Interpretaciones de probabilidad

La palabra " probabilidad " se ha utilizado de diversas maneras desde que se aplicó por primera vez al estudio matemático de los juegos de azar . ¿Mide la probabilidad la tendencia real y física a que algo ocurra, o es una medida de la fuerza con la que uno cree que ocurrirá, o se basa en ambos elementos? Para responder a estas preguntas, los matemáticos interpretan los valores de probabilidad de la teoría de la probabilidad .

Existen dos grandes categorías ^{[ 1 ] [ a ] ​​[ 2 ]} de interpretaciones de probabilidad que pueden denominarse probabilidades "físicas" y "evidenciales". Las probabilidades físicas, también llamadas probabilidades objetivas o de frecuencia , están asociadas con sistemas físicos aleatorios como las ruletas, los dados y los átomos radiactivos. En tales sistemas, un tipo de evento determinado (como que un dado dé un seis) tiende a ocurrir con una tasa persistente, o "frecuencia relativa", en una larga serie de ensayos. Las probabilidades físicas explican, o se invocan para explicar, estas frecuencias estables. Los dos tipos principales de teoría de la probabilidad física son las explicaciones frecuentistas (como las de Venn ^{[ 3 ]} , Reichenbach ^{[ 4 ]} y von Mises ^{[ 5 ]} ) y las explicaciones de propensión (como las de Popper, Miller, Giere y Fetzer). ^{[ 6 ]}

La probabilidad evidencial, también llamada probabilidad bayesiana , puede asignarse a cualquier enunciado, incluso cuando no interviene ningún proceso aleatorio, como una forma de representar su plausibilidad subjetiva racional, o el grado en que el enunciado está respaldado por la evidencia disponible. En la mayoría de los casos, las probabilidades evidenciales se consideran grados racionales de creencia, definidos en términos de predisposición a apostar con ciertas probabilidades. Las cuatro interpretaciones evidenciales principales son la interpretación clásica (p. ej., la de Laplace) ^{[ 7 ]} , la interpretación subjetiva ( de Finetti ^{[ 8 ]} y Savage ^{[ 9 ]} ), la interpretación epistémica o inductiva ( Ramsey [ ^{10 ] ,} Cox ^{[ 11 ]} ) y la interpretación lógica ( Keynes ^{[ 12 ]} y Carnap ^{[ 13 ]} ). También existen interpretaciones evidenciales de probabilidad que abarcan grupos, a menudo denominadas «intersubjetivas» (propuestas por Gillies ^{[ 14 ]} y Rowbottom ^{[ 6 ]} ).

Algunas interpretaciones de la probabilidad se asocian con enfoques de inferencia estadística , incluyendo teorías de estimación y contraste de hipótesis . La interpretación física, por ejemplo, es adoptada por seguidores de los métodos estadísticos frecuentistas, como Ronald Fisher , Jerzy Neyman y Egon Pearson . Los estadísticos de la escuela bayesiana , opuesta a esta, suelen aceptar la interpretación frecuentista cuando resulta pertinente (aunque no como definición), pero existe menos consenso respecto a las probabilidades físicas. Los bayesianos consideran que el cálculo de probabilidades evidenciales es válido y necesario en estadística. Sin embargo, este artículo se centra en las interpretaciones de la probabilidad, más que en las teorías de inferencia estadística.

La terminología de este tema resulta bastante confusa, en parte porque las probabilidades se estudian en diversos campos académicos. El término «frecuentista» es especialmente ambiguo. Para los filósofos, se refiere a una teoría particular de la probabilidad física, que prácticamente ha sido abandonada. Para los científicos, en cambio, la « probabilidad frecuentista » es simplemente otro nombre para la probabilidad física (u objetiva). Quienes promueven la inferencia bayesiana consideran la « estadística frecuentista » como un enfoque de la inferencia estadística basado en la interpretación de la probabilidad como una frecuencia, que suele recurrir a la ley de los grandes números y se caracteriza por lo que se denomina «prueba de significación de la hipótesis nula» (NHST). Asimismo, el término «objetivo», aplicado a la probabilidad, a veces significa exactamente lo mismo que «físico» en este contexto, pero también se utiliza para referirse a probabilidades evidenciales determinadas por restricciones racionales, como las probabilidades lógicas y epistémicas.

