cuádruple pitagórico

Una cuádrupla pitagórica es una tupla de enteros a , b , c y d , tal que a² + b² + ^c² = ^{d² .} Son soluciones de una ecuación diofántica y , a menudo ^, solo se consideran valores enteros positivos. ^{[ 1 ]} Sin embargo, para proporcionar una interpretación geométrica más completa, se puede permitir que los valores enteros sean negativos y cero (lo que permite incluir ternas pitagóricas ) con la única condición de que d > 0. En este contexto, una cuádrupla pitagórica ( a , b , c , d ) define un cuboide con longitudes de lado enteras | a | , | b | y | c | , cuya diagonal espacial tiene longitud entera d ; con esta interpretación, las cuádruplas pitagóricas también se denominan cajas pitagóricas . ^{[ 2 ]} En este artículo asumiremos, a menos que se indique lo contrario, que los valores de una cuádrupla pitagórica son todos enteros positivos.

Una cuádrupla pitagórica se llama primitiva si el máximo común divisor de sus entradas es 1. Toda cuádrupla pitagórica es un múltiplo entero de una cuádrupla primitiva. El conjunto de cuádruplas pitagóricas primitivas para las cuales a es impar se puede generar mediante las fórmulas $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},\\b&=2(mq+np),\\c&=2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},\end{aligned}}}$$ donde m , n , p , q son enteros no negativos con máximo común divisor 1 tales que m + n + p + q es impar. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 1 ]} Por lo tanto, todas las cuádruplas pitagóricas primitivas se caracterizan por la identidad $${\displaystyle (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.}$$

Todas las cuádruplas pitagóricas (incluidas las no primitivas y con repetición, aunque a , b y c no aparecen en todos los órdenes posibles) se pueden generar a partir de dos enteros positivos a y b de la siguiente manera:

Si a y b tienen paridad diferente , sea p cualquier factor de a² + b² tal que p² < ^a² + b² . Entonces c = ( ^{a² +} b² − ^{p² )} / 2p y d = ( a² ⁺ b² + ^{p² )} / ^2p . Nótese que p = d − c .​^​​^​​

Existe un método similar ^{[ 5 ]} para generar todas las cuádruplas pitagóricas para las cuales a y b son pares. Sea l = a / 2 y m = b / 2 , y sea n un factor de l² + m² tal que n² ^< l² + m² . Entonces c = ^{l² +} m² − n² / n y d ⁼ l² + m² + n² / n . Este ^método genera ^todas las cuádruplas pitagóricas ^exactamente una ^vez cada una ^cuando l y ^m recorren todos los pares de números naturales y n recorre ^todos los valores permitidos para cada par .

No existe tal método si tanto a como b son impares, en cuyo caso no existen soluciones, como puede verse en la parametrización de la sección anterior.

El número más grande que siempre divide al producto abcd es 12. ^{[ 6 ]} El cuádruple con el producto mínimo es (1, 2, 2, 3).

Dado un cuádruple pitagórico${\displaystyle (a,b,c,d)}$dónde${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$entonces${\displaystyle d}$puede definirse como la norma de la cuádruple en que${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$y es análoga a la hipotenusa de una terna pitagórica.

De los 3 términos de una cuádrupla pitagórica primitiva que no son la norma, exactamente uno siempre será impar y los otros dos serán pares. Por consiguiente, la norma tiene que ser impar. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Todo número positivo impar distinto de 1 y 5 puede ser la norma de una cuádrupla pitagórica primitiva.${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$de tal manera que${\displaystyle a,b,c}$son mayores que cero y son coprimos. ^{[ 9 ]} Todas las cuádruplas pitagóricas primitivas con los números impares como normas hasta 29, excepto 1 y 5, se dan en la tabla siguiente.

De forma similar a una terna pitagórica que genera un triángulo rectángulo distinto, una cuádrupla pitagórica generará un triángulo herónico distinto . ^{[ 10 ]} Si a , b , c , d es una cuádrupla pitagórica con${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$Generará un triángulo heroniano con lados x , y , z de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=d^{2}-a^{2}\\y&=d^{2}-b^{2}\\z&=d^{2}-c^{2}\end{aligned}}}$$ Tendrá un semiperímetro${\textstyle s=d^{2}}$, un área${\textstyle A=abcd}$y un radio interno${\textstyle r=abc/d}$.

Los radios extrínsecos serán: $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{x}&=bcd/a,\\r_{y}&=acd/b,\\r_{z}&=abd/c.\end{aligned}}}$$ El radio de la circunferencia circunscrita será: $${\displaystyle R={\frac {(d^{2}-a^{2})(d^{2}-b^{2})(d^{2}-c^{2})}{4abcd}}={\frac {abcd(1/a^{2}+1/b^{2}+1/c^{2}-1/d^{2})}{4}}}$$

La secuencia ordenada de áreas de esta clase de triángulos heronianos se puede encontrar en (secuencia A367737 en el OEIS ) .

Una cuádrupla pitagórica primitiva ( a , b , c , d ) parametrizada por ( m , n , p , q ) corresponde a la primera columna de la representación matricial E ( α ) de conjugación α (⋅) α por el cuaternión de Hurwitz α = m + ni + pj + qk restringido al subespacio de cuaterniones generado por i , j , k , que viene dado por $${\displaystyle E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},}$$ donde las columnas son ortogonales por pares y cada una tiene norma d . Además, tenemos que 1 / d E ( α ) pertenece al grupo ortogonal .${\displaystyle SO(3,\mathbb {Q} )}$y, de hecho, todas las matrices ortogonales de 3 × 3 con coeficientes racionales surgen de esta manera. ^{[ 11 ]}

Existen 31 cuádruplas pitagóricas primitivas en las que todas las entradas son menores de 30.

• Conjetura de Beal
• Ladrillo de Euler
• Conjetura de Euler sobre la suma de potencias
• Fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones en 3D
• Fermat cúbico
• ecuación de Jacobi-Madden
• Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange (todo número natural puede representarse como la suma de cuatro cuadrados enteros).
• El teorema de los tres cuadrados de Legendre (que establece que los números naturales no pueden representarse como la suma de tres cuadrados de números enteros).
• Problema de Prouhet-Tarry-Escott
• Cuaterniones y rotación espacial
• Número de taxi

• Weisstein, Eric W. "Cuádruple pitagórico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "La identidad de Lebesgue" . MathWorld .
• Carmichael. Análisis diofántico en el Proyecto Gutenberg.