Función cuadrática

En matemáticas , una función cuadrática de una sola variable es una función de la forma ^{[ 1 ].} $f(x)=ax^{2}+bx+c$ con $a\neq 0$ , donde $x$ es su variable, y $a$ , $b$ y $c$ son coeficientes . La expresión $\textstyle hacha^{2}+bx+c$ ⁠ , especialmente cuando se trata como un objeto en sí mismo en lugar de como una función, es un polinomio cuadrático , un polinomio de grado dos. En matemáticas elementales, rara vez se distingue entreun polinomio y su función polinómica asociada, y los términos función cuadrática y polinomio cuadrático son casi sinónimos y a menudo se abrevian como cuadrático .

Un polinomio cuadrático con dos raíces reales (puntos de intersección con el eje $x$ ).

La gráfica de una función cuadrática real de una sola variable es una parábola . Si una función cuadrática se iguala a cero, el resultado es una ecuación cuadrática . Las soluciones de una ecuación cuadrática son las raíces de la función cuadrática correspondiente, de las cuales puede haber dos, una o ninguna. Las soluciones se describen mediante la fórmula cuadrática .

Un polinomio cuadrático o función cuadrática puede involucrar más de una variable. Por ejemplo, una función cuadrática de dos variables de variables ⁠ $x$ y $y$ tiene la forma

f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,

con al menos uno de ⁠ $a$ , $b$ y $c$ ⁠ distinto de cero. En general, los ceros de dicha función cuadrática describen una sección cónica (un círculo u otra elipse , una parábola o una hipérbola ) en el ⁠ $x$ – $y$ Plano. Una función cuadrática puede tener un número arbitrariamente grande de variables. El conjunto de sus ceros forma una cuádrica , que es una superficie en el caso de tres variables y una hipersuperficie en el caso general.

Etimología

El adjetivo cuadrático proviene de la palabra latina quadrātum (" cuadrado "). Un término elevado a la segunda potencia como ⁠ $\textstyle x^{2}$ ⁠ se llama cuadrado en álgebra porque es el área de un cuadrado con lado ⁠ $x$ .

Terminología

Coeficientes

Los coeficientes de una función cuadrática a menudo se toman como números reales o complejos , pero pueden tomarse en cualquier anillo , en cuyo caso el dominio y el codominio son este anillo (ver evaluación de polinomios ).

Grado

Cuando se utiliza el término «polinomio cuadrático», los autores a veces se refieren a «un polinomio de grado exactamente 2» y otras veces a «un polinomio de grado como máximo 2». Si el grado es menor que 2, se puede hablar de un « caso degenerado ». Generalmente, el contexto permite determinar a cuál de los dos se refiere.

A veces, la palabra "orden" se usa con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden. Sin embargo, mientras que el " grado de un polinomio " se refiere al grado más alto de un término distinto de cero del polinomio, más comúnmente "orden" se refiere al grado más bajo de un término distinto de cero de una serie de potencias .

Variables

Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariado ) o múltiples variables como x , y y z (el caso multivariado).

El caso de una variable

Cualquier polinomio cuadrático de una sola variable puede escribirse como

ax^{2}+bx+c,

donde x es la variable, y a , b y c representan los coeficientes . Dichos polinomios suelen aparecer en una ecuación cuadrática. $ax^{2}+bx+c=0.$ Las soluciones de esta ecuación se denominan raíces y pueden expresarse en términos de los coeficientes mediante la fórmula cuadrática . Cada polinomio cuadrático tiene asociada una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola .

Casos bivariados y multivariados

Cualquier polinomio cuadrático con dos variables puede escribirse como

ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,

donde $x e$ $y$ son las variables y $a, b, c, d, e, f$ son los coeficientes, y uno de $a$ , $b$ o $c$ es distinto de cero. Estos polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas , ya que la ecuación implícita de una sección cónica se obtiene igualando a cero un polinomio cuadrático, y las raíces de una función cuadrática forman una sección cónica (posiblemente degenerada).

De manera similar, los polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a superficies cuádricas o hipersuperficies .

Los polinomios cuadráticos que tienen solo términos de grado dos se llaman formas cuadráticas .

Formas de una función cuadrática univariada

Una función cuadrática univariada puede expresarse en tres formatos: ^{[ 2 ]}

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ se denomina forma estándar ,
$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})$ se denomina forma factorizada , donde $r 1$ y $r 2$ son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.
$f(x)=a(xh)^{2}+k$ se denomina forma de vértice , donde $h$ y $k$ son las coordenadas $x$ e y $del$ vértice, respectivamente.

