Espacio proyectivo

En matemáticas , el concepto de espacio proyectivo se originó a partir del efecto visual de la perspectiva , donde las líneas paralelas parecen converger en el infinito . Un espacio proyectivo puede considerarse, por lo tanto, como la extensión de un espacio euclidiano o, más generalmente, un espacio afín con puntos en el infinito , de tal manera que existe un punto en el infinito para cada dirección de las líneas paralelas .

Esta definición de espacio proyectivo tiene la desventaja de no ser isotrópica , ya que posee dos tipos diferentes de puntos, los cuales deben considerarse por separado en las demostraciones. Por lo tanto, generalmente se prefieren otras definiciones. Existen dos clases de definiciones. En geometría sintética , punto y línea son entidades primitivas relacionadas por la relación de incidencia "un punto está sobre una línea" o "una línea pasa por un punto", la cual está sujeta a los axiomas de la geometría proyectiva . Para un conjunto de axiomas de este tipo, se ha demostrado que los espacios proyectivos definidos son equivalentes a los que resultan de la siguiente definición, la cual se encuentra con mayor frecuencia en los libros de texto modernos.

Utilizando álgebra lineal , un espacio proyectivo de dimensión n se define como el conjunto de las rectas vectoriales (es decir, subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial V de dimensión n + 1. De forma equivalente, es el conjunto cociente de V \ {0} por la relación de equivalencia "estar en la misma recta vectorial". Como una recta vectorial interseca la esfera unitaria de V en dos puntos antipodales , los espacios proyectivos pueden definirse de forma equivalente como esferas en las que se identifican puntos antipodales. Un espacio proyectivo de dimensión 1 es una recta proyectiva , y un espacio proyectivo de dimensión 2 es un plano proyectivo .

Los espacios proyectivos se utilizan ampliamente en geometría , permitiendo enunciados y demostraciones más sencillas. Por ejemplo, en geometría afín , dos líneas distintas en un plano se intersecan en un único punto como máximo, mientras que en geometría proyectiva se intersecan en un único punto. Además, solo existe una clase de secciones cónicas , que se distinguen únicamente por sus intersecciones con la línea del infinito: dos puntos de intersección para las hipérbolas ; uno para la parábola , que es tangente a la línea del infinito; y ningún punto de intersección real para las elipses .

En topología , y más específicamente en la teoría de variedades , los espacios proyectivos desempeñan un papel fundamental, siendo ejemplos típicos de variedades no orientables .

Como se indicó anteriormente, los espacios proyectivos se introdujeron para formalizar afirmaciones como "dos líneas coplanares se intersecan en un único punto, y este punto se encuentra en el infinito si las líneas son paralelas ". Estas afirmaciones se derivan del estudio de la perspectiva , que puede considerarse como una proyección central del espacio tridimensional sobre un plano (véase el modelo de cámara estenopeica ). Más precisamente, la pupila de entrada de una cámara o del ojo de un observador es el centro de proyección , y la imagen se forma en el plano de proyección .

Matemáticamente, el centro de proyección es un punto O del espacio (la intersección de los ejes en la figura); el plano de proyección ( P₂ _, en azul en la figura) es un plano que no pasa por O , que a menudo se elige como el plano de ecuación z = 1 , cuando se consideran coordenadas cartesianas . Entonces, la proyección central mapea un punto P a la intersección de la línea OP con el plano de proyección. Dicha intersección existe si y solo si el punto P no pertenece al plano ( P₁ _, en verde en la figura) que pasa por O y es paralelo a P₂ _.

