Principio de argumentación

En análisis complejo , el principio del argumento (o principio del argumento de Cauchy ) es un teorema que relaciona la diferencia entre el número de ceros y polos de una función meromorfa con una integral de contorno de la derivada logarítmica de la función .

Si f es una función meromorfa dentro y sobre algún contorno cerrado C , y f no tiene ceros ni polos en C , entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=ZP}$

donde Z y P denotan, respectivamente, el número de ceros y polos de f dentro del contorno C , contando cada cero y polo tantas veces como indiquen su multiplicidad y orden , respectivamente. Este enunciado del teorema supone que el contorno C es simple, es decir, sin autointersecciones, y que está orientado en sentido antihorario.

De forma más general, supongamos que f es una función meromorfa en un conjunto abierto Ω en el plano complejo y que C es una curva cerrada en Ω que evita todos los ceros y polos de f y es contraíble a un punto dentro de Ω. Para cada punto z ∈ Ω, sea n ( C , z ) el número de vueltas de C alrededor de z . Entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,}$

donde la primera suma se realiza sobre todos los ceros a de f contados con sus multiplicidades, y la segunda suma se realiza sobre los polos b de f contados con sus órdenes.

La integral de contorno${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz}$puede interpretarse como 2 π i veces el número de vueltas del camino f ( C ) alrededor del origen, usando la sustitución w = f ( z ):

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw}$

Es decir, es i veces el cambio total en el argumento de f ( z ) a medida que z viaja alrededor de C , lo que explica el nombre del teorema; esto se deduce de

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}}$

y la relación entre argumentos y logaritmos.

Sea z _Z un cero de f . Podemos escribir f ( z ) = ( z − z _Z ) ^k g ( z ) donde k es la multiplicidad del cero, y por lo tanto g ( z _Z ) ≠ 0. Obtenemos   

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!}$

y

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.}$

Dado que g ( z _Z ) ≠ 0, se deduce que g' ( z )/ g ( z ) no tiene singularidades en z _Z , y por lo tanto es analítica en z _Z , lo que implica que el residuo de f ′ ( z )/ f ( z ) en z _Z es k . 

Sea z _P un polo de f . Podemos escribir f ( z ) = ( z − z _P ) ^{− m} h ( z ) donde m es el orden del polo, y h ( z _P ) ≠ 0. Entonces,  

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$

y

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

De forma similar a lo anterior. Se deduce que h ′ ( z )/ h ( z ) no tiene singularidades en z _P ya que h ( z _P ) ≠ 0 y por lo tanto es analítica en z _P . Encontramos que el residuo de f ′ ( z )/ f ( z ) en z _P es − m .

Al combinar estos elementos, cada cero z _Z de multiplicidad k de f crea un polo simple para f ′ ( z )/ f ( z ) con residuo k , y cada polo z _P de orden m de f crea un polo simple para f ′ ( z )/ f ( z ) con residuo − m . (Aquí, por polo simple nos referimos a un polo de orden uno). Además, se puede demostrar que f ′ ( z )/ f ( z ) no tiene otros polos, y por lo tanto no tiene otros residuos.

Según el teorema de los residuos, _la integral alrededor de C es el producto de 2πi y la suma de los residuos. En conjunto, la suma de los k para cada cero zZ es el número de ceros contando las multiplicidades de los ceros, y lo mismo ocurre con los polos, y así obtenemos nuestro resultado.

Existe una generalización inmediata del principio del argumento. Bajo las mismas hipótesis, supongamos que g es analítica en la región${\displaystyle \Omega }$. Entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,}$

donde la primera suma se realiza nuevamente sobre todos los ceros a de f contados con sus multiplicidades, y la segunda suma se realiza nuevamente sobre los polos b de f contados con sus órdenes.

El principio del argumento se puede utilizar para localizar eficientemente los ceros o polos de funciones meromorfas en una computadora. Incluso con errores de redondeo, la expresión${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz}$arrojará resultados cercanos a un número entero; al determinar estos enteros para diferentes contornos C se puede obtener información sobre la ubicación de los ceros y polos. Las pruebas numéricas de la hipótesis de Riemann utilizan esta técnica para obtener una cota superior para el número de ceros de Riemann.${\displaystyle \xi (s)}$función dentro de un rectángulo que interseca la línea crítica. El principio del argumento también puede usarse para demostrar el teorema de Rouché , que puede usarse para acotar las raíces de polinomios.

Como consecuencia del principio del argumento generalizado, si f es un polinomio con raíces z ₁ , ..., z _p dentro de un contorno simple C , y g ( z ) = z ^k , entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},}$

es un polinomio simétrico de suma de potencias de las raíces de f .

Otra consecuencia es si calculamos la integral compleja:

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz}$

Para una elección apropiada de g y f, tenemos la fórmula de Abel-Plana :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,}$

que expresa la relación entre una suma discreta y su integral.

El principio del argumento también se aplica en la teoría de control . En los libros modernos sobre teoría de control por retroalimentación, se utiliza comúnmente como fundamento teórico del criterio de estabilidad de Nyquist . Además, se puede emplear una forma más generalizada del principio del argumento para derivar la integral de sensibilidad de Bode y otras relaciones integrales relacionadas. ^{[ 1 ]}

Según el libro de Frank Smithies ( Cauchy and the Creation of Complex Function Theory , Cambridge University Press, 1997, p.  177), Augustin-Louis Cauchy presentó un teorema similar al anterior el 27 de noviembre de 1831, durante su autoimpuesto exilio en Turín (entonces capital del Reino de Piamonte-Cerdeña), lejos de Francia. Sin embargo, según este libro, solo se mencionan los ceros, no los polos. Este teorema de Cauchy se publicó muchos años después, en 1874, en forma manuscrita, por lo que resulta bastante difícil de leer. Cauchy publicó un artículo con un análisis sobre ceros y polos en 1855, dos años antes de su muerte.

• Derivada logarítmica
• criterio de estabilidad de Nyquist

• Rudin, Walter (1986). Análisis real y complejo (Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo: una introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Variables complejas y aplicaciones . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-010905-6.
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les ceros de la función zeta(s) de Riemann, CR Acad. Ciencia. París 158, 1979–1982.

• "Argumento, principio de la" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]