Sistema dinámico proyectado

Los sistemas dinámicos proyectados son una teoría matemática que investiga el comportamiento de sistemas dinámicos cuyas soluciones están restringidas a un conjunto de restricciones. Esta disciplina comparte conexiones y aplicaciones tanto con el mundo estático de la optimización y los problemas de equilibrio como con el mundo dinámico de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Un sistema dinámico proyectado viene dado por el flujo a la ecuación diferencial proyectada.

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t)))}$

donde K es nuestro conjunto de restricciones. Las ecuaciones diferenciales de esta forma se caracterizan por tener un campo vectorial discontinuo.

Los sistemas dinámicos proyectados han surgido del deseo de modelar dinámicamente el comportamiento de soluciones no estáticas en problemas de equilibrio sobre algún parámetro, generalmente el tiempo. Esta dinámica difiere de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias en que las soluciones siguen estando restringidas al conjunto de restricciones sobre el que se trabajaba en el problema de equilibrio subyacente, por ejemplo, la no negatividad de las inversiones en la modelización financiera , los conjuntos poliédricos convexos en la investigación operativa , etc. Una clase particularmente importante de problemas de equilibrio que ha contribuido al auge de los sistemas dinámicos proyectados ha sido la de las desigualdades variacionales .

La formalización de los sistemas dinámicos proyectados comenzó en la década de 1990 en la Sección 5.3 del artículo de Dupuis e Ishii. Sin embargo, se pueden encontrar conceptos similares en la literatura matemática anterior a esta, especialmente en relación con las desigualdades variacionales y las inclusiones diferenciales.

Cualquier solución a nuestra ecuación diferencial proyectada debe permanecer dentro de nuestro conjunto de restricciones K en todo momento. Este resultado deseado se logra mediante el uso de operadores de proyección y dos clases particularmente importantes de conos convexos . Aquí consideramos que K es un subconjunto cerrado y convexo de algún espacio de Hilbert X.

El cono normal al conjunto K en el punto x en K viene dado por

${\displaystyle N_{K}(x)=\{p\in V|\langle p,xx^{*}\rangle \geq 0,\forall x^{*}\in K\}.}$

El cono tangente (o cono contingente ) al conjunto K en el punto x viene dado por

${\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {1}{h}}(Kx)}}.}$

El operador de proyección (o mapeo de elemento más cercano ) de un punto x en X a K viene dado por el punto${\displaystyle P_{K}(x)}$en K tal que

${\displaystyle \|x-P_{K}(x)\|\leq \|xy\|}$

para cada y en K.

El operador de proyección vectorial de un vector v en X en un punto x en K viene dado por

${\displaystyle \Pi _{K}(x,v)=\lim _{\delta \to 0^{+}}{\frac {P_{K}(x+\delta v)-x}{\delta }}.}$

Que es simplemente la derivada de Gateaux calculada en la dirección del campo vectorial.

Dado un subconjunto cerrado y convexo K de un espacio de Hilbert X y un campo vectorial -F que toma elementos de K en X , la ecuación diferencial proyectada asociada con K y -F se define como:

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t))).}$

En el interior de K, las soluciones se comportan como lo harían si el sistema fuera una ecuación diferencial ordinaria sin restricciones. Sin embargo, dado que el campo vectorial es discontinuo a lo largo del límite del conjunto, las ecuaciones diferenciales proyectadas pertenecen a la clase de ecuaciones diferenciales ordinarias discontinuas. Si bien esto hace que gran parte de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias sea inaplicable, se sabe que cuando -F es un campo vectorial Lipschitz continuo, existe una única solución absolutamente continua que pasa por cada punto inicial x(0)=x ₀ en K en el intervalo${\displaystyle [0,\infty )}$.

Esta ecuación diferencial puede caracterizarse alternativamente por

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=P_{T_{K}(x(t))}(-F(x(t)))}$

o

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=-F(x(t))-P_{N_{K}(x(t))}(-F(x(t))).}$

La convención de denotar el campo vectorial -F con signo negativo surge de una conexión particular que los sistemas dinámicos proyectados comparten con las desigualdades variacionales. En la literatura, se suele considerar el campo vectorial como positivo en la desigualdad variacional y negativo en el sistema dinámico proyectado correspondiente.

• Desigualdad variacional diferencial
• Teoría de sistemas dinámicos
• Ecuación diferencial ordinaria
• Desigualdad variacional
• Inclusión diferencial
• Teoría de la complementariedad

• Henry, C., "Ecuaciones diferenciales con lado derecho discontinuo para procedimientos de planificación", J. Econom. Theory , 4:545-551, 1972.
• Henry C., "Un teorema de existencia para una clase de ecuaciones diferenciales con segundo miembro multivaluado", J. Math. Anal. Appl. , 41:179-186, 1973.
• Aubin, JP y Cellina, A., Inclusiones diferenciales , Springer-Verlag, Berlín (1984).
• Dupuis, P. y Ishii, H., Sobre la continuidad de Lipschitz del mapeo de la solución al problema de Skorokhod, con aplicaciones , Stochastics and Stochastics Reports, 35, 31-62 (1991).
• Nagurney, A. y Zhang, D., Sistemas dinámicos proyectados y desigualdades variacionales con aplicaciones , Kluwer Academic Publishers (1996).
• Cojocaru, M., y Jonker L., Existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales proyectadas en espacios de Hilbert , Proc. Amer. Math. Soc., 132(1), 183-193 (2004).
• Brogliato, B., Daniilidis, A., Lemaréchal, C. y Acary, V., "Sobre la equivalencia entre sistemas de complementariedad, sistemas proyectados e inclusiones diferenciales", Systems and Control Letters , vol. 55, pp. 45-51 (2006)