De ello se deduce que las líneas que pasan por O se dividen en dos subconjuntos disjuntos: las líneas que no están contenidas en P ₁ , que se corresponden biunívocamente con los puntos de P ₂ , y las que sí están contenidas en P ₁ , que se corresponden biunívocamente con las direcciones de las líneas paralelas en P _2. Esto sugiere definir los puntos (denominados aquí puntos proyectivos para mayor claridad) del plano proyectivo como las líneas que pasan por O. Una línea proyectiva en este plano consta de todos los puntos proyectivos (que son líneas) contenidos en un plano que pasa por O. Como la intersección de dos planos que pasan por O es una línea que pasa por O , la intersección de dos líneas proyectivas distintas consta de un único punto proyectivo. El plano P ₁ define una línea proyectiva que se denomina línea en el infinito de P _2. Al identificar cada punto de P ₂ con el punto proyectivo correspondiente, se puede decir que el plano proyectivo es la unión disjunta de P ₂ y la línea (proyectiva) en el infinito.

Dado que un espacio afín con un punto distinguido O puede identificarse con su espacio vectorial asociado (véase Espacio afín §  Espacios vectoriales como espacios afines ), la construcción anterior se realiza generalmente partiendo de un espacio vectorial y se denomina proyeccionización . Asimismo, la construcción puede realizarse partiendo de un espacio vectorial de cualquier dimensión positiva.

Así pues, un espacio proyectivo de dimensión n puede definirse como el conjunto de rectas vectoriales (subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial de dimensión n + 1. Un espacio proyectivo también puede definirse como los elementos de cualquier conjunto que esté en correspondencia natural con este conjunto de rectas vectoriales.

Este conjunto puede ser el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia entre vectores definida por "un vector es el producto del otro por un escalar distinto de cero". En otras palabras, esto equivale a definir un espacio proyectivo como el conjunto de rectas vectoriales en las que se ha eliminado el vector cero.

Una tercera definición equivalente consiste en definir un espacio proyectivo de dimensión n como el conjunto de pares de puntos antipodales en una esfera de dimensión n (en un espacio de dimensión n + 1 ).

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K , el espacio proyectivo P ( V ) es el conjunto de clases de equivalencia de V \ {0} bajo la relación de equivalencia definida por x ~ y si existe un elemento no nulo λ de K tal que x = λy . Si V es un espacio vectorial topológico , el espacio cociente P ( V ) es un espacio topológico dotado de la topología cociente de la topología de subespacio de V \ {0} . Este es el caso cuando K es el cuerpo R de los números reales o el cuerpo C de los números complejos . Si V es de dimensión finita, la dimensión de P ( V ) es la dimensión de V menos uno.

En el caso común donde V = K ^{n +1} , el espacio proyectivo P ( V ) se denota P _n ( K ) (así como K P ⁿ o P ⁿ ( K ) , aunque esta notación puede confundirse con la exponenciación). El espacio P _n ( K ) se denomina a menudo espacio proyectivo de dimensión n sobre K , o espacio proyectivo n , ya que todos los espacios proyectivos de dimensión n son isomorfos a él (porque todo espacio vectorial K de dimensión n + 1 es isomorfo a K ^{n +1} ).

^Los elementos de un espacio proyectivo P ( V ) se denominan comúnmente puntos . Si se ha elegido una base de V , y en particular si V = Kⁿ⁺¹ , las coordenadas proyectivas de un punto P son las coordenadas en la base de cualquier elemento de la clase de equivalencia correspondiente. Estas coordenadas se denotan comúnmente como [ x₀ _:  ...  : xₙ ] , ^{donde los dos puntos y los corchetes se utilizan para distinguirlas de} _las coordenadas usuales y enfatizar que se trata de una clase de equivalencia, definida salvo por la multiplicación por una constante distinta _de cero. Es decir, si [ x₀ _:  ...  : xₙ ] son ​​las coordenadas proyectivas de un punto, entonces [ λx₀ : ... : λxₙ ] también son   _las coordenadas proyectivas del mismo punto, para cualquier λ distinto _de cero en K. Además, la definición anterior implica que [ x ₀  : ...  : x _n ] son ​​coordenadas proyectivas de un punto si y solo si al menos una de las coordenadas es distinta de cero.

