Método de aproximación iterativa progresiva

En los algoritmos de interpolación de PIA, ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 9 ] [ 16 ]} cada punto de datos se utiliza como punto de control. Para facilitar la descripción del formato de iteración de PIA para diferentes formas de curvas y superficies, se utiliza uniformemente la siguiente fórmula: $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}B_{i}(\mathbf {t} ).}$$ Por ejemplo:

• Si${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$es una curva B-spline, entonces${\displaystyle \mathbf {t} }$es un escalar,${\displaystyle B_{i}(t)}$es una función base B-spline, y${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$denota el punto de control; ^{[ 8 ]}
• Si${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$es un parche B-spline con${\displaystyle n_{u}\times n_{v}}$puntos de control, entonces${\displaystyle \mathbf {t} =(u,v)}$y${\displaystyle B_{i}(\mathbf {t} )=N_{i}(u)N_{i}(v)}$, dónde${\displaystyle N_{i}(u)}$y${\displaystyle N_{i}(v)}$son funciones base B-spline; ^{[ 8 ]}
• Si${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$es un sólido B-spline trivariado con${\displaystyle n_{u}\times n_{v}\times n_{w}}$puntos de control, entonces${\displaystyle \mathbf {t} =(u,v,w)}$y${\displaystyle B_{i}(\mathbf {t} )=N_{i}(u)N_{i}(v)N_{i}(w)}$, dónde${\displaystyle N_{i}(u)}$,${\displaystyle N_{i}(v)}$, y${\displaystyle N_{i}(w)}$son funciones base B-spline. ^{[ 17 ]}

Además, esto se puede aplicar a curvas y superficies NURBS, superficies T-spline y superficies triangulares de Bernstein-Bézier. ^{[ 18 ]}

Dado un conjunto de datos ordenado${\displaystyle \mathbf {Q} _ {i}}$con parámetros${\displaystyle t_{i}}$satisfactorio${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\cdots }$para${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}$, la curva de ajuste inicial es: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{(0)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(0)}B_{i}(t)}$$ donde los puntos de control iniciales de la curva de ajuste inicial${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{(0)}}$puede ser seleccionado aleatoriamente. Supongamos que después de la${\displaystyle k}$iteración, la${\displaystyle k}$la curva de ajuste${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)}$es generado por

Para construir el${\displaystyle (k+1)}$curva st, primero calculamos los vectores de diferencia , $${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{(k)}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,n}$$ y utilizarlos para actualizar los puntos de control mediante $${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{(k+1)}=\mathbf {P} _{i}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}}$$ lo que lleva a la${\displaystyle (k+1)}$curva de ajuste st: $${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k+1)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(k+1)}B_{i}(t).}$$ De esta forma, obtenemos una secuencia de curvas${\textstyle \mathbf {P} ^{(\alpha )}(t),\alpha =0,1,2,\cdots }$, que converge a una curva límite que interpola los puntos de datos dados, ^{[ 1 ] [ 9 ]} es decir, $${\displaystyle \lim \limits _{\alpha \rightarrow \infty }\mathbf {P} ^{(\alpha )}(t_{i})=\mathbf {Q} _{i},\quad i=1,2,\cdots ,n.}$$

Para el problema de ajuste de curvas y superficies B-spline, Deng y Lin propusieron una aproximación iterativa progresiva de mínimos cuadrados (LSPIA), ^{[ 10 ] [ 19 ]} que permite que el número de puntos de control sea menor que el número de puntos de datos y es más adecuada para problemas de ajuste de datos a gran escala. ^{[ 10 ]}

Supongamos que existe${\displaystyle m}$puntos de datos y${\displaystyle n}$puntos de control, donde${\displaystyle n\leq m}$. Comencemos con la ecuación ( 1 ), que da el${\displaystyle k}$la curva de ajuste como $${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t).}$$ Para generar el${\displaystyle (k+1)}$curva de ajuste, primero calcule los vectores de diferencia para los puntos de datos ^{[ 10 ] [ 19 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{(k)}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,m}$$ y luego los vectores de diferencia para los puntos de control $${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{j}^{(k)}={\frac {\sum _{i\in I_{j}}{c_{i}B_{j}(t_{i}){\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}}}{\sum _{i\in I_{j}}c_{i}B_{j}(t_{i})}},\quad j=1,2,\cdots ,n}$$ dónde${\displaystyle I_{j}}$es el conjunto de índices de los puntos de datos en el${\displaystyle j}$el grupo, cuyos parámetros caen en el soporte local del${\displaystyle j}$la función base, es decir,${\displaystyle B_{j}(t_{i})\neq 0}$. El${\displaystyle c_{i}}$son pesos que garantizan la convergencia del algoritmo, generalmente tomados como${\displaystyle c_{i}=1,i\in I_{j}}$.

