Tensor Q

En física,${\displaystyle \mathbf {Q} }$El tensor es un parámetro de orden orientacional que describe cristales líquidos nemáticos uniaxiales y biaxiales y se anula en la fase líquida isotrópica . ^{[ 1 ]} El${\displaystyle \mathbf {Q} }$El tensor es un tensor simétrico , sin traza y de segundo orden , y se define mediante ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ].}

${\displaystyle \mathbf {Q} =S\left(\mathbf {n} \otimes \mathbf {n} -{\tfrac {1}{3}}\mathbf {I} \right)+R\left(\mathbf {m} \otimes \mathbf {m} -{\tfrac {1}{3}}\mathbf {I} \right)}$

dónde${\displaystyle S=S(T)}$y${\displaystyle R=R(T)}$son parámetros de orden escalar,${\displaystyle (\mathbf {n},\mathbf {m})}$son los dos directores de la fase nemática y${\displaystyle T}$es la temperatura ; en cristales líquidos uniaxiales,${\displaystyle R=0}$Los componentes del tensor son

${\displaystyle Q_{ij}=S\left(n_{i}n_{j}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\right)+R\left(m_{i}m_{j}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\right)}$

Los estados con directores${\displaystyle \mathbf {n} }$y${\displaystyle -\mathbf {n} }$son físicamente equivalentes y de manera similar los estados con directores${\displaystyle \mathbf {m} }$y${\displaystyle -\mathbf {m} }$son físicamente equivalentes.

El${\displaystyle \mathbf {Q} }$-el tensor siempre se puede diagonalizar,

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}2S-R&0&0\\0&2R-S&0\\0&0&-SR\\\end{bmatrix}}}$

Los siguientes son los dos invariantes de la${\displaystyle \mathbf {Q} }$tensor,

${\displaystyle \mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{2}=Q_{ij}Q_{ji}={\frac {2}{3}}(S^{2}-SR+R^{2}),\quad \mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{3}=Q_{ij}Q_{jk}Q_{ki}={\frac {1}{9}}[2(S^{3}+R^{3})-3SR(S+R)];}$

el invariante de primer orden${\displaystyle \mathrm {tr} \,\mathbf {Q} =Q_{ii}=0}$es trivial aquí. Se puede demostrar que${\displaystyle (\mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{2})^{3}\geq 6(\mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{3})^{2}.}$La medida de biaxialidad del cristal líquido se mide comúnmente a través del parámetro

${\displaystyle \beta =1-6{\frac {(\mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{3})^{2}}{(\mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{2})^{3}}}={\frac {27S^{2}R^{2}(SR)^{2}}{4(S^{2}-SR+R^{2})^{3}}}.}$

En cristales líquidos nemáticos uniaxiales,${\displaystyle R=0}$y por lo tanto el${\displaystyle \mathbf {Q} }$-tensor se reduce a

${\displaystyle \mathbf {Q} =S\left(\mathbf {n} \mathbf {n} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right).}$

El parámetro de orden escalar se define de la siguiente manera. Si${\displaystyle \theta _ {\mathrm {mol} }}$representa el ángulo entre el eje de una molécula nemática y el eje director.${\displaystyle \mathbf {n} }$, entonces ^{[ 2 ]}

${\displaystyle S=\langle P_{2}(\cos \theta _{\mathrm {mol} })\rangle ={\frac {1}{2}}\langle 3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {mol} }-1\rangle ={\frac {1}{2}}\int (3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {mol} }-1)f(\theta _{\mathrm {mol} })d\Omega }$

dónde${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$denota el promedio de conjunto de los ángulos de orientación calculados con respecto a la función de distribución.${\ Displaystyle f (\ theta _ {\ mathrm {mol}})}$y${\displaystyle d\Omega =\sin \theta _{\mathrm {mol} }d\theta _{\mathrm {mol} }d\phi _{\mathrm {mol} }}$es el ángulo sólido . La función de distribución debe necesariamente satisfacer la condición${\displaystyle f(\theta _{\mathrm {mol} }+\pi )=f(\theta _{\mathrm {mol} })}$ya que los directores${\displaystyle \mathbf {n} }$y${\displaystyle -\mathbf {n} }$son físicamente equivalentes.

El rango para${\displaystyle S}$es dado por${\displaystyle -1/2\leq S\leq 1}$, con${\displaystyle S=1}$representando la alineación perfecta de todas las moléculas a lo largo del director y${\displaystyle S=0}$representando la alineación aleatoria completa (isotrópica) de todas las moléculas con respecto al director;${\displaystyle S=-1/2}$Este caso indica que todas las moléculas están alineadas perpendicularmente al eje director, aunque tales nemáticos son raros o difíciles de sintetizar.

• Teoría de Landau-de Gennes