Si K es el cuerpo de los números reales o complejos, un espacio proyectivo se denomina espacio proyectivo real o espacio proyectivo complejo , respectivamente. Si n es uno o dos, un espacio proyectivo de dimensión n se denomina recta proyectiva o plano proyectivo , respectivamente. La recta proyectiva compleja también se denomina esfera de Riemann .

Todas estas definiciones se extienden naturalmente al caso en que K es un anillo de división ; véase, por ejemplo, el espacio proyectivo cuaterniónico . La notación PG( n , K ) se usa a veces para Pn ( K ) . ^{[ 1 ]} Si K es un cuerpo finito con q elementos, Pn ( K ) se suele denotar como _PG ( n , q ) (véase PG ⁽ 3,2) ). ^{[ a} _]

Un espacio proyectivo es un espacio topológico , dotado de la topología cociente de la topología de un espacio vectorial real de dimensión finita.

Sea S la esfera unitaria en un espacio vectorial normado V , y consideremos la función $${\displaystyle \pi :S\to \mathbf {P} (V)}$$ que mapea un punto de S a la recta vectorial que pasa por él. Esta función es continua y sobreyectiva. La imagen inversa de cada punto de P ( V ) consta de dos puntos antipodales . Como las esferas son espacios compactos , se deduce que:

Para cada punto P de S , la restricción de π a un entorno de P es un homeomorfismo sobre su imagen, siempre que el entorno sea lo suficientemente pequeño como para no contener ningún par de puntos antipodales. Esto demuestra que un espacio proyectivo es una variedad. Se puede proporcionar un atlas simple , como se muestra a continuación.

Una vez elegida una base para V , cualquier vector puede identificarse con sus coordenadas en dicha base, y cualquier punto de P ( V ) puede identificarse con sus coordenadas homogéneas . Para i = 0, ..., n , el conjunto $${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}],x_{i}\neq 0\}}$$ es un subconjunto abierto de P ( V ) , y $${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}}$$ ya que cada punto de P ( V ) tiene al menos una coordenada distinta de cero.

A cada U _i se le asocia una tabla , que son los homeomorfismos.$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {\varphi } _{i}:R^{n}&\to U_{i}\\(y_{0},\dots ,{\widehat {y_{i}}},\dots ,y_{n})&\mapsto [y_{0}:\cdots :y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots :y_{n}],\end{aligned}}}$$ de tal manera que $${\displaystyle \varphi _{i}^{-1}\left([x_{0}:\cdots :x_{n}]\right)=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\dots ,{\widehat {\frac {x_{i}}{x_{i}}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right),}$$ donde "sombreros" significa que falta el término correspondiente.

Estos diagramas forman un atlas y, como los mapas de transición son funciones analíticas , resulta que los espacios proyectivos son variedades analíticas .

Por ejemplo, en el caso de n = 1 , es decir, de una línea proyectiva, solo hay dos U _i , cada uno de los cuales puede identificarse con una copia de la línea real . En ambas líneas, la intersección de las dos cartas es el conjunto de números reales distintos de cero, y el mapa de transición es $${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$$ en ambas direcciones. La imagen representa la línea proyectiva como un círculo donde se identifican los puntos antipodales, y muestra los dos homeomorfismos de una línea real a la línea proyectiva; a medida que se identifican los puntos antipodales, la imagen de cada línea se representa como un semicírculo abierto, que puede identificarse con la línea proyectiva con un solo punto menos.

Originalmente, la geometría algebraica era el estudio de los ceros comunes de conjuntos de polinomios multivariados . Estos ceros comunes, llamados variedades algebraicas, pertenecen a un espacio afín . Pronto se hizo evidente que, en el caso de coeficientes reales, es necesario considerar todos los ceros complejos para obtener resultados precisos. Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio univariado libre de cuadrados de grado n tiene exactamente n raíces complejas. En el caso multivariado, también es necesario considerar los ceros complejos, pero no suficiente: también se deben considerar los ceros en el infinito . Por ejemplo, el teorema de Bézout afirma que la intersección de dos curvas algebraicas planas de grados respectivos d y e consta de exactamente de puntos si se consideran puntos complejos en el plano proyectivo y si se cuentan los puntos con su multiplicidad. ^{[ b ]} Otro ejemplo es la fórmula género-grado que permite calcular el género de una curva algebraica plana a partir de sus singularidades en el plano proyectivo complejo .

