Pseudoconvexidad

En matemáticas , más precisamente en la teoría de funciones de varias variables complejas , un conjunto pseudoconvexo es un tipo especial de conjunto abierto en el espacio complejo n -dimensional C ⁿ . Los conjuntos pseudoconvexos son importantes, ya que permiten clasificar dominios de holomorfía .

Dejar${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ser un dominio . Uno dice que${\displaystyle G}$es pseudoconvexa (o pseudoconvexa de Hartogs ) si existe una función plurisubarmónica continua .${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle G}$de tal manera que el conjunto${\displaystyle \{z\in G\mid \varphi (z)<x\}}$es un subconjunto relativamente compacto de${\displaystyle G}$para todos los números reales${\displaystyle x.}$En otras palabras, un dominio es pseudoconvexo si${\displaystyle G}$tiene una función de agotamiento plurisubarmónica continua . Todo conjunto (geométricamente) convexo es pseudoconvexo. Sin embargo, existen dominios pseudoconvexos que no son geométricamente convexos.

Cuando${\displaystyle G}$tiene un${\displaystyle C^{2}}$frontera (dos veces continuamente diferenciable ) , esta noción es la misma que la pseudoconvexidad de Levi, con la que es más fácil trabajar. Más específicamente, con una ${\displaystyle C^{2}}$límite, se puede demostrar que ${\displaystyle G}$tiene una función definitoria, es decir, que existe ${\displaystyle \rho$ :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} } que es ${\displaystyle C^{2}}$de modo que ${\displaystyle G=\{\rho <0\}}$, y${\displaystyle \partial G=\{\rho =0\}}$. Ahora, ${\displaystyle G}$es pseudoconvexa si y solo si para cada ${\displaystyle p\in \partial G}$y${\displaystyle w}$en el espacio tangente complejo en p, es decir,

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, tenemos

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$

La definición anterior es análoga a las definiciones de convexidad en el análisis real.

Si${\displaystyle G}$no tiene un${\displaystyle C^{2}}$límite, el siguiente resultado de aproximación puede ser útil.

Proposición 1 Si ${\displaystyle G}$Si es pseudoconvexo, entonces existen dominios acotados y fuertemente pseudoconvexos de Levi.${\displaystyle G_{k}\subset G}$con${\displaystyle C^{\infty }}$( suave ) límite que son relativamente compactos en${\displaystyle G}$, de tal manera que

${\displaystyle G=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}.}$

Esto se debe a que una vez que tengamos un${\displaystyle \varphi }$Como en la definición podemos encontrar una función de agotamiento C ^{∞ .}

En una dimensión compleja, todo dominio abierto es pseudoconvexo.

• poliedro analítico
• Eugenio Elia Levi
• envoltura convexa holomórfica
• Colector de Stein

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