q - Identidad de Vandermonde

En matemáticas , en el campo de la combinatoria , la identidad q -Vandermonde es un análogo q de la identidad de Chu-Vandermonde . Utilizando la notación estándar para coeficientes q -binomiales , la identidad establece que

${\displaystyle {\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}=\sum _{j}{\binom {m}{kj}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}q^{j(m-k+j)}.}$

Las contribuciones no nulas a esta suma provienen de valores de j tales que los coeficientes q -binomiales del lado derecho no son nulos, es decir, max(0, k − m ) ≤ j ≤ min( n , k ).

Como es típico para los q -análogos, la identidad q -Vandermonde se puede reescribir de varias maneras. En las convenciones comunes en las aplicaciones a grupos cuánticos , se utiliza un coeficiente q -binomial diferente . Este coeficiente q -binomial, que denotamos aquí por${\displaystyle B_{q}(n,k)}$, se define por

${\displaystyle B_{q}(n,k)=q^{-k(nk)}{\binom {n}{k}}_{\!\!q^{2}}.}$

En particular, es el desplazamiento único del coeficiente q -binomial "usual" por una potencia de q tal que el resultado es simétrico en q y${\displaystyle q^{-1}}$. Utilizando este coeficiente q -binomial, la identidad q -Vandermonde se puede escribir de la forma

${\displaystyle B_{q}(m+n,k)=q^{nk}\sum _{j}q^{-(m+n)j}B_{q}(m,kj)B_{q}(n,j).}$

Al igual que con la identidad de Chu-Vandermonde (no q ), existen varias demostraciones posibles de la identidad de q -Vandermonde. La siguiente demostración utiliza el teorema del q -binomial .

Una prueba estándar de la identidad de Chu-Vandermonde es expandir el producto${\displaystyle (1+x)^{m}(1+x)^{n}}$de dos maneras diferentes. Siguiendo a Stanley, ^{[ 1 ]} podemos modificar esta demostración para probar también la identidad q -Vandermonde. Primero, observemos que el producto

${\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)}$

puede expandirse mediante el teorema q- binomial como

${\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\sum _{k}q^{\frac {k(k-1)}{2}}{\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}x^{k}.}$

Menos obvio es que podemos escribir

${\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\left((1+x)\cdots (1+q^{m-1}x)\right)\left(\left(1+(q^{m}x)\right)\left(1+q(q^{m}x)\right)\cdots \left(1+q^{n-1}(q^{m}x)\right)\right)}$

y podemos expandir ambos subproductos por separado utilizando el teorema q -binomial. Esto produce

${\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\left(\sum _{i}q^{\frac {i(i-1)}{2}}{\binom {m}{i}}_{\!\!q}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}q^{mi+{\frac {i(i-1)}{2}}}{\binom {n}{i}}_{\!\!q}x^{i}\right).}$

Al multiplicar este último producto y combinar términos semejantes se obtiene

${\displaystyle \sum _{k}\sum _{j}\left(q^{j(m-k+j)+{\frac {k(k-1)}{2}}}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}\right)x^{k}.}$

Finalmente, igualando potencias de${\displaystyle x}$La combinación de ambas expresiones produce el resultado deseado.

Este argumento también puede formularse en términos de expansión del producto.${\displaystyle (A+B)^{m}(A+B)^{n}}$de dos maneras diferentes, donde A y B son operadores (por ejemplo, un par de matrices) que " q- conmutan", es decir, que satisfacen BA = qAB .

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