Módulo proyectivo

En matemáticas , particularmente en álgebra , la clase de módulos proyectivos amplía la clase de módulos libres (es decir, módulos con vectores base ) sobre un anillo , conservando algunas de las propiedades principales de los módulos libres. A continuación se presentan diversas caracterizaciones equivalentes de estos módulos.

Todo módulo libre es un módulo proyectivo, pero la recíproca no se cumple sobre algunos anillos, como los anillos de Dedekind que no son dominios de ideales principales . Sin embargo, todo módulo proyectivo es un módulo libre si el anillo es un dominio de ideales principales, como los números enteros , o un anillo de polinomios (multivariados) sobre un cuerpo (este es el teorema de Quillen-Suslin ).

Los módulos proyectivos fueron introducidos por primera vez en 1956 en el influyente libro Álgebra homológica de Henri Cartan y Samuel Eilenberg .

Las siguientes propiedades de los módulos proyectivos se deducen rápidamente de cualquiera de las definiciones (equivalentes) anteriores de módulos proyectivos:

• Las sumas directas y los sumandos directos de módulos proyectivos son proyectivos.
• Si e = e ² es un idempotente en el anillo R , entonces Re es un módulo izquierdo proyectivo sobre R .

Dejar${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}$ser el producto directo de dos anillos${\displaystyle R_{1}}$y${\displaystyle R_{2},}$que es un anillo con operaciones definidas componente a componente.${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$y${\displaystyle e_{2}=(0,1).}$Entonces${\displaystyle e_{1}}$y${\displaystyle e_{2}}$son idempotentes y pertenecen al centro de${\displaystyle R.}$Los ideales de doble cara${\displaystyle Re_{1}}$y${\displaystyle Re_{2}}$son módulos proyectivos, ya que su suma directa (como R -módulos) es igual al R -módulo libre R. Sin embargo, si${\displaystyle R_{1}}$y${\displaystyle R_{2}}$si no son triviales, entonces no son libres como módulos sobre${\displaystyle R}$. Por ejemplo${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$es proyectivo pero no libre sobre${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$.

La relación de los módulos proyectivos con los módulos libres y planos se resume en el siguiente diagrama de propiedades de los módulos:

Las implicaciones de izquierda a derecha son válidas sobre cualquier anillo, aunque algunos autores definen los módulos libres de torsión solo sobre un dominio . Las implicaciones de derecha a izquierda son válidas sobre los anillos que las etiquetan. Puede haber otros anillos sobre los que sean válidas. Por ejemplo, la implicación etiquetada como " anillo local o PID" también es válida para anillos de polinomios (multivariados) sobre un cuerpo : este es el teorema de Quillen-Suslin .

Los submódulos de los módulos proyectivos no tienen por qué ser proyectivos; un anillo R para el cual cada submódulo de un módulo izquierdo proyectivo es proyectivo se denomina hereditario izquierdo .

Los cocientes de módulos proyectivos tampoco tienen por qué ser proyectivos; por ejemplo, Z / n es un cociente de Z , pero no es libre de torsión , por lo tanto no es plano y, en consecuencia, no es proyectivo.

La categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo es una categoría exacta . (Véase también K-teoría algebraica ).

Dado un módulo M , una resolución proyectiva de M es una secuencia exacta infinita de módulos.

⋅ ⋅ ⋅ → P _n → ⋅ ⋅ ⋅ → P ₂ → P ₁ → P ₀ → M → 0,

Con todos los P _{, es} proyectivo. Cada módulo posee una resolución proyectiva. De hecho, existe una resolución libre (resolución por módulos libres). La secuencia exacta de módulos proyectivos a veces se abrevia como P ( M ) → M → 0 o P _• → M → 0. Un ejemplo clásico de resolución proyectiva lo da el complejo de Koszul de una secuencia regular , que es una resolución libre del ideal generado por la secuencia.

La longitud de una resolución finita es el índice n tal que P _n es distinto de cero y P _i = 0 para i mayor que n . Si M admite una resolución proyectiva finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones proyectivas finitas de M se denomina su dimensión proyectiva y se denota pd( M ). Si M no admite una resolución proyectiva finita, entonces, por convención, se dice que la dimensión proyectiva es infinita. Como ejemplo, consideremos un módulo M tal que pd( M ) = 0 . En esta situación, la exactitud de la secuencia 0 → P ₀ → M → 0 indica que la flecha en el centro es un isomorfismo y, por lo tanto, M mismo es proyectivo.

Los módulos proyectivos sobre anillos conmutativos tienen propiedades interesantes.