Existe consenso unánime en que la estadística depende de alguna manera de la probabilidad. Sin embargo, en cuanto a qué es la probabilidad y cómo se relaciona con la estadística, pocas veces se ha visto un desacuerdo tan profundo y una falta de comunicación tan generalizada desde la Torre de Babel. Sin duda, gran parte de la discrepancia es meramente terminológica y desaparecería con un análisis suficientemente riguroso.

La filosofía de la probabilidad presenta problemas principalmente en cuestiones de epistemología y en la compleja interacción entre los conceptos matemáticos y el lenguaje ordinario tal como lo utilizan quienes no son matemáticos. La teoría de la probabilidad es un campo de estudio consolidado en matemáticas. Tiene su origen en la correspondencia sobre las matemáticas de los juegos de azar entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat en el siglo XVII ^{[ 15 ]} , y fue formalizada y axiomática como una rama distinta de las matemáticas por Andrey Kolmogorov en el siglo XX. En su forma axiomática, las afirmaciones matemáticas sobre la teoría de la probabilidad poseen el mismo grado de confianza epistemológica dentro de la filosofía de las matemáticas que otras afirmaciones matemáticas. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

El análisis matemático se originó a partir de observaciones del comportamiento de equipos de juego como cartas y dados , diseñados específicamente para introducir elementos aleatorios e igualados; en términos matemáticos, son sujetos de indiferencia . Esta no es la única forma en que se utilizan las afirmaciones probabilísticas en el lenguaje humano cotidiano: cuando la gente dice que " probablemente lloverá ", normalmente no quiere decir que el resultado de lluvia o no lluvia sea un factor aleatorio que las probabilidades favorecen actualmente; más bien, tales afirmaciones se entienden mejor como una forma de calificar su expectativa de lluvia con un grado de confianza. Del mismo modo, cuando se escribe que "la explicación más probable" del nombre de Ludlow, Massachusetts , "es que recibió su nombre de Roger Ludlow ", lo que se quiere decir aquí no es que Roger Ludlow sea favorecido por un factor aleatorio, sino que esta es la explicación más plausible de la evidencia, que admite otras explicaciones menos probables.

Thomas Bayes intentó proporcionar una lógica que pudiera manejar distintos grados de confianza; por lo tanto, la probabilidad bayesiana es un intento de reformular la representación de las afirmaciones probabilísticas como una expresión del grado de confianza con que se sostienen las creencias que expresan.

Aunque la probabilidad inicialmente tuvo motivaciones algo mundanas, su influencia y uso modernos son generalizados y abarcan desde la medicina basada en la evidencia , pasando por Six Sigma , hasta la prueba verificable probabilísticamente y el panorama de la teoría de cuerdas .

El primer intento de rigor matemático en el campo de la probabilidad, impulsado por Pierre-Simon Laplace , se conoce ahora como la definición clásica . Desarrollada a partir de estudios de juegos de azar (como el lanzamiento de dados ), establece que la probabilidad se comparte por igual entre todos los resultados posibles, siempre que estos resultados puedan considerarse igualmente probables. ^{[ 1 ]} (3.1)

La teoría de la probabilidad consiste en reducir todos los eventos del mismo tipo a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, a aquellos sobre cuya existencia podemos estar igualmente indecisos, y en determinar el número de casos favorables al evento cuya probabilidad se busca. La razón entre este número y el de todos los casos posibles es la medida de esta probabilidad, que es, por lo tanto, simplemente una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles.

Esto se puede representar matemáticamente de la siguiente manera: Si un experimento aleatorio puede resultar en N resultados mutuamente excluyentes e igualmente probables y si N _A de estos resultados dan como resultado la ocurrencia del evento A , la probabilidad de A se define por

${\displaystyle P(A)={N_{A} \over N}.}$

La definición clásica presenta dos limitaciones claras. ^{[ 18 ]} En primer lugar, solo es aplicable a situaciones en las que existe un número «finito» de resultados posibles. Sin embargo, algunos experimentos aleatorios importantes, como lanzar una moneda hasta que salga cara, dan lugar a un conjunto infinito de resultados. En segundo lugar, requiere una determinación a priori de que todos los resultados posibles son igualmente probables, sin caer en la trampa del razonamiento circular al basarse en la noción de probabilidad. (Al utilizar la terminología «podemos estar igualmente indecisos», Laplace asumió, mediante lo que se ha denominado el « principio de razón insuficiente », que todos los resultados posibles son igualmente probables si no existe ninguna razón conocida para suponer lo contrario, para lo cual no hay justificación obvia. ^{[ 19 ] [ 20 ]} )

