Longitud adecuada

La longitud propia ^{[ 1 ]} o longitud en reposo ^{[ 2 ]} es la longitud de un objeto en el marco de referencia en reposo del objeto .

La medición de longitudes es más compleja en la teoría de la relatividad que en la mecánica clásica . En la mecánica clásica, las longitudes se miden bajo el supuesto de que las posiciones de todos los puntos involucrados se miden simultáneamente. Pero en la teoría de la relatividad, la noción de simultaneidad depende del observador.

Otro término, la distancia propia , proporciona una medida invariante cuyo valor es el mismo para todos los observadores.

La distancia propia es análoga al tiempo propio . La diferencia radica en que la distancia propia se define entre dos eventos separados espacialmente (o a lo largo de una trayectoria espacial), mientras que el tiempo propio se define entre dos eventos separados temporalmente (o a lo largo de una trayectoria temporal).

La longitud propia ^{[ 1 ]} o longitud en reposo ^{[ 2 ]} de un objeto es la longitud del objeto medida por un observador que se encuentra en reposo con respecto a él, aplicando varillas de medición estándar sobre el objeto. La medición de los extremos del objeto no tiene por qué ser simultánea, ya que los extremos se encuentran constantemente en reposo en las mismas posiciones en el sistema de referencia del objeto, por lo que es independiente de Δt . Esta longitud viene dada, por lo tanto, por:

${\displaystyle L_{0}=\Delta x.}$

Sin embargo, en sistemas de referencia en movimiento relativo, los extremos del objeto deben medirse simultáneamente, ya que cambian constantemente de posición. La longitud resultante es menor que la longitud en reposo y viene dada por la fórmula de contracción de longitud (donde γ es el factor de Lorentz ):

${\displaystyle L={\frac {L_{0}}{\gamma }}.}$

En comparación, la distancia propia invariante entre dos eventos arbitrarios que ocurren en los extremos del mismo objeto viene dada por:

${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}.}$

Así pues, Δσ _depende de Δt , mientras que (como se explicó anteriormente) la longitud de reposo del objeto L0 puede medirse independientemente de Δt . De ello se deduce que Δσ y L0 , medidos en los extremos del mismo objeto, solo coinciden cuando los eventos de medición fueron simultáneos en el sistema de referencia en reposo del objeto, de modo que Δt _es cero . Como explica Fayngold: ^{[ 1 ]}

pag. 407: "Nótese que la distancia propia entre dos eventos generalmente no es la misma que la longitud propia de un objeto cuyos extremos coinciden respectivamente con estos eventos. Considere una varilla sólida de longitud propia constante l ₀ . Si se encuentra en el sistema de referencia en reposo K ₀ de la varilla y desea medir su longitud, puede hacerlo marcando primero sus extremos. Y no es necesario marcarlos simultáneamente en K ₀ . Puede marcar un extremo ahora (en un instante t ₁ ) y el otro extremo más tarde (en un instante t ₂ ) en K ₀ , y luego medir tranquilamente la distancia entre las marcas. Incluso podemos considerar dicha medición como una posible definición operacional de longitud propia. Desde el punto de vista de la física experimental, el requisito de que las marcas se hagan simultáneamente es redundante para un objeto estacionario con forma y tamaño constantes, y en este caso puede omitirse de dicha definición. Dado que la varilla está estacionaria en K ₀ , la distancia entre las marcas es la longitud propia de la varilla independientemente del lapso de tiempo entre las dos marcas. En el Por otra parte, no es la distancia adecuada entre los eventos de marcado si las marcas no se realizan simultáneamente en K ₀ ."

En la relatividad especial , la distancia propia entre dos eventos separados espacialmente es la distancia entre los dos eventos, medida en un sistema de referencia inercial en el que los eventos son simultáneos. ^{[ 3 ] [ 4 ]} En dicho sistema específico, la distancia viene dada por $${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},}$$ dónde

• Δ x , Δ y , y Δ z son las diferencias en las coordenadas espaciales lineales y ortogonales de los dos eventos.

La definición puede darse de forma equivalente con respecto a cualquier sistema de referencia inercial (sin requerir que los eventos sean simultáneos en ese sistema) mediante $${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},}$$ dónde

• Δt es la diferencia en las coordenadas temporales de los dos eventos, y
• c es la velocidad de la luz .

Las dos fórmulas son equivalentes debido a la invariancia de los intervalos espaciotemporales y puesto que Δ t = 0 precisamente cuando los eventos son simultáneos en el marco dado.

Dos eventos están separados espacialmente si y solo si la fórmula anterior da un valor real y distinto de cero para Δ σ .

La fórmula anterior para la distancia propia entre dos eventos presupone que el espaciotiempo en el que ocurren es plano. Por lo tanto, no puede utilizarse en la relatividad general , que considera espaciostiempos curvos. Sin embargo, es posible definir la distancia propia a lo largo de una trayectoria en cualquier espaciotiempo, curvo o plano. En un espaciotiempo plano, la distancia propia entre dos eventos es la distancia propia a lo largo de una trayectoria recta entre ellos. En un espaciotiempo curvo, puede haber más de una trayectoria recta ( geodésica ) entre dos eventos, por lo que la distancia propia a lo largo de una trayectoria recta no definiría de forma unívoca la distancia propia entre ellos.

A lo largo de una trayectoria espacial arbitraria P , la distancia propia viene dada en sintaxis tensorial por la integral de línea.$${\displaystyle L=c\int _{P}{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},}$$ dónde

• g _μν es el tensor métrico para el mapeo actual de espaciotiempo y coordenadas , y
• dx ^μ es la separación de coordenadas entre eventos vecinos a lo largo de la trayectoria P.

En la ecuación anterior, se supone que el tensor métrico utiliza la signatura métrica (+−−−) y que está normalizado para devolver un tiempo en lugar de una distancia. El signo menos en la ecuación debe eliminarse y sustituirse por un tensor métrico que utilice la signatura métrica (−+++). Asimismo, la variable c debe eliminarse y sustituirse por un tensor métrico normalizado para usar una distancia o unidades geometrizadas .

• Intervalo invariante
• El momento adecuado
• distancia de movimiento
• Relatividad de la simultaneidad