Jerarquía proyectiva

En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjunto${\displaystyle A}$de un espacio polaco${\displaystyle X}$es proyectivo si es${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$para algún entero positivo${\displaystyle n}$. Aquí${\displaystyle A}$es

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$si${\displaystyle A}$es analítico
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$si el complemento de${\displaystyle A}$es${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n+1}^{1}}$si hay un espacio polaco${\displaystyle Y}$y un${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$subconjunto${\displaystyle C\subsetequ X\times Y}$de tal manera que${\displaystyle A}$es la proyección de${\displaystyle C}$sobre${\displaystyle X}$; eso es,${\displaystyle A=\{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in C\}.}$

La elección del espacio polaco${\displaystyle Y}$En la tercera cláusula anterior no es muy importante; podría reemplazarse en la definición por un espacio polaco fijo no contable , por ejemplo, el espacio de Baire o el espacio de Cantor o la línea real .

Existe una estrecha relación entre la jerarquía analítica relativizada en subconjuntos del espacio de Baire (denotados por letras claras)${\displaystyle \Sigma }$y${\displaystyle \Pi }$) y la jerarquía proyectiva en subconjuntos del espacio de Baire (denotados por letras en negrita)${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}}$). No todos${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$subconjunto del espacio de Baire es${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$. Sin embargo, es cierto que si un subconjunto X del espacio de Baire es${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$entonces existe un conjunto de números naturales A tal que X es${\displaystyle \Sigma _{n}^{1,A}}$Una afirmación similar se aplica a${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$conjuntos. Por lo tanto, los conjuntos clasificados por la jerarquía proyectiva son exactamente los conjuntos clasificados por la versión relativizada de la jerarquía analítica. Esta relación es importante en la teoría descriptiva de conjuntos efectiva . En términos de definibilidad, un conjunto de números reales es proyectivo si y solo si es definible en el lenguaje de la aritmética de segundo orden a partir de algún parámetro real. ^{[ 1 ]}

Una relación similar entre la jerarquía proyectiva y la jerarquía analítica relativizada se cumple para subconjuntos del espacio de Cantor y, más generalmente, para subconjuntos de cualquier espacio polaco efectivo .

• Jerarquía de Borel

• Kechris, AS (1995), Teoría clásica descriptiva de conjuntos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
• Rogers, Hartley (1987) [1967], The Theory of Recursive Functions and Effective Computability , Primera edición en rústica de MIT Press, ISBN 978-0-262-68052-3