Los frecuentistas postulan que la probabilidad de un evento es su frecuencia relativa en el tiempo ^{[ 1 ]} , (3.4) es decir, su frecuencia relativa de ocurrencia después de repetir un proceso un gran número de veces bajo condiciones similares. Esto también se conoce como probabilidad aleatoria. Se supone que los eventos están regidos por algún fenómeno físico aleatorio , que son fenómenos que son predecibles, en principio, con información suficiente (véase determinismo ); o fenómenos que son esencialmente impredecibles. Ejemplos del primer tipo incluyen lanzar dados o girar una ruleta ; un ejemplo del segundo tipo es la desintegración radiactiva . En el caso de lanzar una moneda justa, los frecuentistas dicen que la probabilidad de obtener cara es 1/2, no porque haya dos resultados igualmente probables sino porque series repetidas de un gran número de ensayos demuestran que la frecuencia empírica converge al límite 1/2 cuando el número de ensayos tiende a infinito.

Si denotamos por${\displaystyle \textstyle n_ {a}}$el número de ocurrencias de un evento${\displaystyle {\mathcal {A}}}$en${\displaystyle \textstyle n}$ensayos, entonces si${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{n_{a} \over n}=p}$decimos que${\displaystyle \textstyle P({\mathcal {A}})=p}$.

La perspectiva frecuentista tiene sus propios problemas. Por supuesto, es imposible realizar una infinidad de repeticiones de un experimento aleatorio para determinar la probabilidad de un evento. Pero si solo se realiza un número finito de repeticiones del proceso, aparecerán diferentes frecuencias relativas en diferentes series de ensayos. Si estas frecuencias relativas definen la probabilidad, esta será ligeramente diferente cada vez que se mida. Pero la probabilidad real debería ser la misma en cada ocasión. Si reconocemos que solo podemos medir una probabilidad con cierto margen de error, aún nos encontramos con problemas, ya que el error de medición solo puede expresarse como una probabilidad, el concepto mismo que intentamos definir. Esto hace que incluso la definición de frecuencia sea circular; véase, por ejemplo, "¿ Cuál es la probabilidad de un terremoto? " ^{[ 21 ].}

Los subjetivistas, también conocidos como bayesianos o seguidores de la probabilidad epistémica , otorgan a la noción de probabilidad un carácter subjetivo al considerarla una medida del «grado racional de creencia» del individuo que evalúa la incertidumbre de una situación particular. La probabilidad epistémica o subjetiva se denomina a veces credencia , en contraposición al término probabilidad de propensión.

Algunos ejemplos de probabilidad epistémica son asignar una probabilidad a la proposición de que una ley física propuesta es verdadera o determinar cuán probable es que un sospechoso haya cometido un delito, basándose en las pruebas presentadas.

El uso de la probabilidad bayesiana suscita el debate filosófico sobre si puede aportar justificaciones válidas de la creencia . Los bayesianos señalan el trabajo de Ramsey ^{[ 10 ]} (p. 182) y de Finetti ^{[ 8 ]} (p. 103) como prueba de que las creencias subjetivas deben seguir las leyes de la probabilidad para ser coherentes (racionales). ^{[ 22 ]}

La evidencia genera dudas sobre si los seres humanos individuales aplican rutinariamente creencias coherentes, ^{[ 23 ] [ 24 ]} lo que indica que a menudo no se adhieren a la probabilidad bayesiana.

El uso de la probabilidad bayesiana implica especificar una probabilidad a priori . Esta se puede obtener considerando si la probabilidad a priori requerida es mayor o menor que una probabilidad de referencia asociada con un modelo de urna o un experimento mental . El problema radica en que, para un problema dado, podrían aplicarse múltiples experimentos mentales, y elegir uno a veces es una cuestión de criterio: diferentes personas pueden asignar diferentes probabilidades a priori, lo que se conoce como el problema de la clase de referencia . El " problema del amanecer " proporciona un ejemplo.

