Módulo algebraicamente compacto

En matemáticas , los módulos algebraicamente compactos , también llamados módulos puramente inyectivos , son módulos que poseen una propiedad particular que permite resolver sistemas infinitos de ecuaciones en el módulo mediante métodos finitos . Las soluciones a estos sistemas permiten extender ciertos tipos de homomorfismos de módulos . Estos módulos algebraicamente compactos son análogos a los módulos inyectivos , donde se pueden extender todos los homomorfismos de módulos. Todos los módulos inyectivos son algebraicamente compactos, y la analogía entre ambos se precisa mediante una incrustación de categorías.

Sea R un anillo y M un R -módulo izquierdo. Consideremos un sistema de infinitas ecuaciones lineales.

${\displaystyle \sum _{j\in J}r_{i,j}x_{j}=m_{i},}$

donde ambos conjuntos I y J pueden ser infinitos,${\displaystyle m_{i}\in M,}$y para cada i el número de no cero${\displaystyle r_{i,j}\in R}$es finito.

El objetivo es determinar si dicho sistema tiene solución , es decir, si existen elementos x _j de M tales que todas las ecuaciones del sistema se satisfagan simultáneamente. (No es necesario que solo un número finito de x _j sean distintos de cero).

El módulo M es algebraicamente compacto si, para todos los sistemas de este tipo, si cada subsistema formado por un número finito de ecuaciones tiene una solución, entonces el sistema completo tiene una solución. (Las soluciones de los distintos subsistemas pueden ser diferentes).

Por otro lado, un homomorfismo de módulos M → K es una incrustación pura si el homomorfismo inducido entre los productos tensoriales C ⊗ M → C ⊗ Kes inyectivo para todo R -módulo derecho C. El módulo M es puramente inyectivo si cualquier homomorfismo puramente inyectivo j  : M → K se divide (es decir, existe f  : K → M con${\displaystyle f\circ j=1_{M}}$).

Resulta que un módulo es algebraicamente compacto si y solo si es puramente inyectivo.

Todos los módulos con un número finito de elementos son algebraicamente compactos.

Todo espacio vectorial es algebraicamente compacto (ya que es puramente inyectivo). De forma más general, todo módulo inyectivo es algebraicamente compacto por la misma razón.

Si R es un álgebra asociativa con 1 sobre algún cuerpo k , entonces todo R -módulo con dimensión k finita es algebraicamente compacto . Esto, junto con el hecho de que todos los módulos finitos son algebraicamente compactos, da lugar a la intuición de que los módulos algebraicamente compactos son aquellos módulos (posiblemente "grandes") que comparten las propiedades deseables de los módulos "pequeños".

Los grupos de Prüfer son grupos abelianos algebraicamente compactos (es decir, Z -módulos). El anillo de enteros p -ádicos para cada primo p es algebraicamente compacto como módulo sobre sí mismo y como módulo sobre Z. Los números racionales son algebraicamente compactos como Z -módulo. Junto con los módulos finitos indescomponibles sobre Z , esta es una lista completa de módulos indescomponibles algebraicamente compactos.

Muchos módulos algebraicamente compactos pueden generarse utilizando el cogenerador inyectivo Q / Z de grupos abelianos. Si H es un módulo derecho sobre el anillo R , se forma el módulo de caracteres (algebraico) H * que consta de todos los homomorfismos de grupo de H a Q / Z. Este es entonces un R -módulo izquierdo, y la operación * produce un functor contravariante fiel de R- módulos derechos a R -módulos izquierdos. Todo módulo de la forma H * es algebraicamente compacto. Además, existen homomorfismos inyectivos puros H → H **, naturales en H. A menudo se puede simplificar un problema aplicando primero el functor *, ya que los módulos algebraicamente compactos son más fáciles de manejar.

La siguiente condición es equivalente a que M sea algebraicamente compacto:

• Para cada conjunto de índices I , el mapa de adición M ^(I) → M puede extenderse a un homomorfismo de módulos M ^I → M (donde M ^(I) denota la suma directa de copias de M , una para cada elemento de I ; M ^I denota el producto de copias de M , una para cada elemento de I ).

Todo módulo algebraicamente compacto indescomponible tiene un anillo de endomorfismos locales .

Los módulos algebraicamente compactos comparten muchas otras propiedades con los objetos inyectivos debido a lo siguiente: existe una incrustación de R -Mod en una categoría de Grothendieck G bajo la cual los R -módulos algebraicamente compactos corresponden precisamente a los objetos inyectivos en G.

Todo R -módulo es elementalmente equivalente a un R- módulo algebraicamente compacto y a una suma directa de R- módulos algebraicamente compactos indescomponibles . ^{[ 1 ]}

• CU Jensen y H. Lenzing: Álgebra de teoría de modelos , Gordon and Breach, 1989