El coeficiente $a$ tiene el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar a forma factorizada , solo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces $r₁$ y $r₂$ $.$ Para convertir la forma estándar a forma de vértice , se necesita un proceso llamado completar el cuadrado . Para convertir la forma factorizada (o forma $de$ vértice) a forma estándar, se necesita multiplicar, expandir y/o distribuir los factores.

Gráfica de la función univariada

{\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a\in \{0.1,0.3,1,3\}}} — $f(x)=ax^{2}|_{a\in \{0.1,0.3,1,3\}}$

{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b\in \{1,2,3,4\}}} — $f(x)=x^{2}+bx|_{b\in \{1,2,3,4\}}$

Independientemente del formato, la gráfica de una función cuadrática univariada $f(x)=ax^{2}+bx+c$ es una parábola (como se muestra a la derecha). De forma equivalente, esta es la gráfica de la ecuación cuadrática bivariada. $y=ax^{2}+bx+c$ .

Si $a > 0$ , la parábola se abre hacia arriba.
Si $a < 0$ , la parábola se abre hacia abajo.

El coeficiente $a$ controla el grado de curvatura de la gráfica; un valor mayor de $a$ le da a la gráfica una apariencia más cerrada (con una curva más pronunciada).

Los coeficientes $b$ y $a$ controlan conjuntamente la ubicación del eje de simetría de la parábola (también la coordenada $x$ del vértice y el parámetro h en la forma del vértice), que se encuentra en

x=-{\frac {b}{2a}}.

El coeficiente $c$ controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola en el punto donde intercepta el eje $y$ .

Vértice

El vértice de una parábola es el punto donde cambia de dirección; por lo tanto, también se le llama punto de inflexión . Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es $(h, k)$ . Usando el método de completar el cuadrado, se puede transformar la parábola en forma estándar.

f(x)=ax^{2}+bx+c

en

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(xh)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}

por lo tanto, el vértice, $(h, k)$ , de la parábola en forma estándar es

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

^{[ 3 ]}

Si la función cuadrática está en forma factorizada

f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})

el promedio de las dos raíces, es decir,

{\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}

es la coordenada $x$ del vértice, y por lo tanto el vértice $(h, k)$ es

\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).

El vértice es también el punto máximo si $a < 0$ , o el punto mínimo si $a > 0$ .

La línea vertical

x=h=-{\frac {b}{2a}}

El eje que pasa por el vértice es también el eje de simetría de la parábola.

Puntos máximos y mínimos

Utilizando el cálculo , el vértice, que es un máximo o un mínimo de la función, se puede obtener hallando las raíces de la derivada :

f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b

$x$ es una raíz de $f'(x)$ si $f'(x) = 0$ resultando en

x=-{\frac {b}{2a}}

con el valor de función correspondiente

f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},

Así pues, de nuevo las coordenadas del punto vértice, $(h, k)$ , se pueden expresar como

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

Raíces de la función univariada

Raíces exactas

Las raíces (o ceros ), $r 1$ y $r 2$ , de la función cuadrática univariada

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}

son los valores de $x$ para los cuales $f (x) = 0$ .

Cuando los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ son reales o complejos , las raíces son

r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},

r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Límite superior de la magnitud de las raíces

El módulo de las raíces de una ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c$ no puede ser mayor que ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,$ dónde $\phi$ es la proporción áurea ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$ ^{[ 5 ]}

La raíz cuadrada de una función cuadrática univariada

La raíz cuadrada de una función cuadrática univariada da lugar a una de las cuatro secciones cónicas, casi siempre a una elipse o a una hipérbola .

Si $a>0,$ entonces la ecuación $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ describe una hipérbola, como se puede ver al elevar al cuadrado ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hipérbola están determinadas por la ordenada del punto mínimo de la parábola correspondiente. $y_{p}=ax^{2}+bx+c.$ Si la ordenada es negativa, el eje mayor de la hipérbola (que pasa por sus vértices) es horizontal, mientras que si la ordenada es positiva, el eje mayor de la hipérbola es vertical.

Si $a<0,$ entonces la ecuación $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ describe un círculo u otra elipse o nada en absoluto. Si la ordenada del punto máximo de la parábola correspondiente $y_{p}=ax^{2}+bx+c$ Si la ordenada es positiva, su raíz cuadrada describe una elipse, pero si es negativa, describe un lugar geométrico vacío de puntos.

Iteración

Para iterar una función $f(x)=ax^{2}+bx+c$ Se aplica la función repetidamente, utilizando el resultado de una iteración como entrada para la siguiente.

No siempre se puede deducir la forma analítica de $f^{(n)}(x)$ , lo que significa la enésima iteración ^de $f(x)$ . (El superíndice puede extenderse a números negativos, refiriéndose a la iteración del inverso de $f(x)$ si existe la inversa.) Pero hay algunos casos analíticamente tratables .