Los teóricos de la propensión conciben la probabilidad como una propensión física, una disposición o una tendencia de un tipo determinado de situación física a producir un resultado de cierta clase o una frecuencia relativa a largo plazo de dicho resultado. ^{[ 25 ]} Este tipo de probabilidad objetiva a veces se denomina «azar».

Las propensiones, o probabilidades, no son frecuencias relativas, sino supuestas causas de las frecuencias relativas estables observadas. Se invocan para explicar por qué la repetición de un determinado tipo de experimento generará ciertos tipos de resultados a tasas persistentes, que se conocen como propensiones o probabilidades. Los frecuentistas no pueden adoptar este enfoque, ya que las frecuencias relativas no existen para lanzamientos individuales de una moneda, sino solo para grandes conjuntos o colectivos (véase "caso único posible" en la tabla anterior). ^{[ 2 ]} En cambio, un propensitista puede utilizar la ley de los grandes números para explicar el comportamiento de las frecuencias a largo plazo. Esta ley, que es consecuencia de los axiomas de probabilidad, dice que si (por ejemplo) se lanza una moneda repetidamente muchas veces, de tal manera que su probabilidad de caer cara sea la misma en cada lanzamiento, y los resultados son probabilísticamente independientes, entonces la frecuencia relativa de cara será cercana a la probabilidad de cara en cada lanzamiento individual. Esta ley permite que las frecuencias estables a largo plazo sean una manifestación de probabilidades invariantes de un solo caso . Además de explicar la aparición de frecuencias relativas estables, la idea de propensión surge del deseo de comprender las atribuciones de probabilidad de un solo caso en mecánica cuántica, como la probabilidad de desintegración de un átomo en un momento determinado.

El principal desafío para las teorías de la propensión es definir con precisión qué significa propensión. (Y, por supuesto, demostrar que la propensión así definida posee las propiedades requeridas). Lamentablemente, en la actualidad, ninguna de las teorías de la propensión más reconocidas se acerca a resolver este desafío.

Una teoría de la propensión de la probabilidad fue dada por Charles Sanders Peirce . ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} Una teoría de la propensión posterior fue propuesta por el filósofo Karl Popper , quien, sin embargo, tenía poco conocimiento de los escritos de C.  S. Peirce. ^{[ 26 ] [ 27 ]} Popper señaló que el resultado de un experimento físico es producido por un cierto conjunto de "condiciones generadoras". Cuando repetimos un experimento, como dice el dicho, en realidad realizamos otro experimento con un conjunto (más o menos) similar de condiciones generadoras. Decir que un conjunto de condiciones generadoras tiene una propensión p de producir el resultado E significa que esas condiciones exactas, si se repiten indefinidamente, producirían una secuencia de resultados en la que E ocurriría con una frecuencia relativa límite p . Para Popper entonces, un experimento determinista tendría una propensión de 0 o 1 para cada resultado, ya que esas condiciones generadoras tendrían el mismo resultado en cada ensayo. En otras palabras, las propensiones no triviales (aquellas que difieren de 0 y 1) solo existen en experimentos genuinamente no deterministas.

Otros filósofos, como David Miller y Donald A. Gillies , han propuesto teorías de la propensión algo similares a la de Popper.

Otros teóricos de la propensión (por ejemplo, Ronald Giere ^{[ 30 ]} ) no definen explícitamente las propensiones, sino que las consideran definidas por el papel teórico que desempeñan en la ciencia. Argumentaron, por ejemplo, que las magnitudes físicas como la carga eléctrica tampoco pueden definirse explícitamente en términos de conceptos más básicos, sino solo en función de su función (como atraer y repeler otras cargas eléctricas). De manera similar, la propensión es todo aquello que cumple las diversas funciones que la probabilidad física desempeña en la ciencia.

