Ind-completado

Los sistemas directos dependen de la noción de categorías filtradas . Por ejemplo, la categoría N , cuyos objetos son números naturales , y con exactamente un morfismo de n a m siempre que${\displaystyle n\leq m}$, es una categoría filtrada.

Un sistema directo o un ind-objeto en una categoría C se define como un functor.

${\displaystyle F:I\to C}$

de una pequeña categoría filtrada I a C. Por ejemplo, si I es la categoría N mencionada anteriormente, este dato es equivalente a una secuencia

${\displaystyle X_{0}\to X_{1}\to \cdots }$

de objetos en C junto con morfismos como se muestra.

Los objetos Ind en C forman una categoría ind- C .

Dos objetos ind

${\displaystyle F:I\to C}$

y

${\textstyle G:J\to C}$determinar un functor

Yo ^op x J${\displaystyle \to }$Conjuntos ,

es decir, el functor

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

El conjunto de morfismos entre F y G en Ind( C ) se define como el colímite de este functor en la segunda variable, seguido del límite en la primera variable:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} {\text{-}}C}(F,G)=\lim _{i}\operatorname {colim} _{j}\operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

En términos más coloquiales, esto significa que un morfismo consiste en una colección de mapas.${\displaystyle F(i)\to G(j_{i})}$para cada i , donde${\displaystyle j_{i}}$es (dependiendo de i ) suficientemente grande.

La categoría final I = {*} que consta de un único objeto * y solo su morfismo identidad es un ejemplo de una categoría filtrada. En particular, cualquier objeto X en C da lugar a un functor.

${\displaystyle \{*\}\to C,*\mapsto X}$

y por lo tanto a un functor

${\displaystyle C\to \operatorname {Ind} (C),X\mapsto (*\mapsto X).}$

Este functor es, como consecuencia directa de las definiciones, totalmente fiel. Por lo tanto, Ind( C ) puede considerarse una categoría más grande que C .

Por el contrario, en general no es necesario que exista un functor natural.

${\displaystyle \operatorname {Ind} (C)\to C.}$

Sin embargo, si C posee todos los colímites filtrados (también conocidos como límites directos), entonces enviar un objeto ind${\displaystyle F:I\to C}$(para alguna categoría filtrada I ) a su colímite

${\displaystyle \operatorname {colim} _{I}F(i)}$

da tal functor, que sin embargo no es en general una equivalencia. Por lo tanto, incluso si C ya tiene todos los colímites filtrados, Ind( C ) es una categoría estrictamente más grande que C .

Los objetos en Ind( C ) pueden considerarse como límites directos formales, de modo que algunos autores también denotan dichos objetos por

${\displaystyle {\text{“}}\varinjlim _{i\in I}{\text{'' }}F(i).}$

Esta notación se debe a Pierre Deligne . ^{[ 1 ]}

Esencialmente por diseño de los morfismos en Ind( C ), cualquier objeto X de C es compacto cuando se considera como un objeto de Ind( C ), es decir, el functor corepresentable.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} (C)}(X,-)}$

preserva los colímites filtrados. Esto es cierto independientemente de lo que sea C o el objeto X , a diferencia del hecho de que X no tiene por qué ser compacto en C. Por el contrario, cualquier objeto compacto en Ind( C ) surge como la imagen de un objeto en X.

Una categoría C se denomina generada de forma compacta, si es equivalente a${\displaystyle \operatorname {Ind} (C_{0})}$para alguna pequeña categoría${\displaystyle C_{0}}$La ind-completación de la categoría FinSet de conjuntos finitos es la categoría de todos los conjuntos . De manera similar, si C es la categoría de grupos finitamente generados, ind-C es equivalente a la categoría de todos los grupos.

Estas identificaciones se basan en los siguientes hechos: como se mencionó anteriormente, cualquier functor${\displaystyle F:C\to D}$tomando valores en una categoría D que tiene todos los colímites filtrados, tiene una extensión

${\displaystyle {\tilde {F}}:\operatorname {Ind} (C)\to D,}$

que preserva los colímites filtrados. Esta extensión es única salvo equivalencia. Primero, este functor${\displaystyle {\tilde {F}}}$es esencialmente sobreyectivo si cualquier objeto en D puede expresarse como un colímite filtrado de objetos de la forma${\displaystyle F(c)}$para los objetos apropiados c en C. Segundo,${\displaystyle {\tilde {F}}}$es totalmente fiel si y solo si el functor original F es totalmente fiel y si F envía objetos arbitrarios en C a objetos compactos en D.

Aplicando estos hechos, por ejemplo, al functor de inclusión.

${\displaystyle F:\operatorname {FinSet} \subset \operatorname {Set} ,}$

la equivalencia

${\displaystyle \operatorname {Ind} (\operatorname {FinSet} )\cong \operatorname {Set} }$

expresa el hecho de que cualquier conjunto es el colímite filtrado de conjuntos finitos (por ejemplo, cualquier conjunto es la unión de sus subconjuntos finitos, que es un sistema filtrado) y además, que cualquier conjunto finito es compacto cuando se considera como un objeto de Set .

Si bien Pro( C ) existe para cualquier categoría C , varios casos especiales son dignos de mención debido a sus conexiones con otras nociones matemáticas.

• Si C es la categoría de grupos finitos , entonces pro-C es equivalente a la categoría de grupos profinitos y homomorfismos continuos entre ellos.
• El proceso de dotar a un conjunto preordenado con su topología de Alexandrov produce una equivalencia de la procategoría de la categoría de conjuntos preordenados finitos,${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {FinPreord} )}$, con la categoría de espacios topológicos espectrales y morfismos cuasicompactos.
• La dualidad de Stone afirma que la procategoría${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {FinSet} )}$de la categoría de conjuntos finitos es equivalente a la categoría de espacios de Stone . ^{[ 3 ]}

La aparición de nociones topológicas en estas procategorías se puede rastrear hasta la equivalencia, que es en sí misma un caso especial de dualidad de Stone,

${\displaystyle \operatorname {FinSet} ^{\text{op}}=\operatorname {FinBool} }$

que envía un conjunto finito al conjunto potencia (considerado como un álgebra booleana finita). La dualidad entre pro- y ind-objetos y la descripción conocida de las ind-completaciones también dan lugar a descripciones de ciertas categorías opuestas. Por ejemplo, tales consideraciones pueden usarse para demostrar que la categoría opuesta de la categoría de espacios vectoriales (sobre un cuerpo fijo) es equivalente a la categoría de espacios vectoriales linealmente compactos y aplicaciones lineales continuas entre ellos. ^{[ 4 ]}

Las procompletaciones son menos prominentes que las ind-completaciones, pero sus aplicaciones incluyen la teoría de formas . Los pro-objetos también surgen a través de su conexión con functores pro-representables , por ejemplo en la teoría de Galois de Grothendieck , y también en el criterio de Schlessinger en la teoría de la deformación .

Los objetos de la Tate son una mezcla de objetos independientes y objetos de carácter proactivo.