Así pues, una variedad proyectiva es el conjunto de puntos en un espacio proyectivo, cuyas coordenadas homogéneas son ceros comunes de un conjunto de polinomios homogéneos . ^{[ c ]}

Cualquier variedad afín puede completarse , de forma única, en una variedad proyectiva añadiendo sus puntos en el infinito , lo que consiste en homogeneizar los polinomios que la definen y eliminar los componentes que están contenidos en el hiperplano en el infinito, mediante la saturación con respecto a la variable homogeneizadora.

Una propiedad importante de los espacios proyectivos y las variedades proyectivas es que la imagen de una variedad proyectiva bajo un morfismo de variedades algebraicas es cerrada para la topología de Zariski (es decir, es un conjunto algebraico ). Esta es una generalización a todo cuerpo base de la compacidad del espacio proyectivo real y complejo.

Un espacio proyectivo es en sí mismo una variedad proyectiva, al ser el conjunto de ceros del polinomio cero.

En geometría sintética , un espacio proyectivo S puede definirse axiomáticamente como un conjunto P (el conjunto de puntos), junto con un conjunto L de subconjuntos de P (el conjunto de líneas), que satisfacen estos axiomas: ^{[ 4 ]}

• Cada par de puntos distintos p y q están exactamente en una misma línea.
• Axioma de Veblen : ^{[ d ]} Si a , b , c , d son puntos distintos y las líneas que pasan por ab y cd se encuentran, entonces también lo hacen las líneas que pasan por ac y bd .
• Cualquier línea tiene al menos 3 puntos.

El último axioma elimina los casos reducibles que pueden escribirse como una unión disjunta de espacios proyectivos junto con rectas de dos puntos que unen cualesquiera dos puntos en espacios proyectivos distintos. De forma más abstracta, puede definirse como una estructura de incidencia ( P , L , I ) que consta de un conjunto P de puntos, un conjunto L de rectas y una relación de incidencia I que indica qué puntos se encuentran sobre qué rectas.

Las estructuras definidas por estos axiomas son más generales que las obtenidas a partir de la construcción del espacio vectorial dada anteriormente. Si la dimensión (proyectiva) es al menos tres, entonces, por el teorema de Veblen-Young , no hay diferencia. Sin embargo, para la dimensión dos, existen ejemplos que satisfacen estos axiomas que no pueden construirse a partir de espacios vectoriales (ni siquiera de módulos sobre anillos de división). Estos ejemplos no satisfacen el teorema de Desargues y se conocen como planos no desarguesianos . En la dimensión uno, cualquier conjunto con al menos tres elementos satisface los axiomas, por lo que es habitual asumir una estructura adicional para las líneas proyectivas definidas axiomáticamente. ^{[ 5 ]}

Es posible evitar los casos problemáticos en dimensiones bajas añadiendo o modificando axiomas que definen un espacio proyectivo. Coxeter (1969 , p. 231) proporciona una extensión de este tipo debida a Bachmann. ^{[ 6 ]} Para asegurar que la dimensión sea al menos dos, reemplace el axioma de tres puntos por línea anterior por: 

• Existen cuatro puntos, de los cuales no hay tres colineales.

Para evitar los planos no desarguesianos, incluya el teorema de Pappus como axioma; ^{[ e ]}

• Si los seis vértices de un hexágono se encuentran alternativamente sobre dos líneas, los tres puntos de intersección de pares de lados opuestos son colineales.

Y, para asegurar que el espacio vectorial esté definido sobre un campo que no tiene característica par, incluya el axioma de Fano ; ^{[ f ]}

• Los tres vértices diagonales de un cuadrilátero completo nunca son colineales.

