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Articulo de referencia

Distribución q -Weibull

q [[shape parameter|shape]] ([[Real number|real]]) \\lambda > 0 [[rate parameter|rate]] ([[Real number|real]]) \\kappa>0\\, [[shape parameter|shape]] (real)"},"support":{"wt":" ...

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En estadística, la distribución q -Weibull es una distribución de probabilidad que generaliza la distribución de Weibull y la distribución de Lomax (Pareto Tipo II). Es un ejemplo de distribución de Tsallis .

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria q -Weibull es: [ 1 ]

F(incógnita;q,λ,κ)={(2−q)κλ(incógnitaλ)κ−1miq(−(incógnita/λ)κ)incógnita≥0,0incógnita<0,{\displaystyle f(x;q,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\kappa -1}e_{q}(-(x/\lambda )^{\kappa })&x\geq 0,\\0&x<0,\end{casos}}}

donde q < 2,κ{\displaystyle \kappa }> 0 son parámetros de forma y λ > 0 es el parámetro de escala de la distribución y

miq(incógnita)={exp⁡(incógnita)si q=1,[1+(1−q)incógnita]1/(1−q)si q≠1 y 1+(1−q)incógnita>0,01/(1−q)si q≠1 y 1+(1−q)incógnita≤0,{\displaystyle e_{q}(x)={\begin{cases}\exp(x)&{\text{si }}q=1,\\[6pt][1+(1-q)x]^{1/(1-q)}&{\text{si }}q\neq 1{\text{ y }}1+(1-q)x>0,\\[6pt]0^{1/(1-q)}&{\text{si }}q\neq 1{\text{ y }}1+(1-q)x\leq 0,\\[6pt]\end{cases}}}

es la q -exponencial [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria q -Weibull es:

{1−miq′−(incógnita/λ′)κincógnita≥00incógnita<0{\displaystyle {\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}

dónde

λ′=λ(2−q)1κ{\displaystyle \lambda '={\lambda \over (2-q)^{1 \over \kappa }}}
q′=1(2−q){\displaystyle q'={1 \over (2-q)}}

Significar

La media de la distribución q -Weibull es

μ(q,κ,λ)={λ(2+11−q+1κ)(1−q)−1κB[1+1κ,2+11−q]q<1λΓ(1+1κ)q=1λ(2−q)(q−1)−1+κκB[1+1κ,−(1+1q−1+1κ)]1<q<1+1+2κ1+κ∞1+κκ+1≤q<2{\displaystyle \mu (q,\kappa ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \,\left(2+{\frac {1}{1-q}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)(1-q)^{-{\frac {1}{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},2+{\frac {1}{1-q}}\right]&q<1\\\lambda \,\Gamma (1+{\frac {1}{\kappa }})&q=1\\\lambda \,(2-q)(q-1)^{-{\frac {1+\kappa }{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},-\left(1+{\frac {1}{q-1}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)\right]&1<q<1+{\frac {1+2\kappa }{1+\kappa }}\\\infty &1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}}\leq q<2\end{cases}}}

dóndeB(){\displaystyle B()}es la función Beta yΓ(){\displaystyle \Gamma ()}es la función Gamma . La expresión para la media es una función continua de q en el rango de definición para el cual es finita.

Relación con otras distribuciones

La q -Weibull es equivalente a la distribución Weibull cuando q = 1 y equivalente a la q -exponencial cuandoκ=1{\displaystyle \kappa =1}

La distribución q -Weibull es una generalización de la distribución Weibull, ya que extiende esta distribución a los casos de soporte finito ( q < 1) e incluye distribuciones de cola pesada.(q≥1+κκ+1){\displaystyle (q\geq 1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}})}.

La q -Weibull es una generalización de la distribución de Lomax (Pareto Tipo II), ya que extiende esta distribución a los casos de soporte finito y agrega laκ{\displaystyle \kappa }parámetro. Los parámetros de Lomax son:

α=2−qq−1 , λLomax=1λ(q−1){\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}}~,~\lambda _{\text{Lomax}}={1 \over {\lambda (q-1)}}}

Como la distribución de Lomax es una versión desplazada de la distribución de Pareto , la q -Weibull paraκ=1{\displaystyle \kappa =1}es una generalización reparametrizada desplazada de la distribución de Pareto. Cuando q > 1, la q -exponencial es equivalente a la distribución de Pareto desplazada para que su soporte comience en cero. Específicamente:

Si incógnita∼q-Wmiibtúll⁡(q,λ,κ=1) y Y∼[Pareto⁡(incógnitametro=1λ(q−1),α=2−qq−1)−incógnitametro], entonces incógnita∼Y{\displaystyle {\text{Si }}X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Weibull} (q,\lambda ,\kappa =1){\text{ y }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={1 \over {\lambda (q-1)}},\alpha ={{2-q} \over {q-1}}\right)-x_{m}\right],{\text{ entonces }}X\sim Y\,}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Picoli, S. Jr.; Mendes, RS; Malacarne, LC (2003). " Distribuciones q -exponenciales, Weibull y q -Weibull: un análisis empírico". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 324 (3): 678– 688. arXiv : cond-mat/0301552 . Bibcode : 2003PhyA..324..678P . doi : 10.1016/S0378-4371(03)00071-2 . S2CID 119361445 . 
  2. ↑ Naudts, Jan (2010). "La familia q -exponencial en física estadística". Journal of Physics: Conference Series . 201 (1) 012003. arXiv : 0911.5392 . Bibcode : 2010JPhCS.201a2003N . doi : 10.1088/1742-6596/201/1/012003 . S2CID 119276469 . 
  3. ↑ Umarov, Sabir; Tsallis, Constantino; Steinberg, Stanly (2008). "Sobre un teorema del límite central q consistente con la mecánica estadística no extensiva" (PDF) . Milan Journal of Mathematics . 76 : 307–328 . doi : 10.1007/s00032-008-0087-y . S2CID 55967725. Archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016. Recuperado el 9 de junio de 2014 .