Divisor

En matemáticas , un divisor de un número entero${\displaystyle n,}$también llamado factor de${\displaystyle n,}$es un número entero${\displaystyle m}$que puede multiplicarse por algún número entero para producir${\displaystyle n.}$^{[ 1 ]} En este caso, también se dice que${\displaystyle n}$es un múltiplo de${\displaystyle m.}$Un número entero${\displaystyle n}$es divisible o exactamente divisible por otro número entero${\displaystyle m}$si${\displaystyle m}$es un divisor de${\displaystyle n}$; esto implica dividir${\displaystyle n}$por${\displaystyle m}$No deja ningún resto.

El concepto de divisor se extiende, con la misma definición, a elementos de cualquier anillo ; véase Divisibilidad (teoría de anillos) .

Un número entero${\displaystyle n}$es divisible por un número entero distinto de cero${\displaystyle m}$si existe un número entero${\displaystyle k}$de tal manera que${\displaystyle n=km.}$Esto está escrito como

${\displaystyle m\mid n.}$

Esto puede leerse como que${\displaystyle m}$divide${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$es un divisor de${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$es un factor de${\displaystyle n,}$o${\displaystyle n}$es un múltiplo de${\displaystyle m.}$Si${\displaystyle m}$no divide${\displaystyle n,}$entonces la notación es${\displaystyle m\not \mid n.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}

Hay dos convenciones, que se distinguen por si${\displaystyle m}$Se permite que sea cero:

• Con la convención sin una restricción adicional en${\displaystyle m,}$${\displaystyle m\mid 0}$para cada entero${\displaystyle m.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}
• Con la convención de que${\displaystyle m}$ser distinto de cero,${\displaystyle m\mid 0}$para cada entero distinto de cero${\displaystyle m.}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

Los divisores pueden ser tanto negativos como positivos, aunque a menudo el término se restringe a los divisores positivos. Por ejemplo, hay seis divisores de 4: 1, 2, 4, -1, -2 y -4, pero normalmente solo se mencionan los positivos (1, 2 y 4).

1 y -1 dividen (son divisores de) todo número entero. Todo número entero (y su negación) es divisor de sí mismo. Los números enteros divisibles por 2 se llaman pares , y los números enteros no divisibles por 2 se llaman impares .

1, −1,${\displaystyle n}$y${\displaystyle -n}$se conocen como los divisores triviales de${\displaystyle n.}$Un divisor de${\displaystyle n}$Un divisor que no es trivial se conoce como divisor no trivial (o divisor estricto ^{[ 6 ]} ). Un entero distinto de cero con al menos un divisor no trivial se conoce como número compuesto , mientras que las unidades -1 y 1 y los números primos no tienen divisores no triviales.

Existen reglas de divisibilidad que permiten reconocer ciertos divisores de un número a partir de sus dígitos.

• 7 es divisor de 42 porque${\displaystyle 7\times 6=42,}$para que podamos decir${\displaystyle 7\mid 42.}$También se puede decir que 42 es divisible por 7, 42 es un múltiplo de 7, 7 divide a 42, o 7 es un factor de 42.
• Los divisores no triviales de 6 son 2, −2 , 3, −3 .
• Los divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• El conjunto de todos los divisores positivos de 60,${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$parcialmente ordenado por divisibilidad, tiene el diagrama de Hasse :

Existen algunas reglas básicas:

• Si${\displaystyle a\mid b}$y${\displaystyle b\mid c,}$entonces${\displaystyle a\mid c;}$es decir, la divisibilidad es una relación transitiva .
• Si${\displaystyle a\mid b}$y${\displaystyle b\mid a,}$entonces${\displaystyle a=b}$o${\displaystyle a=-b.}$(Eso es,${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son asociados .)
• Si${\displaystyle a\mid b}$y${\displaystyle a\mid c,}$entonces${\displaystyle a\mid (b+c)}$se sostiene, como lo hace${\displaystyle a\mid (bc).}$^{[ a ]} ​​Sin embargo, si${\displaystyle a\mid b}$y${\displaystyle c\mid b,}$entonces${\displaystyle (a+c)\mid b}$no siempre se cumple (por ejemplo,${\displaystyle 2\mid 6}$y${\displaystyle 3\mid 6}$pero 5 no divide a 6).
• ${\displaystyle a\mid b\iff ac\mid bc}$para distinto de cero${\displaystyle c}$Esto se deduce inmediatamente de la escritura.${\displaystyle ka=b\iff kac=bc}$.

Si${\displaystyle a\mid bc,}$y${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$entonces${\displaystyle a\mid c.}$^{[ b ]} Esto se llamael lema de Euclides.

Si${\displaystyle p}$es un número primo y${\displaystyle p\mid ab}$entonces${\displaystyle p\mid a}$o${\displaystyle p\mid b.}$

Un divisor positivo de${\displaystyle n}$eso es diferente de${\displaystyle n}$se llama undivisor propio o unalícuota parte de${\displaystyle n}$(por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3). Un número que no divide exactamente a 6.${\displaystyle n}$pero deja un resto que a veces se llamaalícuota parte de${\displaystyle n.}$

Un número entero${\displaystyle n>1}$Un número cuyo único divisor propio es 1 se denomina número primo . De forma equivalente, un número primo es un entero positivo que tiene exactamente dos factores positivos: 1 y él mismo.

Cualquier divisor positivo de${\displaystyle n}$es un producto de divisores primos de${\displaystyle n}$, cada uno elevado a alguna potencia. Esto es consecuencia del teorema fundamental de la aritmética .

Un número${\displaystyle n}$Se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que${\displaystyle n,}$y abundante si esta suma excede${\displaystyle n.}$

El número total de divisores positivos de${\displaystyle n}$es una función multiplicativa${\displaystyle d(n),}$lo que significa que cuando dos números${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son relativamente primos , entonces${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$Por ejemplo,${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$; los ocho divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Sin embargo, el número de divisores positivos no es una función totalmente multiplicativa: si los dos números${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$si comparten un divisor común, entonces podría no ser cierto que${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$La suma de los divisores positivos de${\displaystyle n}$es otra función multiplicativa${\displaystyle \sigma (n)}$(Por ejemplo,${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$). Ambas funciones son ejemplos de funciones divisorias .

Si la factorización prima de${\displaystyle n}$es dado por

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

entonces el número de divisores positivos de${\displaystyle n}$es

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

y cada uno de los divisores tiene la forma

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

dónde${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$para cada${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Para cada natural${\displaystyle n,}$${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

Además, ^{[ 7 ]}

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni . Una interpretación de este resultado es que un entero positivo n elegido al azar tiene un número promedio de divisores de aproximadamente${\displaystyle \ln n.}$Sin embargo, esto es resultado de las contribuciones de números con divisores "anormalmente muchos" .

En las definiciones que permiten que el divisor sea 0, la relación de divisibilidad convierte el conjunto${\displaystyle \mathbb {N} }$de enteros no negativos en un conjunto parcialmente ordenado que es un retículo distributivo completo . El elemento más grande de este retículo es 0 y el más pequeño es 1. La operación de intersección ∧ viene dada por el máximo común divisor y la operación de unión ∨ por el mínimo común múltiplo . Este retículo es isomorfo al dual del retículo de subgrupos del grupo cíclico infinito Z.

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