Finalmente, los puntos de control de la${\displaystyle (k+1)}$La curva se actualiza mediante${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{(k+1)}=\mathbf {P} _{j}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{j}^{(k)},}$lo que lleva a la${\displaystyle (k+1)}$la curva de ajuste${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k+1)}(t)}$De esta forma, obtenemos una secuencia de curvas, y la curva límite converge al resultado del ajuste por mínimos cuadrados a los puntos de datos dados. ^{[ 10 ] [ 19 ]}

En el método PIA local, ^{[ 12 ]} los puntos de control se dividen en puntos de control activos y fijos, cuyos subíndices se denotan como${\textstyle I=\left\{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{I}\right\}}$y${\textstyle J=\left\{j_{1},j_{2},\cdots ,j_{J}\right\}}$, respectivamente. Supongamos que, el${\textstyle k}$La curva de ajuste es${\textstyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t)}$donde los puntos de control fijos satisfacen $${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{(k)}=\mathbf {P} _{j}^{(0)},\quad j\in J,\quad k=0,1,2,\cdots .}$$ Luego, por un lado, la fórmula iterativa del vector de diferencias${\textstyle \mathbf {\Delta } _{h}^{(k+1)}}$correspondiente a los puntos de control fijos es $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Delta } _{h}^{(k+1)}&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{h})\\&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j\in J}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{h})-\sum _{i\in I}\left(\mathbf {P} _{i}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}\right)B_{i}(t_{h})\\&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t_{h})-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{h})\\&=\mathbf {\Delta } _{h}^{(k)}-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{h}),\quad h\in J.\end{aligned}}}$$ Por otro lado, la fórmula iterativa del vector de diferencias${\textstyle \mathbf {D} _{l}^{(k+1)}}$correspondiente a los puntos de control activos es $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Delta } _{l}^{(k+1)}&=\mathbf {Q} _{l}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{l})\\&=\mathbf {Q} _{l}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t_{l})-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{l})\\&=\mathbf {\Delta } _{l}^{(k)}-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{l})\\&=-\mathbf {\Delta } _{i_{1}}^{(k)}B_{i_{1}}(t_{l})-\mathbf {\Delta } _{i_{2}}^{(k)}B_{i_{2}}(t_{l})-\cdots +\left(1-B_{l}(t_{l})\right)\mathbf {\Delta } _{l}^{(k)}-\cdots -\mathbf {\Delta } _{i_{I}}^{(k)}B_{i_{I}}(t_{l}),\quad l\in I.\end{aligned}}}$$ Al organizar los vectores de diferencia anteriores en una secuencia unidimensional, $${\displaystyle \mathbf {D} ^{(k+1)}=\left[\mathbf {\Delta } _{j_{1}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{j_{2}}^{(k+1)},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{j_{J}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{i_{1}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{i_{2}}^{(k+1)},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{i_{I}}^{(k+1)}\right]^{T},\quad k=0,1,2,\cdots ,}$$ El formato de iteración local en forma matricial es: $${\displaystyle \mathbf {D} ^{(k+1)}=\mathbf {T} \mathbf {D} ^{(k)},\quad k=0,1,2,\cdots ,}$$ dónde${\textstyle \mathbf {T} }$es la matriz de iteración: $${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{J}&-\mathbf {B} _{1}\\0&\mathbf {E} _{I}-\mathbf {B} _{2}\end{bmatrix}},}$$ dónde${\textstyle \mathbf {E} _{J}}$y${\textstyle \mathbf {E} _{I}}$son las matrices identidad y $${\displaystyle \mathbf {B} _{1}={\begin{bmatrix}B_{i_{1}}\left(t_{j_{1}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{1}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{1}}\right)\\B_{i_{1}}\left(t_{j_{2}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{2}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{2}}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\B_{i_{1}}\left(t_{j_{J}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{J}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{J}}\right)\\\end{bmatrix}},\mathbf {B} _{2}={\begin{bmatrix}B_{i_{1}}\left(t_{i_{1}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{1}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{1}}\right)\\B_{i_{1}}\left(t_{i_{2}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{2}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{2}}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\B_{i_{1}}\left(t_{i_{I}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{I}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{I}}\right)\\\end{bmatrix}}.}$$ El formato de iteración local anterior converge y puede extenderse a superficies de mezcla ^{[ 12 ]} y superficies de subdivisión. ^{[ 20 ]}

