Demostración matemática

En la demostración directa, la conclusión se establece mediante la combinación lógica de los axiomas, las definiciones y los teoremas anteriores. ^{[ 15 ]} Por ejemplo, la demostración directa puede utilizarse para probar que la suma de dos enteros pares siempre es par:

Consideremos dos números pares x e y . Como son pares, se pueden escribir como x  =  2a e y = 2b , respectivamente, para algunos enteros a y b . Entonces , la suma es x + y = 2a + 2b = 2 ( a + b ). Por lo tanto, x + y tiene 2 como factor y, por definición, es par. En consecuencia, la suma de dos enteros pares cualesquiera es par.            

Esta demostración utiliza la definición de enteros pares, las propiedades enteras de cierre bajo la suma y la multiplicación, y la propiedad distributiva .

A pesar de su nombre, la inducción matemática es un método de deducción , no una forma de razonamiento inductivo . En la demostración por inducción matemática, se demuestra un único "caso base" y una "regla de inducción" que establece que cualquier caso arbitrario implica el siguiente caso. Dado que, en principio, la regla de inducción puede aplicarse repetidamente (partiendo del caso base demostrado), se deduce que todos los casos (generalmente infinitos ) son demostrables. ^{[ 16 ]} Esto evita tener que demostrar cada caso individualmente. Una variante de la inducción matemática es la demostración por descenso infinito , que puede utilizarse, por ejemplo, para demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos .

Una aplicación común de la demostración por inducción matemática es probar que una propiedad que se sabe que se cumple para un número se cumple para todos los números naturales : ^{[ 17 ]} Sea N = {1, 2, 3, 4, ... } el conjunto de los números naturales, y sea P ( n ) una proposición matemática que involucra el número natural n perteneciente a N tal que

• (i) P (1) es verdadero, es decir, P ( n ) es verdadero para n = 1 .
• (ii) P ( n +1) es verdadero siempre que P ( n ) sea verdadero, es decir, que P ( n ) sea verdadero implica que P ( n +1) sea verdadero.
• Entonces P ( n ) es verdadera para todos los números naturales n .

Por ejemplo, podemos demostrar por inducción que todos los enteros positivos de la forma 2 n  −  1 son impares . Sea P ( n ) la función que representa " 2 n  −  1 es impar":

(i) Para n = 1 , 2n − 1 = 2(1) − 1 = 1         , y 1 es impar, ya que deja un resto de 1 cuando se divide por 2. Por lo tanto, P ( 1) es verdadera.

(ii) Para cualquier n , si 2 n  −  1 es impar ( P ( n ) ), entonces (2 n  −  1)  +  2 también debe ser impar, porque sumar 2 a un número impar da como resultado un número impar. Pero (2 n  −  1)  +  2  =  2 n  +  1  =  2( n +1)  −  1 , por lo que 2( n +1)  −  1 es impar ( P ( n +1) ). Entonces P ( n ) implica P ( n +1) .

Por lo tanto, 2 n  −  1 es impar, para todos los enteros positivos n .

La expresión más corta «prueba por inducción» se usa a menudo en lugar de «prueba por inducción matemática». ^{[ 18 ]}

La demostración por contraposición deduce la afirmación "si p entonces q " estableciendo la afirmación contrapositiva lógicamente equivalente : "si no q entonces no p ".

Por ejemplo, la contraposición se puede utilizar para establecer que, dado un número entero${\displaystyle x}$, si${\displaystyle x^{2}}$es par, entonces${\displaystyle x}$es par:

Suponer${\displaystyle x}$ni siquiera. Entonces${\displaystyle x}$es impar. El producto de dos números impares es impar, por lo tanto${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$es extraño. Por lo tanto${\displaystyle x^{2}}$no es uniforme. Por lo tanto, si${\displaystyle x^{2}}$es incluso, la suposición debe ser falsa, por lo tanto${\displaystyle x}$tiene que ser uniforme.

En la demostración por contradicción, también conocida por la frase latina reductio ad absurdum (por reducción al absurdo), se demuestra que si se asume que una afirmación es verdadera, se produce una contradicción lógica , por lo tanto, la afirmación debe ser falsa. Un ejemplo famoso involucra la demostración de que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es un número irracional :

Supongamos que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$fueran un número racional. Entonces podría escribirse en su mínima expresión como${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$donde a y b son enteros distintos de cero sin factor común . Por lo tanto,${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$Elevando al cuadrado ambos lados obtenemos 2 b ² = a ² . Dado que la expresión de la izquierda es un múltiplo entero de 2, la expresión de la derecha es, por definición, divisible por 2. Es decir, a ² es par, lo que implica que a también debe ser par, como se ve en la proposición anterior (en #Demostración por contraposición ). Entonces podemos escribir a = 2 c , donde c también es un entero. Sustituyendo en la ecuación original obtenemos 2 b ² = (2 c ) ² = 4 c ² . Dividiendo ambos lados por 2 obtenemos b ² = 2 c ² . Pero entonces, por el mismo argumento que antes, 2 divide a b ² , por lo que b debe ser par. Sin embargo, si a y b son ambos pares, tienen 2 como factor común. Esto contradice nuestra afirmación anterior de que a y b no tienen factor común, por lo que debemos concluir que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es un número irracional.

Parafraseando: si uno pudiera escribir${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Como fracción , esta fracción nunca podría escribirse en su mínima expresión, ya que siempre se podría factorizar 2 del numerador y del denominador.

La demostración por construcción, o demostración por ejemplo, consiste en construir un ejemplo concreto con una propiedad para demostrar que algo que posee dicha propiedad existe. Joseph Liouville , por ejemplo, demostró la existencia de los números trascendentales mediante la construcción de un ejemplo explícito . También puede utilizarse para construir un contraejemplo que refute la proposición de que todos los elementos poseen una propiedad determinada.

