Medidas de impulso

En la teoría de la medida , una medida de avance (también conocida como medida de avance , de avance o de imagen ) se obtiene transfiriendo ("avanzando") una medida de un espacio medible a otro utilizando una función medible .

Dados los espacios medibles${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$y${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$, una función medible${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$y una medida${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$, el impulso hacia adelante de${\displaystyle \mu }$por${\displaystyle f}$se define como la medida${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$dado por

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$para${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

Esta definición se aplica mutatis mutandis para una medida con signo o compleja . La medida pushforward también se denota como${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$,${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$,${\displaystyle f\sharp \mu }$, o${\displaystyle f\#\mu }$.

• Si${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$es un espacio de probabilidad ,${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$es un espacio mensurable y${\displaystyle X:\Omega \to E}$es un${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$variable aleatoria con valor , entonces la distribución de probabilidad de${\displaystyle X}$es la medida de impulso hacia adelante de${\displaystyle P}$por${\displaystyle X}$sobre${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$.
• Una medida de Lebesgue ^natural en el círculo unitario S₁ (considerado aquí como un subconjunto del plano complejo C ) puede definirse mediante una construcción de empuje y la medida de Lebesgue λ en la recta real R. Sea λ la restricción de la medida de Lebesgue al intervalo [0, 2π) y sea f: [0, 2π ) → S₁ la biyección natural definida por f ( t ) = exp ( it ) ^. La medida de Lebesgue natural en S₁ es entonces la medida de empuje f _* ( λ ). Esta medida también puede denominarse " ^{medida de} _longitud de arco " o "medida de ángulo", ya que la medida f _* ⁽ λ ) de un arco en S₁ es precisamente su longitud de arco (o, equivalentemente, el ángulo que subtiende en el centro del círculo).         
• El ejemplo anterior se extiende perfectamente para dar una "medida de Lebesgue" natural en el toro n -dimensional T ⁿ . El ejemplo anterior es un caso especial, ya que S ¹ = T ¹ . Esta medida de Lebesgue en T ⁿ es, salvo normalización, la medida de Haar para el grupo de Lie compacto y conexo T ⁿ .  
• Las medidas gaussianas en espacios vectoriales de dimensión infinita se definen utilizando la proyección directa y la medida gaussiana estándar en la recta real: una medida de Borel γ en un espacio de Banach separable X se llama gaussiana si la proyección directa de γ por cualquier funcional lineal no nulo en el espacio dual continuo a X es una medida gaussiana en R.
• Consideremos una función medible f  : X → X y la composición de f consigo misma n veces:

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

Esta función iterada forma un sistema dinámico . A menudo es de interés en el estudio de tales sistemas encontrar una medida μ en X que la aplicación f deje sin cambios, una medida denominada invariante , es decir, una para la cual f _∗ ( μ )  = μ . 

• También se pueden considerar medidas cuasi-invariantes para dicho sistema dinámico: una medida${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle (X,\Sigma )}$se denomina cuasi-invariante bajo${\displaystyle f}$si el impulso hacia adelante de${\displaystyle \mu }$por${\displaystyle f}$es simplemente equivalente a la medida original μ , no necesariamente igual a ella. Un par de medidas${\displaystyle \mu ,\nu }$en el mismo espacio son equivalentes si y solo si${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0} , entonces${\displaystyle \mu }$es cuasi-invariante bajo${\displaystyle f}$si${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}

• Muchas distribuciones de probabilidad naturales, como la distribución chi , pueden obtenerse mediante esta construcción.

• Las variables aleatorias inducen medidas de propagación. Transforman un espacio de probabilidad en un espacio de codominio y dotan a dicho espacio de una medida de probabilidad definida por la propagación. Además, dado que las variables aleatorias son funciones (y, por lo tanto, funciones totales), la imagen inversa de todo el codominio es todo el dominio, y la medida de todo el dominio es 1, por lo que la medida de todo el codominio es 1. Esto significa que las variables aleatorias pueden componerse hasta el infinito y siempre seguirán siendo variables aleatorias, dotando a los espacios de codominio de medidas de probabilidad.

En general, cualquier función medible puede transformarse en un operador lineal , conocido como operador de transferencia o operador de Frobenius-Perron . En espacios finitos, este operador suele satisfacer las condiciones del teorema de Frobenius-Perron , y su valor propio máximo corresponde a la medida invariante.

El adjunto del push-forward es el pullback ; como operador en espacios de funciones en espacios medibles, es el operador de composición u operador de Koopman .

• Sistema dinámico que conserva la medida
• Flujo normalizador
• Transporte óptimo

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Teoría de la medida , Berlín: Springer Verlag , ISBN 9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Temas de análisis real y funcional