El formato PIA para la reconstrucción implícita de curvas y superficies se presenta a continuación. ^{[ 11 ]} Dada una nube de puntos ordenada${\textstyle \left\{\mathbf {Q} _{i}\right\}_{i=1}^{n}}$y un vector normal unitario${\textstyle \left\{\mathbf {n} _{i}\right\}_{i=1}^{n}}$En los puntos de datos, queremos reconstruir una curva implícita a partir de la nube de puntos dada . Para evitar una solución trivial, algunos puntos de desplazamiento${\textstyle \left\{\mathbf {Q} _{l}\right\}_{l=n+1}^{2n}}$se añaden a la nube de puntos. ^{[ 11 ]} Se desplazan una distancia${\textstyle \sigma }$a lo largo del vector normal unitario de cada punto $${\displaystyle \mathbf {Q} _{l}=\mathbf {Q} _{i}+\sigma \mathbf {n} _{i},\quad l=n+i,\quad i=1,2,\cdots ,n.}$$ Supongamos que${\textstyle \epsilon }$es el valor de la función implícita en el punto de desplazamiento $${\displaystyle f\left(\mathbf {Q} _{l}\right)=\epsilon ,\quad l=n+1,n+2,\cdots ,2n.}$$ Dejemos la curva implícita después de la${\textstyle \alpha }$la iteración sea $${\displaystyle f^{(\alpha )}(x,y)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}C_{ij}^{(\alpha )}B_{i}(x)B_{j}(y),}$$ dónde${\textstyle C_{ij}^{(\alpha )}}$es el punto de control.

Defina el vector de diferencia de puntos de datos como ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{k}^{(\alpha )}&=0-f^{(\alpha )}(x_{k},y_{k}),\quad k=1,2,\cdots ,n,\\{\boldsymbol {\delta }}_{l}^{(\alpha )}&=\epsilon -f^{(\alpha )}(x_{l},y_{l}),\quad l=n+1,n+2,\cdots ,2n.\end{aligned}}}$$ A continuación, calcule el vector de diferencias de los coeficientes de control. $${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{ij}^{(\alpha )}=\mu \sum _{k=1}^{2n}B_{i}(x_{k})B_{j}(y_{k}){\boldsymbol {\delta }}_{k}^{(\alpha )},\quad i=1,2,\cdots ,N_{u},\quad j=1,2,\cdots ,N_{v},}$$ dónde${\textstyle \mu }$es el coeficiente de convergencia. Como resultado, los nuevos coeficientes de control son $${\displaystyle C_{ij}^{(\alpha +1)}=C_{ij}^{(\alpha )}+{\boldsymbol {\Delta }}_{ij}^{(\alpha )},}$$ lo que conduce a la nueva curva B-spline algebraica $${\displaystyle f^{(\alpha +1)}(x,y)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}C_{ij}^{(\alpha +1)}B_{i}(x)B_{j}(y).}$$ El procedimiento anterior se lleva a cabo de forma iterativa para generar una secuencia de funciones B-spline algebraicas.${\textstyle \left\{f^{(\alpha )}(x,y),\quad \alpha =0,1,2,\cdots \right\}}$La secuencia converge a un problema de minimización con restricciones cuando los coeficientes de control iniciales${\textstyle C_{ij}^{(0)}=0}$. ^{[ 11 ]}

Supongamos que la superficie implícita generada después de la${\textstyle \alpha }$La iteración es $${\displaystyle f^{(\alpha )}(x,y,z)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}\sum _{k=1}^{N_{w}}C_{ijk}^{(\alpha )}B_{i}(x)B_{j}(y)B_{k}(z),}$$ El formato de iteración es similar al del caso de la curva. ^{[ 11 ] [ 21 ]}

Para desarrollar fairing-PIA, primero definimos los funcionales de la siguiente manera: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{r,j}(f)=\int _{t_{1}}^{t_{m}}B_{r,j}(t)fdt,\quad j=1,2,\cdots ,n,\quad r=1,2,3,}$$ dónde${\textstyle B_{r,j}(t)}$representa el${\textstyle r}$derivada de la función base${\textstyle B_{j}(t)}$, ^{[ 8 ]} (por ejemplo, función base B-spline ).