Un subespacio del espacio proyectivo es un subconjunto X tal que cualquier recta que contenga dos puntos de X es un subconjunto de X (es decir, está completamente contenida en X ). El espacio completo y el espacio vacío son siempre subespacios.

Se dice que la dimensión geométrica del espacio es n si ese es el mayor número para el cual existe una cadena estrictamente ascendente de subespacios de esta forma: $${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.}$$

Se dice que un subespacio X _i en dicha cadena tiene dimensión (geométrica) i . Los subespacios de dimensión 0 se llaman puntos , los de dimensión 1 se llaman líneas, y así sucesivamente. Si el espacio completo tiene dimensión n, entonces cualquier subespacio de dimensión n − 1 se llama hiperplano .

Los espacios proyectivos admiten una formulación equivalente en términos de la teoría de retículos . Existe una correspondencia biyectiva entre los espacios proyectivos y los retículos geomodulares, a saber, retículos modulares , compactos , subdirectamente irreducibles y generados de forma compacta . ^{[ 7 ]}

Espacios y planos proyectivos finitos

Un espacio proyectivo finito es un espacio proyectivo donde P es un conjunto finito de puntos. En cualquier espacio proyectivo finito, cada línea contiene el mismo número de puntos y el orden del espacio se define como uno menos que este número común. Para espacios proyectivos finitos de dimensión al menos tres, el teorema de Wedderburn implica que el anillo de división sobre el cual se define el espacio proyectivo debe ser un cuerpo finito GF ( q ) , cuyo orden (es decir, número de elementos) es q (una potencia prima). Un espacio proyectivo finito definido sobre dicho cuerpo finito tiene q + 1 puntos en una línea, por lo que los dos conceptos de orden coinciden. Notacionalmente, PG( n , GF( q )) se suele escribir como PG( n , q ) .

Todos los cuerpos finitos del mismo orden son isomorfos, por lo que, salvo isomorfismo, existe un único espacio proyectivo finito para cada dimensión mayor o igual a tres sobre un cuerpo finito dado. Sin embargo, en dimensión dos existen planos no desarguesianos. Salvo isomorfismo, existen

1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, ... (secuencia A001231 en el OEIS )

planos proyectivos finitos de órdenes 2, 3, 4, ..., 10, respectivamente. Los números más allá de estos son muy difíciles de calcular y no están determinados excepto por algunos valores cero debido al teorema de Bruck-Ryser .

El plano proyectivo más pequeño es el plano de Fano , PG(2, 2), con 7 puntos y 7 líneas. El espacio proyectivo tridimensional más pequeño es PG(3, 2) , con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos.

Las aplicaciones lineales inyectivas T ∈ L ( V , W ) entre dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo K inducen aplicaciones de los espacios proyectivos correspondientes P ( V ) → P ( W ) mediante: 

donde v es un elemento no nulo de V y [...] denota las clases de equivalencia de un vector bajo la identificación definitoria de los respectivos espacios proyectivos. Dado que los miembros de la clase de equivalencia difieren por un factor escalar, y las aplicaciones lineales conservan factores escalares, esta aplicación inducida está bien definida . (Si T no es inyectiva, tiene un espacio nulo mayor que {0} ; en este caso, el significado de la clase de T ( v ) es problemático si v es no nulo y está en el espacio nulo. En este caso se obtiene una llamada aplicación racional ; véase también Geometría birracional ).

Dos aplicaciones lineales S y T en L ( V , W ) inducen la misma aplicación entre P ( V ) y P ( W ) si y solo si difieren en un múltiplo escalar, es decir, si T = λS para algún λ ≠ 0 . Por lo tanto, si se identifican los múltiplos escalares de la aplicación identidad con el cuerpo subyacente K , el conjunto de morfismos K -lineales de P ( V ) a P ( W ) es simplemente P ( L ( V , W )) . 

