Grupo lineal proyectivo

Un grupo relacionado es el grupo de colineaciones , que se define axiomáticamente. Una colineación es una aplicación invertible (o, más generalmente, biyectiva) que asigna puntos colineales a otros puntos colineales. Se puede definir un espacio proyectivo axiomáticamente en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P , líneas L y una relación de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran en qué líneas) que satisface ciertos axiomas; un automorfismo de un espacio proyectivo así definido es entonces un automorfismo f del conjunto de puntos y un automorfismo g del conjunto de líneas, que preserva la relación de incidencia, ^{[ nota 2 ]} que es exactamente una colineación de un espacio consigo mismo. Las transformaciones lineales proyectivas son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado, y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas a líneas), pero en general no todas las colineaciones son transformaciones lineales proyectivas; PGL es, en general, un subgrupo propio del grupo de colineaciones.

Específicamente, para n = 2 (una línea proyectiva), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la línea proyectiva, y excepto para F ₂ y F ₃ (donde PGL es el grupo simétrico completo), PGL es un subgrupo propio del grupo simétrico completo en estos puntos.

Para n ≥ 3 , el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , PΓL – este es PGL, retorcido por automorfismos de cuerpo ; formalmente, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , donde k es el cuerpo primo para K ; este es el teorema fundamental de la geometría proyectiva . Así, para K un cuerpo primo ( F _p o Q ), PGL = PΓL , pero para K un cuerpo con automorfismos de Galois no triviales (como F _{p ⁿ} para n ≥ 2 o C ), el grupo lineal proyectivo es un subgrupo propio del grupo de colineación, que puede pensarse como "transformaciones que preservan una estructura semilineal proyectiva ". Correspondientemente, el grupo cociente PΓL / PGL = Gal( K / k ) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente.

También se pueden definir grupos de colineación para espacios proyectivos definidos axiomáticamente, donde no existe una noción natural de una transformación lineal proyectiva. Sin embargo, con la excepción de los planos no desarguesianos , todos los espacios proyectivos son la proyectividad de un espacio lineal sobre un anillo de división , aunque, como se señaló anteriormente, existen múltiples opciones de estructura lineal, a saber, un torsor sobre Gal( K / k ) (para n ≥ 3 ).

En cuanto a las transformaciones de Möbius , el grupo PGL(2, K ) puede interpretarse como transformaciones lineales fraccionarias con coeficientes en K. Los puntos en la recta proyectiva sobre K corresponden a pares de K² , siendo dos pares equivalentes cuando son proporcionales. Cuando la segunda coordenada es distinta de cero, un punto puede representarse por [ z , 1] . Entonces ^, cuando ad − bc ≠ 0 , la acción de PGL(2, K ) es mediante una transformación lineal:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

De esta forma, las transformaciones sucesivas se pueden escribir como una multiplicación derecha por dichas matrices, y la multiplicación de matrices se puede utilizar para el producto de grupo en PGL(2, K ) .

Los grupos PSL(2, p ) para cualquier número primo p fueron construidos por Évariste Galois en la década de 1830, y fueron la segunda familia de grupos simples finitos , después de los grupos alternantes . ^{[ 3 ]} Galois los construyó como transformaciones lineales fraccionarias, y observó que eran simples excepto si p era 2 o 3; esto está contenido en su última carta a Chevalier. ^{[ 4 ]} En la misma carta y manuscritos adjuntos, Galois también construyó el grupo lineal general sobre un cuerpo primo , GL( ν , p ) , al estudiar el grupo de Galois de la ecuación general de grado p ^ν .

Los grupos PSL( n , q ) ( n general , cuerpo finito general) para cualquier potencia prima q fueron construidos en el texto clásico de 1870 de Camille Jordan , Traité des substitutions et des équations algébriques .

El orden de PGL( n , q ) es

( q ⁿ − 1)( q ⁿ − q )( q ⁿ − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ⁿ − q ^{n −1} )/( q − 1) = q ^{n 2 −1} − O( q ^{n 2 −3} ),

que corresponde al orden de GL( n , q ) , dividido por q − 1 para la proyectividad; véase q -analog para un análisis de dichas fórmulas. El grado es n ² − 1 , que coincide con la dimensión como grupo algebraico. La "O" es para la notación O mayúscula , que significa "términos que involucran orden inferior". Esto también es igual al orden de SL( n , q ) ; allí la división por q − 1 se debe al determinante.

