Conjunto cuadrático

En matemáticas, un conjunto cuadrático es un conjunto de puntos en un espacio proyectivo que tiene las mismas propiedades de incidencia esenciales que un conjunto cuadrático ( sección cónica en un plano proyectivo, esfera o cono o hiperboloide en un espacio proyectivo).

Sea un espacio proyectivo. Un conjunto cuadrático es un subconjunto no vacío de para el cual se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}},\in )}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

(QS1) Toda línea de interseca en como máximo dos puntos o está contenida en . ${\estilo de visualización g}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

( se llama exterior a si , tangente a si o , y secante a si .)${\estilo de visualización g}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=0}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1}$${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=g}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

(QS2) Para cualquier punto la unión de todas las rectas tangentes a través de él es un hiperplano o todo el espacio .${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{P}}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Un conjunto cuadrático se llama no degenerado si para cada punto , el conjunto es un hiperplano. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{P}}$

Un espacio proyectivo papiano es un espacio proyectivo en el que se cumple el teorema del hexágono de Pappus .

El siguiente resultado, debido a Francis Buekenhout , es una afirmación sorprendente para espacios proyectivos finitos.

Teorema: Sea un espacio proyectivo finito de dimensión y un conjunto cuadrático no degenerado que contiene rectas. Entonces: es papiana y es una cuádrica con índice .${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \geq 2}$

Los óvalos y ovoides son conjuntos cuadráticos especiales:
Sea un espacio proyectivo de dimensión . Un conjunto cuadrático no degenerado que no contiene líneas se llama ovoide (u óvalo en el caso del plano). ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Las siguientes definiciones equivalentes de óvalo/ovoide son más comunes:

Definición: (ovalado) Un conjunto de puntos no vacío de un plano proyectivo se llama ovalado si se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

(o1) Cualquier recta se corta en dos puntos como máximo.${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

( o2) Para cualquier punto en hay una y sólo una recta tal que .${\estilo de visualización P}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle g\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}}$

Una recta es una recta exterior o tangente o secante del óvalo si o o respectivamente. ${\estilo de visualización g}$${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=0}$${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=1}$${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=2}$

Para planos finitos el siguiente teorema proporciona una definición más simple.

Teorema: (óvalo en plano finito) Sea un plano proyectivo de orden . Un conjunto de puntos es un óvalo si y si no hay tres puntos de son colineales. ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$${\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

Según este teorema de Beniamino Segre , para los planos proyectivos papianos de orden impar los óvalos son simplemente cónicas:

Teorema: Sea un plano proyectivo papiano de orden impar . Cualquier óvalo en es una cónica ovalada ( cuádrica no degenerada ). ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$

Definición: (ovoide) Un conjunto de puntos no vacío de un espacio proyectivo se llama ovoide si se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

(O1) Cualquier recta se corta en dos puntos como máximo.${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

( se llama recta exterior, tangente y secante si y respectivamente.)${\estilo de visualización g}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=0,\ |g\cap {\mathcal {O}}|=1}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=2}$

(O2) Para cualquier punto la unión de todas las rectas tangentes a través de es un hiperplano (plano tangente en ).${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$

Ejemplo:

a) Cualquier esfera (cuádrica de índice 1) es un ovoide.

b) En el caso de espacios proyectivos reales se pueden construir ovoides combinando mitades de elipsoides adecuados tales que no sean cuádricas.

Para espacios proyectivos finitos de dimensión sobre un cuerpo tenemos: Teorema:${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización K}$

a) En el caso de un ovoide en existe sólo si o .${\displaystyle |K|<\infty}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}(K)}$${\estilo de visualización n=2}$${\estilo de visualización n=3}$

b) En el caso de un ovoide en es una cuádrica.${\displaystyle |K|<\infty ,\ \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}(K)}$

Los contraejemplos (ovoide de Tits–Suzuki) muestran que el enunciado b) del teorema anterior no es verdadero para : ${\displaystyle \operatorname {carácter} K=2}$

• Albrecht Beutelspacher y Ute Rosenbaum (1998) Geometría proyectiva: de los fundamentos a las aplicaciones , Capítulo 4: Conjuntos cuadráticos, páginas 137 a 179, Cambridge University Press ISBN  978-0521482776
• F. Buekenhout (ed.) (1995) Manual de geometría de incidencia , Elsevier ISBN 0-444-88355-X 
• P. Dembowski (1968) Geometrías finitas , Springer-Verlag ISBN 3-540-61786-8 , pág. 48 

• Nota de conferencia de Eric Hartmann Geometrías de círculos planos, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski, de la Technische Universität Darmstadt