Deja la curva después de la${\textstyle k}$la iteración sea $${\displaystyle \mathbf {P} ^{[k]}(t)=\sum _{j=1}^{n}B_{j}(t)\mathbf {P} _{j}^{[k]},\quad t\in [t_{1},t_{m}].}$$ Para construir la nueva curva${\textstyle \mathbf {P} ^{[k+1]}(t)}$, primero calculamos el${\textstyle (k+1)}$vectores de diferencia st para puntos de datos, ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \mathbf {d} _{i}^{[k]}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{[k]}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,m.}$$ Luego, los vectores de diferencia de ajuste y los vectores de suavizado para los puntos de control se calculan mediante ^{[ 13 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{j}^{[k]}&=\sum _{h\in I_{j}}B_{j}(t_{h})\mathbf {d} _{h}^{[k]},\quad j=1,2,\cdots ,n\\{\boldsymbol {\eta }}_{j}^{[k]}&=\sum _{l=1}^{n}{\mathcal {F}}_{r,l}\left(B_{r,j}(t)\right)\mathbf {P} _{l}^{[k]},\quad j=1,2,\cdots ,n\\\end{aligned}}}$$ Finalmente, los puntos de control de la${\displaystyle (k+1)}$Las curvas st se producen mediante ^{[ 13 ].}$${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{[k+1]}=\mathbf {P} _{j}^{[k]}+\mu _{j}\left[\left(1-\omega _{j}\right){\boldsymbol {\delta }}_{j}^{[k]}-\omega _{j}{\boldsymbol {\eta }}_{j}^{[k]}\right],\quad j=1,2,\cdots ,n,}$$ dónde${\displaystyle \mu _{j}}$es un peso de normalización y${\displaystyle \omega _{j}}$es un peso de suavizado que corresponde al${\displaystyle j}$Punto de control. Los pesos de suavizado se pueden emplear para ajustar la suavidad individualmente, lo que proporciona una gran flexibilidad para la suavidad. ^{[ 13 ]} Cuanto mayor sea el peso de suavizado, más suave será la curva generada. La nueva curva se obtiene de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {P} ^{[k+1]}(t)=\sum _{j=1}^{n}B_{j}(t)\mathbf {P} _{j}^{[k+1]},\quad t\in [t_{1},t_{m}].}$$ De esta forma, obtenemos una secuencia de curvas${\textstyle \left\{\mathbf {P} ^{[k]}(t),\;k=1,2,3,\cdots \right\}}$. La secuencia converge a la solución del método de suavizado convencional basado en la minimización de energía cuando todos los pesos de suavizado son iguales (${\textstyle \omega _{j}=\omega }$). ^{[ 13 ]} De manera similar, el carenado-PIA se puede extender al caso de superficie.

Aproximación iterativa progresiva de mínimos cuadrados isogeométricos (IG-LSPIA). ^{[ 14 ]} Dado un problema de valores en la frontera ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}u=f,&\quad {\text{in}}\;\Omega ,\\{\mathcal {G}}u=g,&\quad {\text{on}}\;\partial \Omega ,\end{aligned}}\right.}$$ dónde${\textstyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$es la solución desconocida,${\textstyle {\mathcal {L}}}$es el operador diferencial ,${\textstyle {\mathcal {G}}}$es el operador de frontera, y${\textstyle f}$y${\textstyle g}$son las funciones continuas. En el método de análisis isogeométrico , las funciones base NURBS ^{[ 8 ]} se utilizan como funciones de forma para resolver la solución numérica de este problema de valores en la frontera. ^{[ 15 ]} Las mismas funciones base se aplican para representar la solución numérica.${\textstyle u_{h}}$y el mapeo geométrico${\textstyle G}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}\left({\hat {\tau }}\right)&=\sum _{j=1}^{n}R_{j}({\hat {\tau }})u_{j},\\G({\hat {\tau }})&=\sum _{j=1}^{n}R_{j}({\hat {\tau }})P_{j},\end{aligned}}}$$ dónde${\textstyle R_{j}({\hat {\tau }})}$denota la función base NURBS,${\textstyle u_{j}}$es el coeficiente de control. Después de sustituir los puntos de colocación ^{[ 22 ]}${\textstyle {\hat {\tau }}_{i},i=1,2,...,{m}}$en la forma fuerte de la EDP , obtenemos un problema discretizado ^{[ 22 ]}$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}u_{h}({\hat {\tau }}_{i})=f(G({\hat {\tau }}_{i})),&\quad i\in {\mathcal {I_{L}}},\\{\mathcal {G}}u_{h}({\hat {\tau }}_{j})=g(G({\hat {\tau }}_{j})),&\quad j\in {\mathcal {I_{G}}},\end{aligned}}\right.}$$ dónde${\textstyle {\mathcal {I_{L}}}}$y${\textstyle {\mathcal {I_{G}}}}$denotan los subíndices de los puntos de colocación internos y de frontera, respectivamente.

