Descomposición de Schur

En álgebra lineal , la descomposición de Schur o triangulación de Schur , que recibe su nombre de Issai Schur , es una descomposición matricial . Permite escribir una matriz cuadrada compleja arbitraria como unitariamente similar a una matriz triangular superior cuyos elementos diagonales son los valores propios de la matriz original.

La descomposición de Schur compleja se lee de la siguiente manera: si A es una matriz cuadrada n × n con entradas complejas , entonces A se puede expresar como ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle A=QUQ^{-1}}$$ para alguna matriz unitaria Q (de modo que la inversa Q ⁻¹ sea también la transpuesta conjugada Q * de Q ), y alguna matriz triangular superior U . Esto se llama una forma de Schur de A . Como U es similar a A , tiene el mismo espectro , y como es triangular, sus valores propios son las entradas diagonales de U .

La descomposición de Schur implica que existe una secuencia anidada de subespacios A -invariantes {0} = V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ⋯ ⊂ V _n = C ⁿ , y que existe una base ortonormal ordenada (para la forma hermitiana estándar de C ⁿ ) tal que los primeros i vectores base generan V _i para cada i que aparece en la secuencia anidada. Dicho de forma algo diferente, la primera parte dice que un operador lineal J en un espacio vectorial complejo de dimensión finita estabiliza una bandera completa ( V ₁ , ..., V _n ) .

También existe una descomposición de Schur real. Si A es una matriz cuadrada n × n con entradas reales , entonces A se puede expresar como ^{[ 4 ].}$${\displaystyle A=QHQ^{-1}}$$donde Q es una matriz ortogonal y H es cuasi-triangular superior o inferior. Una matriz cuasi-triangular es una matriz que, cuando se expresa como una matriz de bloques de 2 × 2 y 1 × 1 , es triangular. Esta es una propiedad más fuerte que ser de Hessenberg . Al igual que en el caso complejo, una familia de matrices reales conmutativas { A _i } puede transformarse simultáneamente en una forma cuasi-triangular mediante una matriz ortogonal. Existe una matriz ortogonal Q tal que, para cada A _i en la familia dada, $${\displaystyle H_{i}=QA_{i}Q^{-1}}$$ es cuasi triangular superior.

Una demostración constructiva de la descomposición de Schur es la siguiente: todo operador A en un espacio vectorial complejo de dimensión finita tiene un valor propio λ , que corresponde a algún espacio propio V _λ . Sea V _λ ^⊥ su complemento ortogonal. Es evidente que, con respecto a esta descomposición ortogonal, A tiene una representación matricial (aquí se pueden elegir cualesquiera bases ortonormales Z ₁ y Z ₂ que generen V _λ y V _λ ^⊥ respectivamente). $${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}$$ donde I _λ es el operador identidad en V _λ . La matriz anterior sería triangular superior excepto por el bloque A _22. Pero exactamente el mismo procedimiento puede aplicarse a la submatriz A ₂₂ , vista como un operador en V _λ ^⊥ , y sus submatrices. Continúe de esta manera hasta que la matriz resultante sea triangular superior. Dado que cada conjugación aumenta la dimensión del bloque triangular superior en al menos uno, este proceso toma como máximo n pasos. Por lo tanto, el espacio C ⁿ se agotará y el procedimiento habrá producido el resultado deseado. ^{[ 5 ]}

El argumento anterior se puede reformular ligeramente de la siguiente manera: sea λ un autovalor de A , correspondiente a algún autoespacio V _λ . A induce un operador T en el espacio cociente C ⁿ / V _λ . Este operador es precisamente la submatriz A ₂₂ mencionada anteriormente. Como antes, T tendría un autoespacio, digamos W _μ ⊂ C ⁿ módulo V _λ . Nótese que la preimagen de W _μ bajo la aplicación cociente es un subespacio invariante de A que contiene V _λ . Continúe de esta manera hasta que el espacio cociente resultante tenga dimensión 0. Entonces, las sucesivas preimágenes de los autoespacios encontrados en cada paso forman una bandera que A estabiliza.

