Árbol de Pitágoras (fractal)

El árbol de Pitágoras es un fractal plano construido a partir de cuadrados . Inventado por el profesor de matemáticas holandés Albert E. Bosman en 1942, ^{[ 1 ]} recibe su nombre del antiguo matemático griego Pitágoras porque cada trío de cuadrados contiguos encierra un triángulo rectángulo , en una configuración utilizada tradicionalmente para representar el teorema de Pitágoras . Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L × L , todo el árbol de Pitágoras cabe perfectamente dentro de una caja de tamaño 6 L × 4 L. ^{[ 2 ] [ 3} ] Los detalles más finos del árbol se asemejan a la curva C de ^Lévy .    

La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado . Sobre este cuadrado se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$, de modo que las esquinas de los cuadrados coincidan de dos en dos. El mismo procedimiento se aplica luego recursivamente a los dos cuadrados más pequeños, ad infinitum . La ilustración a continuación muestra las primeras iteraciones del proceso de construcción. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Este es el triángulo simétrico más simple. Alternativamente, los lados del triángulo son recursivamente iguales en proporción, lo que implica que los lados son proporcionales a la raíz cuadrada de la proporción áurea inversa, y las áreas de los cuadrados guardan proporción áurea.

La iteración n en la construcción agrega 2 ⁿ cuadrados de área${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{n}}}}$, para un área total de 1. Por lo tanto, el área del árbol podría parecer crecer sin límite cuando n  →  ∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la iteración de orden 5, y el árbol en realidad tiene un área finita porque cabe dentro de una caja de 6 × 4. ^{[ 2 ]}

Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango 5  < A < 18, que se puede acotar aún más con un esfuerzo adicional. Utilizando un autómata ω , se calculó que el área A es un número racional aproximadamente igual a 14,6133694787, con un numerador y un denominador de más de cien dígitos cuando se reduce a su forma más simple. ^{[ 4 ]}   

Se puede construir un conjunto interesante de variaciones manteniendo un triángulo isósceles pero cambiando el ángulo de la base (90 grados para el árbol de Pitágoras estándar). En particular, cuando el semiángulo de la base se establece en (30°) = arcsin(0,5), se observa fácilmente que el tamaño de los cuadrados permanece constante. La primera superposición ocurre en la cuarta iteración. El patrón general resultante es el teselado rombitrihexagonal , una matriz de hexágonos bordeados por los cuadrados constructores.

En el límite donde el semiángulo es de 90 grados, obviamente no hay superposición, y el área total es el doble del área del cuadrado base.

El árbol de Pitágoras fue construido por primera vez por Albert E. Bosman (1891–1961), un profesor de matemáticas holandés , en 1942. ^{[ 2 ] [ 5 ]}

• Curva C de Lévy

• Galería de árboles de Pitágoras
• Árbol de Pitágoras rellenado usando VB6 por Edward Bole (Boleeman)
• Árbol de Pitágoras rizado por Edward Bole (Lazarus src)
• Generador interactivo con código
• "Árbol de Pitágoras con diferentes geometrías y también en 3D" . Archivado del original el 15 de enero de 2008.
• Árbol de Pitágoras creado por Enrique Zeleny, basado en un programa de Eric W. Weisstein , del Proyecto de Demostraciones de Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Árbol de Pitágoras" . MathWorld .
• Árbol de Pitágoras tridimensional
• Script de MatLab para generar el árbol de Pitágoras.
• Construcción paso a paso en el software de realidad virtual Neotrie VR.
• Pourahmadazar, J.; Ghobadi, C.; Nourinia, J. (2011). "Nuevas antenas monopolo fractales de árbol pitagórico modificado para aplicaciones UWB". IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters . 10. Nueva York: IEEE: 484–487 . Bibcode : 2011IAWPL..10..484P . doi : 10.1109/LAWP.2011.2154354 .