Ordenación de los coeficientes de control${\textstyle u_{j}}$de la solución numérica${\textstyle u_{h}({\hat {\tau }})}$en un${\textstyle 1}$vector columna de -dimensiones${\textstyle \mathbf {U} =[u_{1},u_{2},...,u_{n}]^{T}}$, el problema discretizado puede reformularse en forma matricial como $${\displaystyle \mathbf {AU} =\mathbf {b} }$$ dónde${\textstyle \mathbf {A} }$es la matriz de colocación y${\textstyle \mathbf {b} }$es el vector de carga.

Supongamos que los valores de carga discretizados son puntos de datos.${\textstyle \left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$para ajustar. Dado el estimado inicial de los coeficientes de control${\textstyle \left\{u_{j}^{(0)}\right\}_{j=1}^{n},n<m}$, obtenemos una función de mezcla inicial ^{[ 14 ]}$${\displaystyle U^{(0)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(0)},\quad {\hat {\tau }}\in [{\hat {\tau }}_{1},{\hat {\tau }}_{m}],}$$ dónde${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }})}$,${\textstyle j=1,2,\cdots ,n}$, representa la combinación de derivadas de diferente orden de las funciones base NURBS determinadas mediante los operadores${\textstyle {\mathcal {L}}}$y${\textstyle {\mathcal {G}}}$$${\displaystyle A_{j}({\hat {\tau }})=\left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}R_{j}({\hat {\tau }}),&\quad {\hat {\tau }}\ {\text{in}}\ \Omega _{p}^{in},\\{\mathcal {G}}R_{j}({\hat {\tau }}),&\quad {\hat {\tau }}\ {\text{in}}\ \Omega _{p}^{bd},\quad j=1,2,\cdots ,n,\end{aligned}}\right.}$$ dónde${\textstyle \Omega _{p}^{in}}$y${\textstyle \Omega _{p}^{bd}}$indican el interior y el límite del dominio de parámetros, respectivamente. Cada${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }})}$corresponde a la${\textstyle j}$coeficiente de control. Suponga que${\textstyle J_{in}}$y${\textstyle J_{bd}}$son los conjuntos de índices de los coeficientes de control interno y de frontera, respectivamente. Sin pérdida de generalidad , asumimos además que los coeficientes de control de frontera se han obtenido utilizando imposición fuerte o débil y son fijos, es decir, $${\displaystyle u_{j}^{(k)}=u_{j}^{*},\quad j\in J_{bd},\quad k=0,1,2,\cdots .}$$ El${\textstyle k}$la función de mezcla, generada después de la${\textstyle k}$Se supone que la iteración n de IG-LSPIA, ^{[ 14 ]} es la siguiente: $${\displaystyle U^{(k)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(k)},\quad {\hat {\tau }}\in [{\hat {\tau }}_{1},{\hat {\tau }}_{m}].}$$ Luego, los vectores de diferencia para los puntos de colocación (DCP) en el${\textstyle (k+1)}$Las iteraciones de st se obtienen utilizando $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}&=b_{i}-\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)}\\&=b_{i}-\sum _{j\in J_{bd}}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)}-\sum _{j\in J_{in}}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)},\quad i=1,2,...,m.\end{aligned}}}$$ Además, agrupe todos los valores de carga cuyos parámetros se encuentren en el soporte local de la${\textstyle j}$función de derivadas, es decir,${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }}_{i})\neq 0}$, en el${\textstyle j}$grupo correspondiente al${\textstyle j}$coeficiente de control th, y denotemos el conjunto de índices del${\textstyle j}$el grupo de valores de carga como${\textstyle I_{j}}$. Por último, las diferencias para los coeficientes de control (DCC) se pueden construir de la siguiente manera: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle d_{j}^{(k)}=\mu \sum _{h\in I_{j}}A_{j}({\hat {\tau }}_{h}){\boldsymbol {\delta }}_{h}^{(k)},\quad j=1,2,...,n,}$$ dónde${\textstyle \mu }$es un peso de normalización para garantizar la convergencia del algoritmo.

