Autómata celular estocástico

Un autómata celular estocástico ( ACS ), también conocido como autómata celular probabilístico ( ACP ), es un tipo de modelo computacional . Consiste en una cuadrícula de celdas, donde cada celda tiene un estado particular (por ejemplo, "encendido" o "apagado"). Los estados de todas las celdas evolucionan en pasos de tiempo discretos según un conjunto de reglas.

A diferencia de un autómata celular estándar, donde las reglas son deterministas (fijas), las reglas en un autómata celular estocástico son probabilísticas . Esto significa que el siguiente estado de una celda se determina por azar, según un conjunto de probabilidades que dependen de los estados de las celdas vecinas. ^{[ 1 ]}

A pesar de la naturaleza simple, local y aleatoria de las reglas, estos modelos pueden generar patrones globales complejos mediante procesos como la emergencia y la autoorganización . Se utilizan para modelar una amplia variedad de fenómenos del mundo real donde la aleatoriedad es un factor, como la propagación de incendios forestales , la dinámica de epidemias o la simulación del ferromagnetismo en física (véase el modelo de Ising ).

Como objeto matemático, un autómata celular estocástico es un sistema dinámico aleatorio de tiempo discreto . A menudo se analiza dentro de los marcos de sistemas de partículas interactuantes y cadenas de Markov , donde puede denominarse sistema de cadenas de Markov con interacción local . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Véase ^{[ 4 ]} para una introducción más detallada.

Desde la perspectiva de la teoría de la probabilidad , un autómata celular estocástico es un proceso de Markov de tiempo discreto . La configuración de todas las celdas en un momento dado es un estado${\displaystyle \eta }$en un espacio de productos${\displaystyle E=\prod _{k\in G}S_{k}}$. Aquí,${\displaystyle G}$es un gráfico que representa la cuadrícula de celdas (por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$), y cada uno${\displaystyle S_{k}}$es el conjunto finito de estados posibles para la célula${\displaystyle k}$(p.ej,${\displaystyle S_{k}=\{0,1\}}$).

La probabilidad de transición, que define la dinámica, tiene forma de producto:

${\displaystyle P(d\sigma |\eta )=\bigotimes _{k\in G}p_{k}(d\sigma _{k}|\eta )}$

dónde${\displaystyle \sigma }$es la siguiente configuración y${\displaystyle p_{k}(d\sigma _ {k}|\eta )}$es una distribución de probabilidad en${\displaystyle S_{k}}$.

La localidad es un requisito clave, lo que significa la probabilidad de una celda.${\displaystyle k}$El cambio de su estado depende únicamente de los estados de sus vecinos. Esto se expresa como${\displaystyle p_{k}(d\sigma _{k}|\eta )=p_{k}(d\sigma _{k}|\eta _{V_{k}})}$, dónde${\displaystyle V_{k}}$es un vecindario finito de celda${\displaystyle k}$y${\displaystyle \eta _{V_{k}}}$son los estados de las células en ese vecindario. Véase ^{[ 5 ]} para una introducción más detallada desde este punto de vista.

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