Cubierta proyectiva

En la rama de las matemáticas abstractas llamada teoría de categorías , una cubierta proyectiva de un objeto M es, en cierto sentido, la mejor aproximación de M por un objeto proyectivo P. Las cubiertas proyectivas son el dual de las envolturas inyectivas .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una categoría y M un objeto en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Una cubierta proyectiva es un par ( P , p ), donde P es un objeto proyectivo en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y p un epimorfismo superfluo en Hom( P , M ).

Si R es un anillo, entonces en la categoría de R -módulos, un epimorfismo superfluo es entonces un epimorfismo.${\displaystyle p:P\to M}$de tal manera que el núcleo de p es un submódulo superfluo de P.

Las cubiertas proyectivas y sus epimorfismos superfluos, cuando existen, son únicas salvo isomorfismo . Sin embargo, el isomorfismo no tiene por qué ser único, puesto que la propiedad proyectiva no es una propiedad universal propiamente dicha .

El efecto principal de que p tenga un núcleo superfluo es el siguiente: si N es cualquier submódulo propio de P , entonces${\displaystyle p(N)\neq M}$. ^{[ 1 ]} En términos informales, esto muestra que el núcleo superfluo hace que P cubra M de manera óptima, es decir, ningún submódulo de P sería suficiente. Esto no depende de la proyectividad de P : es cierto para todos los epimorfismos superfluos.

Si ( P , p ) es una cubierta proyectiva de M , y P' es otro módulo proyectivo con un epimorfismo${\displaystyle p':P'\rightarrow M}$, entonces existe un epimorfismo dividido α de P' a P tal que${\displaystyle p\alpha =p'}$

A diferencia de las envolturas inyectivas y las cubiertas planas , que existen para cada R -módulo izquierdo (derecho) independientemente del anillo R , los R -módulos izquierdos (derechos) no tienen en general cubiertas proyectivas. Un anillo R se llama perfecto izquierdo (derecho) si cada R -módulo izquierdo (derecho) tiene una cubierta proyectiva en R -Mod (Mod- R ).

Un anillo se denomina semiperfecto si todo R -módulo izquierdo (derecho) finitamente generado tiene una cubierta proyectiva en R -Mod (Mod- R ). La "semiperfección" es una propiedad simétrica izquierda-derecha.

Un anillo se denomina lift/rad si los idempotentes se elevan de R / J a R , donde J es el radical de Jacobson de R . La propiedad de ser lift/rad se puede caracterizar en términos de recubrimientos proyectivos: R es lift/rad si y solo si los sumandos directos del módulo R / J (como módulo derecho o izquierdo) tienen recubrimientos proyectivos ^{. [ 2} ]

En la categoría de módulos R :

• Si M ya es un módulo proyectivo, entonces la aplicación identidad de M a M es un epimorfismo superfluo (su núcleo es cero). Por lo tanto, los módulos proyectivos siempre tienen recubrimientos proyectivos.
• Si J( R )=0, entonces un módulo M tiene una cubierta proyectiva si y solo si M ya es proyectivo.
• En el caso de que un módulo M sea simple , entonces es necesariamente la parte superior de su recubrimiento proyectivo, si existe.
• La envoltura inyectiva de un módulo siempre existe; sin embargo, sobre ciertos anillos, los módulos pueden no tener recubrimientos proyectivos. Por ejemplo, la aplicación natural de Z sobre Z /2Z no es un recubrimiento proyectivo del Z -módulo Z /2Z ( que, de hecho, no tiene recubrimiento proyectivo). La clase de anillos que proporciona a todos sus módulos derechos recubrimientos proyectivos es la clase de anillos perfectos derechos .
• Cualquier R -módulo M tiene una cubierta plana , que es igual a la cubierta proyectiva si M tiene una cubierta proyectiva.

• Resolución proyectiva

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992). Anillos y categorías de módulos . Springer. ISBN 0-387-97845-3. Consultado el 27 de marzo de 2007 .
• Faith, Carl (1976), Álgebra. II. Teoría del anillo. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, n° 191. Springer-Verlag
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª  ed.), Textos de posgrado en matemáticas, 131. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95183-0