Por lo tanto, los nuevos coeficientes de control se actualizan mediante la siguiente fórmula: $${\displaystyle u_{j}^{(k+1)}=u_{j}^{(k)}+d_{j}^{(k)},\quad j=1,2,...,n,}$$ En consecuencia, el${\textstyle (k+1)}$La función de mezcla st se genera de la siguiente manera: $${\displaystyle U^{(k+1)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(k+1)}.}$$ El proceso iterativo anterior se realiza hasta que se alcanza la precisión de ajuste deseada y se obtiene una secuencia de funciones de mezcla. $${\displaystyle \left\{U^{(k)}({\hat {\tau }}),k=0,1,\dots \right\}.}$$ El IG-LSPIA converge a la solución de un problema de colocación de mínimos cuadrados con restricciones. ^{[ 14 ]}

Sea n el número de puntos de control y m el número de puntos de datos.

Si${\textstyle n=m}$, el formato iterativo PIA en forma matricial es ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\mathbf {P^{(\alpha )}} +\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}\\&=\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mathbf {Q} -\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\alpha )}\\&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mathbf {Q} \end{aligned}}}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Q} &=\left[\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\cdots ,\mathbf {Q} _{m}\right]^{T}\\\mathbf {P^{(\alpha )}} &=\left[\mathbf {P} _{1}^{(\alpha )},\mathbf {P} _{2}^{(\alpha )},\cdots ,\mathbf {P} _{n}^{(\alpha )}\right]^{T}\\\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}&=\left[\mathbf {\Delta } _{1}^{(\alpha )},\mathbf {\Delta } _{2}^{(\alpha )},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{n}^{(\alpha )}\right]^{T}\\\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}B_{1}(t_{1})&B_{2}(t_{1})&\cdots &B_{n}(t_{1})\\B_{1}(t_{2})&B_{2}(t_{2})&\cdots &B_{n}(t_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{1}(t_{m})&B_{2}(t_{m})&\cdots &B_{n}(t_{m})\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ La convergencia del PIA está relacionada con las propiedades de la matriz de colocación. Si el radio espectral de la matriz de iteración${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {B} }$es menor que${\displaystyle 1}$, entonces el PIA es convergente. Se ha demostrado que los métodos PIA son convergentes para curvas y superficies de Bézier, curvas y superficies B-spline, curvas y superficies NURBS, superficies triangulares de Bernstein-Bézier y superficies de subdivisión (Loop, Catmull-Clark, Doo-Sabin). ^{[ 2 ]}

Si${\textstyle n<m}$, el LSPIA en forma matricial es ^{[ 10 ] [ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\mathbf {P^{(\alpha )}} +\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}\\&=\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\left(\mathbf {Q} -\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\alpha )}\right)\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} .\end{aligned}}}$$ Cuando la matriz${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$es no singular , se pueden obtener los siguientes resultados: ^{[ 23 ]}

Prueba desde${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$es no singular y${\textstyle \mu >0}$, entonces${\textstyle \lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )>0}$. Además, $${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )=\mu \lambda (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2{\frac {\lambda (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )}{\lambda _{0}}}<2.}$$ En resumen,${\textstyle 0<\lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2}$.

Demostración A partir de la forma matricial del formato iterativo, obtenemos lo siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\left[\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha -1)}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} \right]+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{2}\mathbf {P} ^{(\alpha -1)}+\sum _{i=0}^{1}\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\cdots \\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha +1}\mathbf {P} ^{(0)}+\sum _{i=0}^{\alpha }\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha }\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} .\\\end{aligned}}}$$ Según el lema anterior, el radio espectral de la matriz${\textstyle \mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$Satisface $${\displaystyle 0<\rho \left({\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }\right)<2}$$ y por lo tanto el radio espectral de la matriz de iteración satisface $${\displaystyle 0<\rho \left({\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }\right)<1.}$$ Cuando${\textstyle \alpha \rightarrow \infty }$$${\displaystyle \left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\infty }=0,\ \sum _{i=0}^{\infty }\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha }={\frac {1}{\mu }}\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}.}$$ Como resultado, $${\displaystyle \mathbf {P} ^{(\infty )}=\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,}$$ es decir,${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\infty )}=\mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} }$, lo cual es equivalente a la ecuación normal del problema de ajuste. Por lo tanto, el algoritmo LSPIA converge al resultado de mínimos cuadrados para una secuencia de puntos dada.