El orden de PSL( n , q ) es el orden de PGL( n , q ) como se indicó anteriormente, dividido por mcd( n , q − 1) . Esto es igual a | SZ( n , q ) | , el número de matrices escalares con determinante 1; | F ^× / ( F ^× ) ⁿ | , el número de clases de elementos que no tienen raíz n- ésima; y también es el número de raíces n -ésimas de la unidad en F _q . ^{[ nota 4 ]}

Además de los isomorfismos

L ₂ (2) ≅ S ₃ , L ₂ (3) ≅ A ₄ , y PGL(2, 3) ≅ S ₄ ,

Existen otros isomorfismos excepcionales entre grupos lineales especiales proyectivos y grupos alternantes (todos estos grupos son simples, ya que el grupo alternante sobre 5 o más letras es simple):

L ₂ (4) ≅ A ₅

L ₂ (5) ≅ A ₅ (véase §  Acción sobre los puntos p para una demostración)

L ₂ (9) ≅ A ₆

L ₄ (2) ≅ A ₈ ^{[ 5 ]}

El isomorfismo L ₂ (9) ≅ A ₆ permite ver el exótico automorfismo exterior de A ₆ en términos de automorfismo de cuerpos y operaciones matriciales. El isomorfismo L ₄ (2) ≅ A ₈ es de interés en la estructura del grupo de Mathieu M ₂₄ .

Las extensiones asociadas SL( n , q ) → PSL( n , q ) son grupos de recubrimiento de los grupos alternantes ( extensiones centrales perfectas universales ) para A ₄ , A ₅ , por unicidad de la extensión central perfecta universal; para L ₂ (9) ≅ A ₆ , la extensión asociada es una extensión central perfecta, pero no universal: hay un grupo de recubrimiento triple .

Los grupos sobre F ₅ tienen una serie de isomorfismos excepcionales:

PSL(2, 5) ≅ A ₅ ≅ I , el grupo alternante de cinco elementos, o equivalentemente el grupo icosaédrico ;

PGL(2, 5) ≅ S ₅ , el grupo simétrico de cinco elementos;

SL(2, 5) ≅ 2 ⋅ A ₅ ≅ 2 I el recubrimiento doble del grupo alternante A ₅ , o equivalentemente el grupo icosaédrico binario .

También se pueden usar para construir un mapa exótico S ₅ → S ₆ , como se describe a continuación. Sin embargo, tenga en cuenta que GL(2, 5) no es una doble cobertura de S ₅ , sino una cobertura cuádruple.

Otro isomorfismo es:

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2) es el grupo simple de orden 168, el segundo grupo simple no abeliano más pequeño, y no es un grupo alternante; véase PSL(2, 7) .

Los isomorfismos excepcionales mencionados anteriormente que involucran grupos lineales especiales proyectivos son casi todos los isomorfismos excepcionales entre familias de grupos simples finitos; el único otro isomorfismo excepcional es PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3), entre un grupo unitario especial proyectivo y un grupo simpléctico proyectivo . ^{[ 3 ]}

El grupo PSL(3, 4) puede usarse para construir el grupo de Mathieu M ₂₄ , uno de los grupos simples esporádicos ; en este contexto, se hace referencia a PSL(3, 4) como M ₂₁ , aunque no es propiamente un grupo de Mathieu. Se parte del plano proyectivo sobre el cuerpo con cuatro elementos, que es un sistema de Steiner de tipo S(2, 5, 21) – lo que significa que tiene 21 puntos, cada línea ("bloque", en la terminología de Steiner) tiene 5 puntos, y cualesquiera 2 puntos determinan una línea – y sobre el cual actúa PSL(3, 4) . A este sistema de Steiner se le llama W ₂₁ ("W" por Witt ), y luego se expande a un sistema de Steiner más grande W ₂₄ , expandiendo el grupo de simetría en el camino: al grupo lineal general proyectivo PGL(3, 4) , luego al grupo semilineal proyectivo PΓL(3, 4) , y finalmente al grupo de Mathieu M ₂₄ .

