implica no${\displaystyle x^{j}P^{0}x^{i}}$. ^{[ 5 ]} Esto establece que si el paquete de consumo${\displaystyle x^{i}}$se revela preferido a${\displaystyle x^{j}}$, entonces el gasto necesario para adquirir el paquete${\displaystyle x^{j}}$Dado que los precios se mantienen constantes, no puede ser mayor que el gasto necesario para adquirir el paquete.${\displaystyle x^{i}}$. ^{[ 6 ]}

Para satisfacer GARP, un conjunto de datos tampoco debe establecer un ciclo de preferencia. Por lo tanto, al considerar los paquetes {A,B,C}, el paquete de preferencia revelado debe ser un par de orden acíclico como tal, Si${\displaystyle A\succeq B}$y${\displaystyle B\succeq C}$, entonces${\displaystyle B\nsucceq A}$y${\displaystyle A\succeq C}$descartando así los “ciclos de preferencia” sin dejar de mantener la transitividad. ^{[ 4 ]}

Dado que GARP está estrechamente relacionado con SARP, es muy fácil demostrar que cada condición de SARP puede implicar a GARP; sin embargo, GARP no implica a SARP. Esto se debe a que GARP es compatible con funciones de demanda multivaluadas, mientras que SARP solo es compatible con funciones de demanda univaluadas. Por lo tanto, GARP permite secciones planas dentro de las curvas de indiferencia , como lo afirma Hal R. Varian (1982). ^{[ 5 ]}

El teorema de Afriat , introducido por el economista Sydney Afriat en 1967, extiende el GARP al demostrar que un conjunto finito de datos de elecciones observadas puede explicarse mediante una función de utilidad . ^{[ 7 ]} Específicamente, establece que un conjunto de vectores de precios p _i y vectores de cantidades x _i (para i = 1, 2, ..., n ) satisface el GARP si y solo si existe una función de utilidad continua, creciente y cóncava u(x) tal que cada x _i maximiza u(x) bajo la restricción presupuestaria p _i · x ≤ p _i · x _i . ^{[ 8 ]}

El teorema proporciona una prueba práctica: si GARP se cumple, existen niveles de utilidad u _i y ponderaciones positivas λ _i que satisfacen las desigualdades u _i - u _j ≤ λ _j ( p _j · ( x _i - x _j )) para todo i , j . ^{[ 7 ]} Estas desigualdades de Afriat permiten construir la función de utilidad directamente a partir de los datos, a diferencia de axiomas anteriores como SARP, que solo prueban la existencia para conjuntos de datos infinitos. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, si dos cestas maximizan la utilidad con el mismo presupuesto (como en la figura de GARP), el teorema de Afriat garantiza la existencia de una función de utilidad, incluso cuando SARP falla. ^{[ 8 ]} Este resultado se utiliza ampliamente en econometría para probar la racionalidad y construir preferencias a partir de datos empíricos. ^{[ 10 ]}