Campo global

En matemáticas , un campo global es uno de los dos tipos de campos (el otro son los campos locales ) que se caracterizan mediante valuaciones o valores absolutos . Hay dos tipos de campos globales : ^{[ 1 ]}

• Cuerpo de números algebraicos : Una extensión finita de${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Campo de funciones global : El campo de funciones de una curva algebraica irreducible sobre un campo finito , equivalentemente, una extensión finita de${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$, el campo de funciones racionales en una variable sobre el campo finito con${\displaystyle q=p^{n}}$elementos.

Emil Artin y George Whaples dieron una caracterización axiomática de estos campos a través de la teoría de la valoración en la década de 1940. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Decimos que ese campo${\displaystyle K}$es un campo global cuando existe un conjunto${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$de lugares (clases de equivalencia de valores absolutos en${\displaystyle K}$) de tal manera que:

• Para cada elemento distinto de cero${\displaystyle \alpha \in K}$,${\displaystyle \vert \alpha \vert _{\mathfrak {p}}=1}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {M}}}$, y${\displaystyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {M}}}\vert \alpha \vert _{\mathfrak {p}}=1}$
• Al menos uno de los lugares en${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$es discreto con campo residual finito o arquimediano.

Solo dos tipos de campos satisfacen la definición axiomática:

Un campo de números algebraicos

Un cuerpo numérico algebraico F es una extensión de cuerpo finita (y por lo tanto algebraica ) del cuerpo de los números racionales Q. Así, F es un cuerpo que contiene a Q y tiene dimensión finita cuando se considera como un espacio vectorial sobre Q.

El campo de funciones de una curva algebraica irreducible sobre un campo finito

Un cuerpo de funciones de una variedad algebraica es el conjunto de todas las funciones racionales definidas en dicha variedad. En una curva algebraica irreducible (es decir, una variedad unidimensional V ) sobre un cuerpo finito, definimos una función racional en un subconjunto afín abierto U como la razón de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U , y una función racional en todo V consiste en datos locales que coinciden en las intersecciones de subconjuntos afines abiertos. Técnicamente, esto define las funciones racionales en V como el cuerpo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, dado que todos estos subconjuntos son densos.

Existen varias similitudes formales entre los dos tipos de campos globales. Un campo de cualquiera de los dos tipos tiene la propiedad de que todas sus completaciones son campos localmente compactos (véase campos locales ). Todo campo de cualquiera de los dos tipos puede realizarse como el campo de fracciones de un dominio de Dedekind en el que todo ideal no nulo tiene índice finito. En cada caso, se tiene la fórmula del producto para elementos no nulos x :

${\displaystyle \prod _{v}|x|_{v}=1,}$

donde v varía en todas las valoraciones del campo.

La analogía entre ambos tipos de campos ha sido una importante fuente de inspiración en la teoría algebraica de números . La idea de una analogía entre campos numéricos y superficies de Riemann se remonta a Richard Dedekind y Heinrich M. Weber en el siglo XIX. La analogía más estricta, expresada mediante el concepto de "campo global", en la que el aspecto de una superficie de Riemann como curva algebraica se corresponde con curvas definidas sobre un campo finito, se desarrolló durante la década de 1930, culminando en la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos, formulada por André Weil en 1940. La terminología podría deberse a Weil, quien escribió su Teoría Básica de Números (1967) en parte para desarrollar este paralelismo.

Por lo general, es más fácil trabajar en el caso de los cuerpos de funciones y luego intentar desarrollar técnicas paralelas en el caso de los cuerpos de números. El desarrollo de la teoría de Arakelov y su aplicación por Gerd Faltings en su demostración de la conjetura de Mordell es un ejemplo impactante. La analogía también influyó en el desarrollo de la teoría de Iwasawa y la Conjetura Principal . La demostración del lema fundamental en el programa de Langlands también empleó técnicas que redujeron el caso de los cuerpos de números al caso de los cuerpos de funciones.