M ₂₄ también contiene copias de PSL(2, 11) , que es máxima en M ₂₂ , y PSL(2, 23) , que es máxima en M ₂₄ , y puede usarse para construir M _24. ^{[ 13 ]}

Los grupos PSL surgen como grupos de Hurwitz (grupos de automorfismos de superficies de Hurwitz : curvas algebraicas del grupo de simetría posiblemente máxima). La superficie de Hurwitz de género más bajo, la cuártica de Klein (género 3), tiene un grupo de automorfismos isomorfo a PSL(2, 7) (equivalentemente GL(3, 2) ), mientras que la superficie de Hurwitz de segundo género más bajo, la superficie de Macbeath (género 7), tiene un grupo de automorfismos isomorfo a PSL(2, 8) .

De hecho, muchos, pero no todos, los grupos simples surgen como grupos de Hurwitz (incluido el grupo monstruo , aunque no todos los grupos alternantes o esporádicos), si bien PSL destaca por incluir los grupos más pequeños de este tipo.

Los grupos PSL(2, Z / n Z ) surgen al estudiar el grupo modular , PSL(2, Z ) , como cocientes al reducir todos los elementos módulo n ; los núcleos se denominan subgrupos de congruencia principales .

Un subgrupo notable del grupo lineal general proyectivo PGL(2, Z ) (y del grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z [ i ]) ) son las simetrías del conjunto {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( C ) ^{[ nota 6 ]} que se conoce como el grupo anarmónico , y surge como las simetrías de las seis razones cruzadas . El subgrupo puede expresarse como transformaciones lineales fraccionarias , o representarse (de forma no única) mediante matrices, como:

La fila superior es la identidad y los dos ciclos de 3 elementos, y son preservadores de la orientación, formando un subgrupo en PSL(2, Z ) , mientras que la fila inferior son los tres ciclos de 2 elementos, y están en PGL(2, Z ) y PSL(2, Z [ i ]) , pero no en PSL(2, Z ) , por lo tanto se realizan como matrices con determinante −1 y coeficientes enteros, o como matrices con determinante 1 y coeficientes enteros gaussianos .

Esto se corresponde con las simetrías de {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n ) bajo reducción módulo n . En particular, para n = 2 , este subgrupo se corresponde isomorfamente con PGL(2, Z / 2 Z ) = PSL(2, Z / 2 Z ) ≅ S ₃ , ^{[ nota 7 ]} y por lo tanto proporciona una división PGL(2, Z / 2 Z )${\displaystyle \hookrightarrow }$PGL(2, Z ) para el mapa cociente PGL(2, Z )${\displaystyle \twoheadrightarrow }$PGL(2, Z / 2 Z ) .

Los puntos fijos de ambos ciclos de 3 son las razones cruzadas "más simétricas",${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$, las soluciones de x ² − x + 1 (las sextas raíces primitivas de la unidad ). Los 2-ciclos intercambian estas, como hacen con cualquier punto que no sea su punto fijo, lo que realiza la aplicación cociente S ₃ → S ₂ mediante la acción de grupo sobre estos dos puntos. Es decir, el subgrupo C ₃ < S ₃ que consta de la identidad y los 3-ciclos, {(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)} , fija estos dos puntos, mientras que los demás elementos los intercambian.

Los puntos fijos de los 2-ciclos individuales son, respectivamente, −1, 1/2, 2, y este conjunto también se conserva y permuta mediante los 3-ciclos. Esto corresponde a la acción de S ₃ sobre los 2-ciclos (sus 2-subgrupos de Sylow ) por conjugación y realiza el isomorfismo con el grupo de automorfismos internos , S ₃ ~ → Inn(S ₃ ) ≅ S ₃ .

Geométricamente, esto se puede visualizar como el grupo de rotación de la bipirámide triangular , que es isomorfo al grupo diedral del triángulo D ₃ ≅ S ₃ ; ver grupo anarmónico .

Sobre los números reales y complejos, los grupos lineales especiales proyectivos son las realizaciones mínimas ( sin centro ) del grupo de Lie para el álgebra de Lie lineal especial.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\colon }$cada grupo de Lie conectado cuya álgebra de Lie es${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)}$es una cubierta de PSL( n , F ) . Recíprocamente, su grupo de cubierta universal es el elemento maximal ( simplemente conexo ), y las realizaciones intermedias forman una red de grupos de cubierta .

Por ejemplo, SL(2, R ) tiene centro {±1} y grupo fundamental Z , y por lo tanto tiene recubrimiento universal SL(2, R ) y cubre el PSL(2, R ) sin centro .