Cuadrifolio

El cuadrifolio (también conocido como trébol de cuatro hojas ^{[ 1 ]} ) es un tipo de curva rosa con una frecuencia angular de 2. Tiene la ecuación polar :

${\displaystyle r=a\cos(2\theta ),\,}$

con la ecuación algebraica correspondiente

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}.\,}$

Girado 45° en sentido contrario a las agujas del reloj, se convierte en:

${\displaystyle r=a\sin(2\theta )\,}$

con la ecuación algebraica correspondiente

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}.\,}$

En cualquiera de sus formas, se trata de una curva algebraica plana de género cero.

La curva dual al cuadrifolio es

${\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{4}+837(x^{2}+y^{2})^{2}+108x^{2}y^{2}=16(x^{2}+7y^{2})(y^{2}+7x^{2})(x^{2}+y^{2})+729(x^{2}+y^{2}).\,}$

El área dentro del cuadrifolio es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi a^{2}}$, que es exactamente la mitad del área de la circunferencia circunscrita del cuadrifolio. El perímetro del cuadrifolio es

${\displaystyle 8a\operatorname {E} \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=4\pi a\left({\frac {(52{\sqrt {3}}-90)\operatorname {M} '(1,7-4{\sqrt {3}})}{\operatorname {M} ^{2}(1,7-4{\sqrt {3}})}}+{\frac {7-4{\sqrt {3}}}{\operatorname {M} (1,7-4{\sqrt {3}})}}\right)}$

dónde${\displaystyle \operatorname {E} (k)}$es la integral elíptica completa de segundo tipo con módulo${\displaystyle k}$,${\displaystyle \operatorname {M} }$es la media aritmético-geométrica y${\displaystyle '}$denota la derivada con respecto a la segunda variable. ^{[ 2 ]}

• J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pág . 175. ISBN  0-486-60288-5.

• Ejemplo interactivo con JSXGraph