Prueba de que e es irracional

El número e fue introducido por Jacob Bernoulli en 1683. Más de medio siglo después, Euler , que había sido alumno del hermano menor de Jacob, Johann , demostró que e es irracional ; es decir, que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros.

Euler escribió la primera prueba del hecho de que e es irracional en 1737 (pero el texto se publicó solo siete años después). ^{[1] [2] [3]} Calculó la representación de e como una fracción continua simple , que es

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].}$

Como esta fracción continua es infinita y todo número racional tiene una fracción continua terminal, e es irracional. Se conoce una prueba corta de la igualdad anterior. ^{[4] [5]} Como la fracción continua simple de e no es periódica , esto también demuestra que e no es una raíz de un polinomio cuadrático con coeficientes racionales; en particular, e ² es irracional.

La prueba más conocida es la prueba por contradicción de Joseph Fourier , ^[6] que se basa en la igualdad

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}.}$

Inicialmente se supone que e es un número racional de la formaa/b⁠ . La idea es entonces analizar la diferencia escalada (aquí denotada x ) entre la representación en serie de e y su suma parcial estrictamente más pequeña b -ésima , que se aproxima al valor límite e . Al elegir el factor de escala como el factorial de  b , la fracción ⁠a/b⁠ y la suma parcial b -ésima se convierten en números enteros , por lo tanto x debe ser un número entero positivo. Sin embargo, la rápida convergencia de la representación en serie implica que x sigue siendo estrictamente menor que 1. De esta contradicción deducimos que e es irracional.

Ahora, los detalles. Si e es un número racional , existen números enteros positivos a y b tales que e = ⁠a/b⁠ . Definir el número

${\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).}$

Utilice el supuesto de que e = ⁠a/b⁠ para obtener

${\displaystyle x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.}$

El primer término es un número entero y cada fracción de la suma es en realidad un número entero porque n ≤ b para cada término. Por lo tanto, suponiendo que e es racional, x es un número entero.

Ahora demostramos que 0 < x < 1. Primero, para demostrar que x es estrictamente positivo, insertamos la representación en serie de e anterior en la definición de x y obtenemos

${\displaystyle x=b!\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0,}$

porque todos los términos son estrictamente positivos.

Ahora demostramos que x < 1. Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos la estimación superior

${\displaystyle {\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots {\big (}b+(n-b){\big )}}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}.}$

Esta desigualdad es estricta para cada n ≥ b + 2 . Cambiando el índice de sumatoria a k = n – b y utilizando la fórmula para la serie geométrica infinita , obtenemos

${\displaystyle x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}\right)={\frac {1}{b}}\leq 1.}$

Y por lo tanto${\displaystyle x<1.}$

Como no existe ningún número entero estrictamente entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por tanto e es irracional, QED

Otra prueba ^[7] se puede obtener de la anterior observando que

${\displaystyle (b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,}$

y esta desigualdad es equivalente a la afirmación de que bx  < 1. Esto es imposible, por supuesto, ya que b y x son números enteros positivos.

Otra prueba más ^{[8] [9]} se puede obtener del hecho de que

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$

Definir de la siguiente manera: ${\displaystyle s_{n}}$

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Entonces

${\displaystyle e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}-\sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}},}$

Lo que implica

${\displaystyle 0<(2n-1)!\left(e^{-1}-s_{2n-1}\right)<{\frac {1}{2n}}\leq {\frac {1}{2}}}$

para cualquier entero positivo . ${\displaystyle n}$

Nótese que siempre es un entero. Supongamos que es racional, entonces donde son coprimos, y Es posible elegir apropiadamente de modo que sea un entero, es decir Por lo tanto, para esta elección, la diferencia entre y sería un entero. Pero de la desigualdad anterior, eso no es posible. Entonces, es irracional. Esto significa que es irracional. ${\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}}$${\displaystyle e^{-1}}$${\displaystyle e^{-1}=p/q,}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle q\neq 0.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (2n-1)!e^{-1}}$${\displaystyle n\geq (q+1)/2.}$${\displaystyle (2n-1)!e^{-1}}$${\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}}$${\displaystyle e^{-1}}$${\displaystyle e}$

En 1840, Liouville publicó una prueba del hecho de que e ² es irracional ^[10] seguida de una prueba de que e ² no es una raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes racionales. ^[11] Este último hecho implica que e ⁴ es irracional. Sus pruebas son similares a la prueba de Fourier de la irracionalidad de e . En 1891, Hurwitz explicó cómo es posible demostrar a lo largo de la misma línea de ideas que e no es una raíz de un polinomio de tercer grado con coeficientes racionales, lo que implica que e ³ es irracional. ^[12] De manera más general, e ^q es irracional para cualquier q racional distinto de cero . ^[13]

Charles Hermite demostró además que e es un número trascendental , en 1873, lo que significa que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales, como lo es e ^α para cualquier α algebraico distinto de cero . ^[14]

• Caracterizaciones de la función exponencial
• Número trascendental , incluyendo una prueba de que e es trascendental
• Teorema de Lindemann-Weierstrass
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