Grupo pro- p

En matemáticas , un grupo pro- p (para algún número primo p ) es un grupo profinito.${\displaystyle G}$de tal manera que para cualquier subgrupo normal abierto${\displaystyle N\triangleleft G}$el grupo cociente${\displaystyle G/N}$es un p -grupo . Nótese que, como los grupos profinitos son compactos , los subgrupos abiertos son exactamente los subgrupos cerrados de índice finito , de modo que el grupo cociente discreto es siempre finito.

Alternativamente, se puede definir un pro- p- grupo como el límite inverso de un sistema inverso de p- grupos finitos discretos .

La clase mejor comprendida (e históricamente más importante) de grupos pro- p son los grupos analíticos p -ádicos : grupos con la estructura de una variedad analítica sobre${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$de tal manera que la multiplicación e inversión de grupos son funciones analíticas. El trabajo de Lubotzky y Mann, combinado con la solución de Michel Lazard al quinto problema de Hilbert sobre los números p -ádicos, muestra que un pro- p- grupo es p -ádico analítico si y solo si tiene rango finito , es decir, existe un entero positivo${\displaystyle r}$de tal manera que cualquier subgrupo cerrado tenga un conjunto generador topológico con no más de${\displaystyle r}$elementos. De manera más general, se demostró que un grupo profinito finitamente generado es un grupo de Lie p -ádico compacto si y solo si tiene un subgrupo abierto que es un grupo pro -p uniformemente potente.

Los teoremas de coclase fueron demostrados en 1994 por A. Shalev e independientemente por C.R. Leedham-Green. El teorema D es uno de estos teoremas y afirma que, para cualquier número primo p y cualquier entero positivo r , existen solo un número finito de pro -p grupos de coclase r . Este resultado de finitud es fundamental para la clasificación de p- grupos finitos mediante grafos de coclase dirigidos .

• El ejemplo canónico son los enteros p -ádicos.

${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}=\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}.}$

• El grupo${\displaystyle \GL_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$de matrices invertibles n por n sobre${\displaystyle \\mathbb {Z} _ {p}}$tiene un subgrupo abierto U que consta de todas las matrices congruentes con la matriz identidad módulo${\displaystyle \ p\mathbb {Z} _ {p}}$. Este U es un grupo pro- p . De hecho, todos los grupos analíticos p -ádicos mencionados anteriormente pueden encontrarse como subgrupos cerrados de${\displaystyle \GL_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$para algún entero n .
• Cualquier p -grupo finito es también un pro- p- grupo (con respecto al sistema inverso constante).
• Hecho: Una imagen homomórfica finita de un grupo pro-p es un grupo p. (debido a JP Serre )

• Propiedad residual (matemáticas)
• Grupo finito (Véase Propiedad o hecho 5)

• Dixon, JD; du Sautoy, MPF ; Mann, A.; Segal, D. (1991), Analytic pro-p-groups , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1, MR 1152800 
• du Sautoy, M.; Segal, D.; Shalev, A. (2000), Nuevos horizontes en grupos pro-p , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4171-8