Lin et al. demostraron que LSPIA converge incluso cuando la matriz de iteración es singular. ^{[ 18 ]}

• Ajuste adaptativo de datos: Los puntos de control se dividen en puntos de control activos y puntos de control fijos . En cada iteración, si el error de ajuste de un punto de datos alcanza una precisión determinada, su punto de control correspondiente se fija y no se actualiza. Este proceso iterativo se repite hasta que todos los puntos de control estén fijos. El algoritmo funciona bien en el ajuste de datos a gran escala al reducir de forma adaptativa el número de puntos de control activos. ^{[ 31 ]}
• Ajuste de datos a gran escala: Al combinar T-spline con PIA, se propone un algoritmo de ajuste incremental adecuado para ajustar conjuntos de datos a gran escala. Durante la iteración incremental, cada nueva ronda de iteraciones reutiliza la información de la ronda anterior para ahorrar cálculos. Mientras que la velocidad de convergencia del algoritmo iterativo punto por punto tradicional disminuye a medida que aumenta el número de puntos de control, en PIA el cálculo de cada paso de iteración no está relacionado con el número de puntos de control; esto le confiere a PIA una gran capacidad para el ajuste de datos. ^{[ 10 ]}
• Ajuste local: Basándose en la propiedad local de PIA, se ha propuesto una serie de formatos PIA locales. ^{[ 12 ] [ 32 ]}

Para la reconstrucción implícita de curvas y superficies, PIA evita el conjunto de nivel cero adicional y el término de regularización, lo que mejora enormemente la velocidad del algoritmo de reconstrucción. ^{[ 11 ]}

En primer lugar, se toman muestras de los puntos de datos en la curva original. A continuación, se genera la curva de aproximación polinómica inicial o la curva de aproximación racional de la curva de desplazamiento a partir de estos puntos muestreados. Finalmente, la curva de desplazamiento se aproxima iterativamente utilizando el método PIA. ^{[ 33 ]}

Dado un modelo de malla triangular como entrada, el algoritmo primero construye la malla hexaédrica inicial y luego extrae la malla cuadrilátera de la superficie como malla de contorno inicial. Durante las iteraciones, el movimiento de cada vértice de la malla se restringe para garantizar su validez. Finalmente, el modelo hexaédrico se ajusta al modelo de entrada proporcionado. El algoritmo puede garantizar la validez de la malla hexaédrica generada, es decir, el valor de Jacobi en cada vértice de la malla es mayor que cero. ^{[ 34 ]}

Primero, los datos de la imagen se convierten en una secuencia unidimensional mediante un escaneo de Hilbert. Luego, estos puntos de datos se ajustan mediante LSPIA para generar una curva de Hilbert. Finalmente, se muestrea la curva de Hilbert y se puede reconstruir la imagen comprimida. Este método conserva bien la información de vecindad de los píxeles. ^{[ 35 ]}

Dado un conjunto de puntos de datos, primero definimos la función de suavizado y calculamos el vector de diferencia de ajuste y el vector de suavizado del punto de control; luego, ajustamos los puntos de control con pesos de suavizado. Según los pasos anteriores, la curva y la superficie de suavizado se pueden generar iterativamente. Debido a la cantidad suficiente de parámetros de suavizado, el método puede lograr un suavizado global o local. También es flexible para ajustar los vectores de nodos, los pesos de suavizado o la parametrización de datos después de cada ronda de iteración. El método tradicional de minimización de energía es un caso especial de este método, es decir, cuando los pesos de suavizado son todos iguales. ^{[ 13 ]}

Los valores de carga discretizados se consideran el conjunto de puntos de datos, y la combinación de las funciones base y sus funciones derivadas se utiliza como función de mezcla para el ajuste. El método ajusta automáticamente los grados de libertad de la solución numérica de la ecuación diferencial parcial según el resultado del ajuste de la función de mezcla a los valores de carga. Además, el tiempo promedio de iteración por paso solo está relacionado con el número de puntos de datos (es decir, puntos de colocación) y no con el número de coeficientes de control. ^{[ 14 ]}