Los automorfismos P ( V ) → P ( V ) pueden describirse de forma más concreta. (Nos ocupamos únicamente de los automorfismos que preservan el cuerpo base K ). Utilizando la noción de haces generados por secciones globales , se puede demostrar que cualquier automorfismo algebraico (no necesariamente lineal) debe ser lineal, es decir, provenir de un automorfismo (lineal) del espacio vectorial V . Estos últimos forman el grupo GL( V ) . Al identificar aplicaciones que difieren en un escalar, se concluye que 

el grupo cociente de GL( V ) módulo las matrices que son múltiplos escalares de la identidad. (Estas matrices forman el centro de Aut( V ) ). Los grupos PGL se denominan grupos lineales proyectivos . Los automorfismos de la recta proyectiva compleja P1 ( C ) se denominan transformaciones de ^Möbius .

Cuando la construcción anterior se aplica al espacio dual V ^∗ en lugar de V , se obtiene el espacio proyectivo dual, que puede identificarse canónicamente con el espacio de hiperplanos que pasan por el origen de V . Es decir, si V es n- dimensional, entonces P ( V ^∗ ) es la grassmanniana de n − 1 planos en V .

En geometría algebraica, esta construcción permite una mayor flexibilidad en la construcción de haces proyectivos. Sería deseable poder asociar un espacio proyectivo a cada haz cuasi-coherente E sobre un esquema Y , no solo a los localmente libres. Véase EGA _II , cap. II, párr. 4 para más detalles.

dimensión

El espacio proyectivo, al ser el "espacio" de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio vectorial V dado , se generaliza a la variedad grassmanniana , que parametriza subespacios de dimensiones superiores (de alguna dimensión fija) de V.

secuencia de subespacios

De forma más general, la variedad de banderas es el espacio de banderas, es decir, cadenas de subespacios lineales de V.

otras subvariedades

De forma aún más general, los espacios de módulos parametrizan objetos como curvas elípticas de un tipo determinado.

otros anillos

Generalizar a anillos asociativos (en lugar de solo a cuerpos) produce, por ejemplo, la línea proyectiva sobre un anillo .

parcheo

La unión de espacios proyectivos produce haces de espacios proyectivos .

Las variedades de Severi-Brauer son variedades algebraicas sobre un cuerpo K , que se vuelven isomorfas a espacios proyectivos después de una extensión del cuerpo base K.  

Otra generalización de los espacios proyectivos son los espacios proyectivos ponderados ; estos son a su vez casos especiales de variedades tóricas . ^{[ 8 ]}

• álgebra geométrica

Generalizaciones

• variedad grassmanniana
• Línea proyectiva sobre un anillo
• Espacio (matemáticas)

Geometría proyectiva

• transformación proyectiva
• representación proyectiva

• Afanas'ev, VV (2001) [1994], "espacio proyectivo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Baer, ​​Reinhold (2005) [publicado originalmente en 1952], Álgebra lineal y geometría proyectiva , Dover, ISBN 978-0-486-44565-6
• Berger, Marcel (2009), Geometría I , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11658-5Traducido del original francés de 1977 por M. Cole y S. Levy, cuarta edición de la traducción al inglés de 1987.
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva: de los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48277-6, MR 1629468 
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1974), Introducción a la geometría , Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Geometría proyectiva , Toronto, Ont.: University of Toronto Press, ISBN 0-8020-2104-2, MR 0346652 , OCLC 977732  
• Dembowski, P. (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275 
• Greenberg, MJ; Geometrías euclidianas y no euclidianas , 2ª ed. Freeman (1980).
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , especialmente los capítulos I.2, I.7, II.5 y II.7
• Hilbert, D. y Cohn-Vossen, S.; Geometría y la imaginación , 2.ª ed. Chelsea (1999).
• Mukai, Shigeru (2003), Introducción a los invariantes y módulos , Estudios avanzados de matemáticas de Cambridge, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80906-1
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• Weisstein, Eric W. "Espacio proyectivo" . MathWorld .
• Espacio proyectivo en PlanetMath .
• Planos proyectivos de pequeño orden