¿Qué papel juega la probabilidad física en la ciencia? ¿Cuáles son sus propiedades? Una propiedad central del azar es que, cuando se conoce, obliga a la creencia racional a tomar el mismo valor numérico. David Lewis lo llamó el Principio Principal , ^{[ 1 ]} (3.3 y 3.5) un término que los filósofos han adoptado en su mayoría. Por ejemplo, supongamos que usted está seguro de que una moneda trucada tiene una propensión de 0.32 a caer cara cada vez que se lanza. ¿Cuál es entonces el precio correcto para una apuesta que paga $1 si la moneda cae cara, y nada en caso contrario? Según el Principio Principal, el precio justo es de 32 centavos.

Es ampliamente reconocido que el término "probabilidad" se utiliza a veces en contextos donde no guarda relación con el azar físico. Consideremos, por ejemplo, la afirmación de que la extinción de los dinosaurios probablemente fue causada por el impacto de un gran meteorito contra la Tierra. Afirmaciones como "La hipótesis H es probablemente verdadera" se han interpretado en el sentido de que la evidencia empírica (E, por ejemplo) disponible actualmente respalda H en gran medida. Este grado de respaldo de H por parte de E se ha denominado probabilidad lógica , epistémica o inductiva de H dado E.

Las diferencias entre estas interpretaciones son bastante pequeñas y pueden parecer intrascendentes. Uno de los principales puntos de desacuerdo radica en la relación entre probabilidad y creencia. Las probabilidades lógicas se conciben (por ejemplo, en el Tratado de Probabilidad de Keynes ^{[ 12 ]} ) como relaciones lógicas objetivas entre proposiciones (u oraciones) y, por lo tanto, no dependen en absoluto de la creencia. Son grados de implicación (parcial) o grados de consecuencia lógica , no grados de creencia . (Sin embargo, sí determinan los grados de creencia adecuados, como se analiza más adelante). Frank P. Ramsey , por otro lado, se mostró escéptico sobre la existencia de tales relaciones lógicas objetivas y argumentó que la probabilidad (evidencial) es "la lógica de la creencia parcial". ^{[ 10 ]} (p. 157) En otras palabras, Ramsey sostuvo que las probabilidades epistémicas son simplemente grados de creencia racional, en lugar de ser relaciones lógicas que simplemente restringen los grados de creencia racional.

Otro punto de desacuerdo concierne a la unicidad de la probabilidad evidencial, en relación con un estado de conocimiento dado. Rudolf Carnap sostenía, por ejemplo, que los principios lógicos siempre determinan una probabilidad lógica única para cualquier enunciado, en relación con cualquier conjunto de pruebas. Ramsey, por el contrario, pensaba que si bien los grados de creencia están sujetos a ciertas restricciones racionales (como, entre otras, los axiomas de probabilidad), estas restricciones generalmente no determinan un valor único. En otras palabras, las personas racionales pueden diferir ligeramente en sus grados de creencia, incluso si todas poseen la misma información.

Una concepción alternativa de la probabilidad enfatiza el papel de la predicción : predecir observaciones futuras a partir de observaciones pasadas, no de parámetros inobservables. En su forma moderna, se inscribe principalmente en la línea bayesiana. Esta fue la función principal de la probabilidad antes del siglo XX ^{[ 31 ]} , pero cayó en desuso en comparación con el enfoque paramétrico, que modelaba los fenómenos como un sistema físico observado con error, como en la mecánica celeste .

El enfoque predictivo moderno fue impulsado por Bruno de Finetti , con la idea central de intercambiabilidad : que las observaciones futuras deberían comportarse como observaciones pasadas. ^{[ 31 ]} Esta visión llegó a la atención del mundo angloparlante con la traducción de 1974 del libro de de Finetti ^{[ 31 ]} , y desde entonces ha sido defendida por estadísticos como Seymour Geisser .

Las matemáticas de la probabilidad pueden desarrollarse sobre una base completamente axiomática, independiente de cualquier interpretación: véanse los artículos sobre teoría de la probabilidad y axiomas de probabilidad para un tratamiento detallado.

• Probabilidad de cobertura
• Frecuencia (estadística)
• Probabilidad negativa
• Filosofía de las matemáticas
• Filosofía de la estadística
• Probabilidad pignística
• Amplitud de probabilidad (mecánica cuántica)
• Problema del amanecer
• epistemología bayesiana

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• Interpretaciones de la probabilidad en el Proyecto de Ontología Filosófica de Indiana
• Interpretación de la probabilidad en PhilPapers