Politopo prismático uniforme de 4 capas

En geometría tetradimensional , un politopo prismático uniforme de cuatro dimensiones es un politopo uniforme de cuatro dimensiones con un grupo de simetría de diagrama de Coxeter no conexo. Estas figuras son análogas al conjunto de prismas y antiprismas de poliedros uniformes, pero añaden una tercera categoría llamada duoprismas , construida como producto de dos polígonos regulares.

Los 4-politopos prismáticos uniformes constan de dos familias infinitas:

• Prismas poliédricos : productos de un segmento de línea y un poliedro uniforme. Esta familia es infinita porque incluye prismas construidos sobre prismas y antiprismas tridimensionales .
• Duoprismas : producto de dos polígonos regulares.

La familia más evidente de 4-politopos prismáticos son los prismas poliédricos, es decir, productos de un poliedro con un segmento de línea . Las celdas de dicho 4-politopo son dos poliedros uniformes idénticos situados en hiperplanos paralelos (las celdas base ) y una capa de prismas que los une (las celdas laterales ). Esta familia incluye prismas para los 75 poliedros uniformes no prismáticos (de los cuales 18 son convexos; uno de ellos, el prisma cúbico, se menciona anteriormente como el teseracto ).

Existen 18 prismas poliédricos convexos formados a partir de 5 sólidos platónicos y 13 sólidos arquimedianos , así como familias infinitas de prismas y antiprismas tridimensionales . El número de simetría de un prisma poliédrico es el doble del del poliedro base.

La segunda es la familia infinita de duoprismas uniformes , productos de dos polígonos regulares .

Su diagrama de Coxeter es de la forma

Esta familia se solapa con la primera: cuando uno de los dos polígonos "factores" es un cuadrado, el producto es equivalente a un hiperprisma cuya base es un prisma tridimensional. El número de simetría de un duoprismo cuyos factores son un p -gono y un q- gono (un " p,q- duoprismo") es 4 pq si p ≠ q ; si ambos factores son p -gonos, el número de simetría es 8 p² ^. El teseracto también puede considerarse un 4,4-duoprismo.

Los elementos de un duoprismo p,q ( p ≥ 3, q ​​≥ 3) son:

• Celdas: prismas p q -gonales, prismas q p -gonales
• Caras: pq cuadrados, pq - gonos, qp - gonos
• Bordes: 2pq
• Vértices: pq

No existe un análogo uniforme en cuatro dimensiones para la familia infinita de antiprismas tridimensionales, con la excepción del gran duoantiprisma .

Conjunto infinito de duoprismas pq - - prismas p q -gonales, prismas q p -gonales:

• Duoprisma 3-3 - - 6 prismas triangulares
• Duoprisma 3-4 - - 3 cubos, 4 prismas triangulares
• Duoprisma 4-4 - - 8 cubos (igual que el teseracto )
• Duoprisma 3-5 : 3 prismas pentagonales, 5 prismas triangulares
• Duoprisma 4-5 - - 4 prismas pentagonales, 5 cubos
• Duoprisma 5-5 - - 10 prismas pentagonales
• Duoprisma 3-6 : 3 prismas hexagonales, 6 prismas triangulares
• Duoprisma 4-6 : 4 prismas hexagonales, 6 cubos
• Duoprisma 5-6 : 5 prismas hexagonales, 6 prismas pentagonales
• Duoprisma 6-6 - - 12 prismas hexagonales
• ...

El conjunto infinito de prismas prismáticos uniformes se superpone con los duoprismas 4-p: (p≥3) - - p cubos y 4 p prismas -gonales - (Todos son iguales al duoprisma 4-p )

• Prisma prismático triangular - - 3 cubos y 4 prismas triangulares - (igual que duoprisma 3-4 )
• Prisma prismático cuadrado - - 4 cubos y 4 cubos - (igual que el duoprismo 4-4 y el teseracto )
• Prisma prismático pentagonal - - 5 cubos y 4 prismas pentagonales - (igual que el duoprismo 4-5 )
• Prisma prismático hexagonal - - 6 cubos y 4 prismas hexagonales - (igual que el duoprisma 4-6 )
• Prisma prismático heptagonal - - 7 cubos y 4 prismas heptagonales - (igual que el duoprismo 4-7 )
• Prisma prismático octogonal - - 8 cubos y 4 prismas octogonales - (igual que el duoprisma 4-8 )
• ...

Los conjuntos infinitos de prismas antiprismáticos uniformes o antiduoprismas se construyen a partir de dos antiprismas uniformes paralelos : (p≥3) - - 2 p -antiprismas gonales, conectados por 2 p -prismas gonales y 2p prismas triangulares.

Un prisma antiprismático p-gonal tiene 4p caras triangulares, 4p caras cuadradas y 4 caras p-gonales. Tiene 10p aristas y 4p vértices.

• Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Artículo 22) HSM Coxeter , Politopos regulares y semi-regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• JH Conway y MJT Guy : Politopos arquimedianos de cuatro dimensiones , Actas del Coloquio sobre Convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965.
• NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966.
• Politopos arquimedianos de cuatro dimensiones (en alemán), Marco Möller, tesis doctoral de 2004.
• Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 4D (policoros)" .