La localización de un módulo proyectivo es un módulo proyectivo sobre el anillo localizado. Un módulo proyectivo sobre un anillo local es libre. Por lo tanto, un módulo proyectivo es localmente libre (en el sentido de que su localización en cada ideal primo es libre sobre la localización correspondiente del anillo). Lo contrario es cierto para los módulos finitamente generados sobre anillos noetherianos : un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano conmutativo es localmente libre si y solo si es proyectivo.

Sin embargo, existen ejemplos de módulos finitamente generados sobre un anillo no noetheriano que son localmente libres y no proyectivos. Por ejemplo, un anillo booleano tiene todas sus localizaciones isomorfas a F₂ , el cuerpo de dos elementos, por lo que cualquier módulo sobre un anillo booleano es localmente libre, pero existen algunos módulos no proyectivos sobre anillos booleanos. Un ejemplo es R / I, _donde R es un producto directo de una cantidad numerable de copias de F₂ e I es la suma directa de una cantidad numerable de copias de F₂ dentro de R. El _{R -} módulo R / I es localmente libre ya que R es booleano (y también es finitamente generado como R -módulo, con un conjunto generador de tamaño 1), pero R / I no es proyectivo porque I no es un ideal principal. (Si un módulo cociente R / I , para cualquier anillo conmutativo R e ideal I , es un R -módulo proyectivo, entonces I es principal).

Sin embargo, es cierto que para módulos finitamente presentados M sobre un anillo conmutativo R (en particular si M es un R -módulo finitamente generado y R es noetheriano), lo siguiente es equivalente. ^{[ 5 ]}

1. ${\displaystyle M}$es plano.
2. ${\displaystyle M}$es proyectivo.
3. ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$es gratis como${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$-módulo para cada ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$de R.​
4. ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$es gratis como${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$-módulo para cada ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de R.​
5. Existen${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$generando el ideal unitario tal que${\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}$es gratis como${\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}$-módulo para cada i .
6. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$es una gavilla libre localmente en el esquema afín${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$(dónde${\displaystyle {\widetilde {M}}}$es el haz asociado a M .)

Además, si R es un dominio integral noetheriano , entonces, por el lema de Nakayama , estas condiciones son equivalentes a

• La dimensión de la${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$- espacio vectorial${\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$es lo mismo para todos los ideales primordiales${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de R, donde${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$es el campo residual en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. ^{[ 6 ]} Es decir, M tiene rango constante (como se define a continuación).

Sea A un anillo conmutativo. Si B es un álgebra de A (posiblemente no conmutativa) que es un módulo de A proyectiva finitamente generado que contiene ^a A como subanillo , entonces A es un factor directo de B. ^{[ 7} ]

Una motivación básica de la teoría es que los módulos proyectivos (al menos sobre ciertos anillos conmutativos) son análogos de los fibrados vectoriales . Esto se puede precisar para el anillo de funciones continuas con valores reales en un espacio de Hausdorff compacto , así como para el anillo de funciones suaves en una variedad diferenciable (véase el teorema de Serre-Swan que dice que un módulo proyectivo finitamente generado sobre el espacio de funciones suaves en una variedad compacta es el espacio de secciones diferenciables de un fibrado vectorial diferenciable ).

Los haces vectoriales son localmente libres . Si existe alguna noción de "localización" que pueda extenderse a los módulos, como la localización habitual de un anillo , se pueden definir módulos localmente libres, y los módulos proyectivos suelen coincidir con los módulos localmente libres.

El teorema de Quillen-Suslin , que resuelve el problema de Serre, es otro resultado profundo : si K es un cuerpo, o más generalmente un dominio de ideales principales , y R = K [ X ₁ ,..., X _n ] es un anillo de polinomios sobre K , entonces todo módulo proyectivo sobre R es libre. Este problema fue planteado por primera vez por Serre con K como cuerpo (y siendo los módulos finitamente generados). Bass lo resolvió para módulos no finitamente generados, ^{[ 8 ]} y Quillen y Suslin trataron de forma independiente y simultánea el caso de módulos finitamente generados.

Dado que todo módulo proyectivo sobre un dominio ideal principal es libre, cabe preguntarse: si R es un anillo conmutativo tal que todo R -módulo proyectivo (finitamente generado) es libre, ¿es libre todo R [ X ]-módulo proyectivo (finitamente generado)? La respuesta es no . Un contraejemplo se da cuando R es igual al anillo local de la curva y² = x³ en el origen. Por lo tanto ^{, el teorema de} Quillen-Suslin nunca podría demostrarse mediante una simple inducción sobre el número de variables.

• Cubierta proyectiva
• El lema de Schanuel
• Teorema de cancelación de Bass
• teoría de la representación modular

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