En la demostración por agotamiento, la conclusión se establece dividiéndola en un número finito de casos y demostrando cada uno por separado. El número de casos a veces puede llegar a ser muy grande. Por ejemplo, la primera demostración del teorema de los cuatro colores fue una demostración por agotamiento con 1936 casos. Esta demostración fue controvertida porque la mayoría de los casos fueron verificados por un programa informático, no manualmente. ^{[ 19 ]}

Una inferencia de cadena cerrada muestra que un conjunto de enunciados son equivalentes por pares.

Para probar que las afirmaciones${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$cada uno es equivalente por pares, se dan pruebas de las implicaciones${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$,${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$,${\displaystyle \dots }$,${\displaystyle \varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}}$y${\displaystyle \varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}}$. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

La equivalencia por pares de las afirmaciones resulta entonces de la transitividad del condicional material .

Una demostración probabilística es aquella en la que se muestra la existencia de un ejemplo con certeza, utilizando métodos de la teoría de la probabilidad . La demostración probabilística, al igual que la demostración por construcción, es una de las muchas maneras de probar teoremas de existencia .

En el método probabilístico, se busca un objeto que posea una propiedad determinada, partiendo de un amplio conjunto de candidatos. Se asigna una probabilidad a cada candidato para que sea elegido y, a continuación, se demuestra que existe una probabilidad distinta de cero de que un candidato elegido posea la propiedad deseada. Esto no especifica qué candidatos poseen la propiedad, pero la probabilidad no podría ser positiva sin al menos uno.

Una prueba probabilística no debe confundirse con un argumento que afirme que un teorema es «probablemente» verdadero, un «argumento de plausibilidad». El trabajo en torno a la conjetura de Collatz muestra cuán alejada está la plausibilidad de una prueba genuina, al igual que la refutación de la conjetura de Mertens . Si bien la mayoría de los matemáticos no consideran que la evidencia probabilística de las propiedades de un objeto dado constituya una prueba matemática genuina, algunos matemáticos y filósofos han argumentado que al menos algunos tipos de evidencia probabilística (como el algoritmo probabilístico de Rabin para probar la primalidad ) son tan buenos como las pruebas matemáticas genuinas. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

Una prueba combinatoria establece la equivalencia de diferentes expresiones al demostrar que cuentan el mismo objeto de maneras distintas. ^{[ 24 ]} A menudo se utiliza una biyección entre dos conjuntos para demostrar que las expresiones para sus dos tamaños son iguales. Alternativamente, un argumento de doble conteo proporciona dos expresiones diferentes para el tamaño de un solo conjunto, demostrando nuevamente que las dos expresiones son iguales.

Una demostración no constructiva establece que existe un objeto matemático con una propiedad determinada, sin explicar cómo se puede encontrar dicho objeto. ^{[ 25 ]} A menudo, esto adopta la forma de una demostración por contradicción en la que se prueba que la no existencia del objeto es imposible. En contraste, una demostración constructiva establece que existe un objeto particular proporcionando un método para encontrarlo. El siguiente ejemplo famoso de una demostración no constructiva muestra que existen dos números irracionales a y b tales que${\displaystyle a^{b}}$es un número racional . Esta demostración utiliza que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es irracional (se conoce una prueba sencilla desde Euclides ), pero no que${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$es irracional (esto es cierto, pero la demostración no es elemental).

Cualquiera${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$es un número racional y hemos terminado (tomar${\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}$), o${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$es irracional, por lo que podemos escribir${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$y${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$Esto da entonces${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$, que es, por lo tanto, un número racional de la forma${\displaystyle a^{b}.}$

La expresión «prueba estadística» puede utilizarse técnica o coloquialmente en áreas de las matemáticas puras , como la criptografía , las series caóticas y la teoría probabilística o analítica de números . ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} Su uso es menos frecuente para referirse a una prueba matemática en la rama de las matemáticas conocida como estadística matemática . Véase también la sección « Prueba estadística con datos » más adelante.

Hasta el siglo XX se asumía que cualquier demostración podía, en principio, ser verificada por un matemático competente para confirmar su validez. ^{[ 8 ]} Sin embargo, ahora se utilizan demostradores de teoremas automatizados y asistentes de demostración para probar teoremas y realizar cálculos demasiado largos para que los revise un ser humano o un equipo de humanos; la primera demostración del teorema de los cuatro colores es un ejemplo de demostración asistida por computadora. Algunos matemáticos temen que la posibilidad de un error en un programa informático o un error de ejecución en sus cálculos ponga en duda la validez de dichas demostraciones asistidas por computadora. En la práctica, las probabilidades de que un error invalide una demostración asistida por computadora pueden reducirse incorporando redundancia y autoverificaciones en los cálculos, y desarrollando múltiples enfoques y programas independientes. Los errores nunca pueden descartarse por completo en el caso de la verificación humana de una demostración, especialmente si la demostración contiene lenguaje natural y requiere una profunda comprensión matemática para descubrir las posibles suposiciones y falacias ocultas.

En Estados Unidos, se suele utilizar una forma particular de organizar una demostración mediante dos columnas paralelas como ejercicio matemático en las clases de geometría elemental. ^{[ 32 ]} La demostración se escribe como una serie de líneas en dos columnas. En cada línea, la columna izquierda contiene una proposición, mientras que la columna derecha contiene una breve explicación de cómo la proposición correspondiente en la columna izquierda es un axioma, una hipótesis o puede derivarse lógicamente de proposiciones anteriores. La columna izquierda suele titularse «Afirmaciones» y la columna derecha, «Razones». ^{[ 33 ]}