Por ejemplo, para la ecuación iterativa

f(x)=a(xc)^{2}+c

uno tiene

f(x)=a(xc)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),

dónde

g(x)=ax^{2}

y

h(x)=xc.

Entonces, por inducción,

f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))

se puede obtener, donde $g^{(n)}(x)$ se puede calcular fácilmente como

g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.

Finalmente, tenemos

f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(xc)^{2^{n}}+c

como la solución.

Consulte Conjugación topológica para obtener más detalles sobre la relación entre f y g . Consulte Polinomio cuadrático complejo para conocer el comportamiento caótico en la iteración general.

El mapa logístico

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1

con parámetro 2 < r < 4 se puede resolver en ciertos casos, uno de los cuales es caótico y otro no. En el caso caótico r = 4 la solución es

x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )

donde el parámetro de condición inicial $\theta$ es dado por $\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ . Para racional $\theta$ , después de un número finito de iteraciones $x_{n}$ se asigna a una secuencia periódica. Pero casi todos $\theta$ son irracionales y, para irracionales $\theta$ , $x_{n}$ Nunca se repite: no es periódico y muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales , por lo que se dice que es caótico.

La solución del mapa logístico cuando r =2 es

$x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$

para $x_{0}\in [0,1)$ . Desde $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ para cualquier valor de $x_{0}$ aparte del punto fijo inestable 0, el término $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ tiende a 0 cuando n tiende a infinito, por lo tanto $x_{n}$ va al punto fijo estable ${\tfrac {1}{2}}.$

Función cuadrática bivariada (de dos variables)

Una función cuadrática bivariada es un polinomio de segundo grado de la forma

f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,

donde A, B, C, D y E son coeficientes fijos y F es el término constante . Dicha función describe una superficie cuadrática . Estableciendo $f(x,y)$ igual a cero describe la intersección de la superficie con el plano $z=0,$ que es un lugar geométrico de puntos equivalente a una sección cónica .

Mínimo/máximo

Si $4AB-E^{2}<0,$ La función no tiene máximo ni mínimo; su gráfica forma un paraboloide hiperbólico .

Si $4AB-E^{2}>0,$ La función tiene un mínimo si A > 0 y B > 0 , y un máximo si A < 0 y B < 0 ; su gráfica forma un paraboloide elíptico. En este caso, el mínimo o el máximo se produce en $(x_{m},y_{m}),$ dónde:

x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},

y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.

Si $4AB-E^{2}=0$ y $DE-2CB=2AD-CE\neq 0,$ La función no tiene máximo ni mínimo; su gráfica forma un cilindro parabólico .

Si $4AB-E^{2}=0$ y $DE-2CB=2AD-CE=0,$ La función alcanza su máximo/mínimo en una línea: un mínimo si A > 0 y un máximo si A < 0; su gráfica forma un cilindro parabólico.

Véase también

Referencias

↑ Weisstein, Eric Wolfgang. "Ecuación cuadrática" . MathWorld . Consultado el 6 de enero de 2013 .
↑ Hughes Hallett, Deborah J. ; Connally, Eric ; McCallum, William George (2007). Álgebra universitaria . John Wiley & Sons Inc. pág. 205. ISBN 9780471271758.
↑ Coleman, Percy (1914). Geometría de coordenadas . Oxford University Press. pág. 137 .
↑ "Raíces complejas al descubierto: datos curiosos sobre matemáticas" . Consultado el 1 de octubre de 2016 .
↑ Lord, Nick (1 de noviembre de 2007). "Límites áureos para las raíces de ecuaciones cuadráticas" . The Mathematical Gazette . 91 (522): 549. doi : 10.1017/S0025557200182324 . JSTOR 40378441 .

Glencoe, McGraw-Hill (2003). Álgebra 1. Glencoe/McGraw Hill. ISBN 9780078250835.
Saxon, John H. (mayo de 1991). Álgebra 2. Saxon Publishers, Incorporated. ISBN 9780939798629.

[wolfram-1] Weisstein, Eric Wolfgang. "Ecuación cuadrática" . MathWorld . Consultado el 6 de enero de 2013 .

[2] Hughes Hallett, Deborah J. ; Connally, Eric ; McCallum, William George (2007). Álgebra universitaria . John Wiley & Sons Inc. pág. 205. ISBN 9780471271758.

[3] Coleman, Percy (1914). Geometría de coordenadas . Oxford University Press. pág. 137 .

[4] "Raíces complejas al descubierto: datos curiosos sobre matemáticas" . Consultado el 1 de octubre de 2016 .

[5] Lord, Nick (1 de noviembre de 2007). "Límites áureos para las raíces de ecuaciones cuadráticas" . The Mathematical Gazette . 91 (522): 549. doi : 10.1017/S0025557200182324 . JSTOR 40378441 .

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