Aunque toda matriz cuadrada tiene una descomposición de Schur, en general esta descomposición no es única. Por ejemplo, el espacio propio V _λ puede tener dimensión > 1, en cuyo caso cualquier base ortonormal para V _λ conduciría al resultado deseado.

Escribimos la matriz triangular U como U = D + N , donde D es diagonal y N es estrictamente triangular superior (y, por lo tanto, una matriz nilpotente ). La matriz diagonal D contiene los autovalores de A en orden arbitrario (por lo tanto, su norma de Frobenius al cuadrado es la suma de los módulos al cuadrado de los autovalores de A , mientras que la norma de Frobenius de A al cuadrado es la suma de los valores singulares al cuadrado de A ). La parte nilpotente N tampoco suele ser única, pero su norma de Frobenius está determinada unívocamente por A (simplemente porque la norma de Frobenius de A es igual a la norma de Frobenius de U = D + N ). ^{[ 6 ]}

Es evidente que si A es una matriz normal , entonces U, obtenida mediante su descomposición de Schur, debe ser una matriz diagonal y los vectores columna de Q son los autovectores de A. Por lo tanto, la descomposición de Schur extiende la descomposición espectral . En particular, si A es definida positiva , la descomposición de Schur de A , su descomposición espectral y su descomposición en valores singulares coinciden.

Una familia conmutativa { A _i } de matrices puede triangularizarse simultáneamente, es decir, existe una matriz unitaria Q tal que, para cada A _i en la familia dada, QA _i Q* es triangular superior. Esto se puede deducir fácilmente de la demostración anterior. Tomemos el elemento A de { A _i } y consideremos nuevamente un espacio propio V _A . Entonces V _A es invariante bajo todas las matrices en { A _i }. Por lo tanto, todas las matrices en { A _i } deben compartir un vector propio común en V _A . La inducción demuestra entonces la afirmación. Como corolario, tenemos que toda familia conmutativa de matrices normales puede diagonalizarse simultáneamente .

En el contexto de dimensión infinita, no todo operador acotado en un espacio de Banach posee un subespacio invariante. Sin embargo, la triangularización superior de una matriz cuadrada arbitraria se generaliza a operadores compactos . Todo operador compacto en un espacio de Banach complejo posee un conjunto de subespacios invariantes cerrados.

La descomposición de Schur de una matriz dada se calcula numéricamente mediante el algoritmo QR o sus variantes. En otras palabras, las raíces del polinomio característico correspondiente a la matriz no necesariamente se calculan previamente para obtener su descomposición de Schur. Por el contrario, el algoritmo QR puede utilizarse para calcular las raíces de cualquier polinomio característico dado hallando la descomposición de Schur de su matriz compañera . De manera similar, el algoritmo QR se utiliza para calcular los autovalores de cualquier matriz dada, que son las entradas diagonales de la matriz triangular superior de la descomposición de Schur. Su complejidad es${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Las aplicaciones de la teoría de la mentira incluyen:

• Todo operador invertible está contenido en un grupo de Borel .
• Cada operador fija un punto de la variedad de banderas .

Dadas las matrices cuadradas A y B , la descomposición generalizada de Schur factoriza ambas matrices como${\displaystyle A=QSZ^{*}}$y${\displaystyle B=QTZ^{*}}$donde Q y Z son unitarias , y S y T son triangulares superiores . La descomposición generalizada de Schur también se denomina a veces descomposición QZ . ^{[ 2 ] : 375 [ 9 ]}

Los valores propios generalizados${\displaystyle \lambda }$que resuelven el problema generalizado de valores propios${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x} }$(donde x es un vector no nulo desconocido) se puede calcular como la razón de los elementos diagonales de S a los de T. Es decir, usando subíndices para denotar los elementos de la matriz, el i -ésimo valor propio generalizado${\displaystyle \lambda _{i}}$Satisface${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$.