El método de Prony

El análisis de Prony ( método de Prony ) fue desarrollado por Gaspard Riche de Prony en 1795. Sin embargo, el uso práctico del método aguardó a la computadora digital. ^[1] Similar a la transformada de Fourier , el método de Prony extrae información valiosa de una señal muestreada uniformemente y construye una serie de exponenciales complejas amortiguadas o sinusoides amortiguadas . Esto permite la estimación de la frecuencia, amplitud, fase y componentes de amortiguamiento de una señal.

Sea una señal que consta de muestras espaciadas uniformemente. El método de Prony ajusta una función ${\displaystyle f(t)}$${\estilo de visualización N}$

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})}$

al observado . Después de algunas manipulaciones utilizando la fórmula de Euler , se obtiene el siguiente resultado, que permite un cálculo más directo de los términos: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(t)&=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\tfrac {1}{2}}A_{i}\left(e^{j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{+}t}+e^{-j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{-}t}\right),\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}}$son los valores propios del sistema,

${\displaystyle \sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}}$son los componentes de amortiguación,

${\displaystyle \omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}}$son los componentes de frecuencia angular,

${\displaystyle \phi _{i}}$son los componentes de la fase,

${\displaystyle A_{i}}$son los componentes de amplitud de la serie,

${\displaystyle j}$es la unidad imaginaria ( ).${\displaystyle j^{2}=-1}$

El método de Prony es esencialmente una descomposición de una señal con exponenciales complejos mediante el siguiente proceso: ${\displaystyle M}$

Muestrear regularmente de modo que la -ésima de las muestras pueda escribirse como ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle F_{n}={\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}\mathrm {B} _{m}e^{\lambda _{m}\Delta _{t}n},\quad n=0,\dots ,N-1.}$

Si resulta que consiste en senos paranasales amortiguados, entonces habrá pares de exponenciales complejos tales que ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j},\\\mathrm {B} _{b}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j},\\\lambda _{a}&=\sigma _{i}+j\omega _{i},\\\lambda _{b}&=\sigma _{i}-j\omega _{i},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}e^{\lambda _{a}t}+\mathrm {B} _{b}e^{\lambda _{b}t}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}+j\omega _{i})t}+{\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}-j\omega _{i})t}\\&=A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i}).\end{aligned}}}$

Dado que la suma de exponenciales complejas es la solución homogénea de una ecuación diferencial lineal , existirá la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle {\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}{\hat {f}}[\Delta _{t}(n-m)]P_{m},\quad n=M,\dots ,N-1.}$

La clave del método de Prony es que los coeficientes de la ecuación diferencial están relacionados con el siguiente polinomio:

${\displaystyle z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}=\prod _{m=1}^{M}\left(z-e^{\lambda _{m}}\right).}$

Estos hechos conducen a los tres pasos siguientes dentro del método Prony:

1) Construya y resuelva la ecuación matricial para los valores: ${\displaystyle P_{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{M}\\\vdots \\F_{N-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{M-1}&\dots &F_{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\F_{N-2}&\dots &F_{N-M-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\\vdots \\P_{M}\end{bmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que si , puede ser necesaria una matriz inversa generalizada para encontrar los valores . ${\displaystyle N\neq 2M}$${\displaystyle P_{m}}$

2) Después de encontrar los valores, encuentre las raíces (numéricamente si es necesario) del polinomio. ${\displaystyle P_{m}}$

${\displaystyle z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}.}$

La raíz -ésima de este polinomio será igual a . ${\displaystyle m}$${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$

3) Con los valores, los valores son parte de un sistema de ecuaciones lineales que pueden usarse para resolver los valores: ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \mathrm {B} _{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{k_{1}}\\\vdots \\F_{k_{M}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(e^{\lambda _{1}})^{k_{1}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\(e^{\lambda _{1}})^{k_{M}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{M}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathrm {B} _{1}\\\vdots \\\mathrm {B} _{M}\end{bmatrix}},}$

donde se utilizan valores únicos . Es posible utilizar una matriz inversa generalizada si se utilizan más de muestras. ${\displaystyle M}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle M}$

Tenga en cuenta que resolver para producirá ambigüedades, ya que solo se resolvió para y para un entero . Esto conduce a los mismos criterios de muestreo de Nyquist a los que están sujetas las transformadas de Fourier discretas ${\displaystyle \lambda _{m}}$${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$${\displaystyle e^{\lambda _{m}}=e^{\lambda _{m}\,+\,q2\pi j}}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (\lambda _{m})\right|=\left|\omega _{m}\right|<{\frac {\pi }{\Delta _{t}}}.}$

• Método generalizado del lápiz de funciones
• Cálculo de la descomposición de Prony mediante análisis de autorregresión
• Aplicación de la descomposición de Prony en el análisis tiempo-frecuencia