Categoría de producto

En el campo matemático de la teoría de categorías , el producto de dos categorías C y D , denotado C × D y llamado categoría producto , es una extensión del concepto de producto cartesiano de dos conjuntos . Las categorías producto se utilizan para definir bifuntores y multifuntores . ^{[ 1 ]}

La categoría de producto C × D tiene:

• como objetos :

  pares de objetos ( A , B ) , donde A es un objeto de C y B de D ;

• como flechas desde ( A1 , B1 ) hasta ( A2 , B2 ) : _​​​​

  pares de flechas ( f , g ) , donde f : A ₁ → A ₂ es una flecha de C y g : B ₁ → B ₂ es una flecha de D ;  

• como composición, composición por componentes de las categorías contribuyentes:

  ( f ₂ , g ₂ ) o ( f ₁ , g ₁ ) = ( f ₂ o f ₁ , g ₂ o g ₁ ) ;

• como identidades, pares de identidades de las categorías contribuyentes:

  1 _{( A , B )} = (1 _A , 1 _B ).

Un producto de una familia de categorías se define exactamente de la misma manera.

Al igual que ocurre con los conjuntos, un producto de una familia de categorías se caracteriza por la siguiente propiedad universal. Dadas las categorías${\displaystyle C_{i}}$indexado por un conjunto${\displaystyle I}$,${\displaystyle P=\prod C_{i},p_{j}:P\to C_{j},j\in I}$satisfacer:

dada una familia de functores${\displaystyle f_{i}:D\to C_{i}}$, existe un functor único${\displaystyle f:D\to P}$de tal manera que${\displaystyle f_{j}=p_{j}\circ f}$para cada${\displaystyle j\in I}$.

Dicho de otro modo, un producto de una familia de categorías pequeñas es exactamente el producto categórico de ellas en la categoría de categorías pequeñas.${\displaystyle {\mathsf {Gato}}}$. Así, por ejemplo, $${\displaystyle \textstyle {\mathsf {Fct}}(A,\prod _{i}B_{i})\simeq \prod _{i}{\mathsf {Fct}}(A,B_{i})}$$

dónde${\displaystyle {\mathsf {Fct}}}$denota una categoría de funtores . ^{[ 2 ]}

Dados dos functores${\displaystyle f:C\to D,g:C'\to D'}$, el producto${\displaystyle f\times g:C\times C'\to D\times D'}$se define por componentes; es decir, $${\displaystyle (f\times g)(x,x')=(f(x),g(x'))}$$ para un par de objetos o morfismos${\displaystyle x,x'}$. ^{[ 3 ]} (Este producto también puede caracterizarse por la propiedad universal similar a la de las categorías.) De esta forma, obtenemos el functor

${\displaystyle \times$ :{\mathsf {Gato}}\times {\mathsf {Gato}}\to {\mathsf {Gato}}.}

Satisface la adjunción tensorial-hom en el sentido

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathsf {Cat}}(A\times B,C)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathsf {Cat}}(A,{\mathsf {Fct}}(B,C))}$

dónde${\displaystyle {\mathsf {Fct}}}$denota una categoría de funtores . ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle f,g:C\to D}$sean functores. Supongamos que existe una transformación natural.${\displaystyle \varphi :f\to g}$. Entonces${\displaystyle \varphi }$determina el functor

${\displaystyle h:C\times {\underline {2}}\to D}$

de tal manera que

${\displaystyle h(\cdot ,0)=f,\,h(\cdot ,1)=g}$,

dónde${\displaystyle {\underline {2}}=\{0,1\}}$es la categoría con dos objetos y el morfismo de no identidad${\displaystyle \rightsquigarrow :0\to 1}$. ^{[ 3 ]} Intuitivamente, h es una homotopía no invertible de${\displaystyle f}$a${\displaystyle g}$. En efecto, definir${\displaystyle h}$por, para${\displaystyle x:a\to b}$en${\displaystyle C}$,

${\displaystyle h(x,\operatorname {id} _{0})=f(x),\,h(x,\operatorname {id} _{1})=g(x),\,h(x,\rightsquigarrow )=g(x)\circ \varphi _{a}=\varphi _{b}\circ f(x).}$

Por el contrario, dado${\displaystyle h:C\times {\underline {2}}\to D}$, obtenemos${\displaystyle f,g,\varphi }$por${\displaystyle f=h(\cdot ,0),\,g=h(\cdot ,1)}$y${\displaystyle \varphi _{a}=h(\operatorname {id} _{a},\rightsquigarrow )}$. ^{[ 5 ]}

Un functor cuyo dominio es una categoría de producto se denomina bifunctor . Un bifunctor puede definirse en cada variable por separado en el siguiente sentido:

Por ejemplo, considere${\displaystyle (a,b)\mapsto \operatorname {Hom} (a,b):C^{op}\times C\to {\mathsf {Set}}}$. Para cada fijo${\displaystyle b}$en${\displaystyle B}$, tenemos el functor

${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,b):C^{op}\to {\mathsf {Set}}}$

por retroceso ; es decir,${\displaystyle f:a\to a'}$va a la función

${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Hom} (a',b)\to \operatorname {Hom} (a,b)}$

definido por${\displaystyle f^{*}g=g\circ f}$. Por otro lado,${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,-):C\to {\mathsf {Set}}}$ se define por empuje hacia adelante; es decir,${\displaystyle f\mapsto f_{*}=f\circ -}$. Claramente, estos dos functores conmutan (la asociatividad de la composición) y, por lo tanto, según la proposición, obtenemos el functor llamado functor Hom.

${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-):C^{op}\times C\to {\mathsf {Set}},}$

lo cual se indica explícitamente como:${\displaystyle (f,g)\mapsto (h\mapsto g\circ h\circ f).}$

Existe un resultado similar para las transformaciones naturales entre bifuntores:

• Definición 1.6.5 en Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra . Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [es decir, 52]. Vol.  1. Cambridge University Press. p . 22. ISBN  0-521-44178-1.
• Categoría de producto en el laboratorio n
• Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático práctico (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York. págs. 36–40 . ISBN  1441931236OCLC 851741862​​