relaciones de álgebra vectorial

Las siguientes son identidades importantes en álgebra vectorial . Identidades que solo involucran la magnitud de un vector.${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$y el producto escalar de dos vectores A · B se aplican a vectores en cualquier dimensión, mientras que las identidades que utilizan el producto vectorial A × B solo se aplican en tres dimensiones, ya que el producto vectorial solo está definido allí. ^{[ nb 1 ] [ 1 ]} La mayoría de estas relaciones se remontan al fundador del cálculo vectorial, Josiah Willard Gibbs , si no antes. ^{[ 2 ]}

La magnitud de un vector A se puede expresar mediante el producto escalar:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }$

En el espacio euclidiano tridimensional , la magnitud de un vector se determina a partir de sus tres componentes utilizando el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}$

• La desigualdad de Cauchy-Schwarz :${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}$
• La desigualdad triangular :${\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$
• La desigualdad triangular inversa :${\displaystyle \|\mathbf {AB} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}$

El producto vectorial y el producto escalar de dos vectores definen el ángulo entre ellos, digamos θ : ^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

Para satisfacer la regla de la mano derecha , para θ positivo , el vector B es en sentido antihorario desde A , y para θ negativo es en sentido horario.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

La identidad trigonométrica pitagórica proporciona entonces:

${\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}}$

Si un vector A = ( A _x , A _y , A _z ) forma ángulos α , β , γ con un conjunto ortogonal de ejes x , y y z , entonces:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}$

y de forma análoga para los ángulos β, γ. En consecuencia:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),}$

con${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}$vectores unitarios a lo largo de las direcciones de los ejes.

El área Σ de un paralelogramo con lados A y B que contiene el ángulo θ es:

${\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,}$

que se reconocerá como la magnitud del producto vectorial de los vectores A y B situados a lo largo de los lados del paralelogramo. Es decir:

${\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .}$

(Si A y B son vectores bidimensionales, esto es igual al determinante de la matriz de 2 × 2 con filas A y B. ) El cuadrado de esta expresión es: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,}$

donde Γ( A , B ) es el determinante de Gram de A y B definido por:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}$

De manera similar, el volumen cuadrado V de un paralelepípedo generado por los tres vectores A , B , C viene dado por el determinante de Gram de los tres vectores: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}$

Dado que A , B y C son vectores tridimensionales, esto es igual al cuadrado del triple producto escalar.${\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}$abajo.

Este proceso puede extenderse a n dimensiones.

• Conmutatividad de la suma:${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$.
• Conmutatividad del producto escalar:${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$.
• Anticonmutatividad del producto cruzado:${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-} (\mathbf {B} \times \mathbf {A} )}$.
• Propiedad distributiva de la multiplicación por un escalar respecto de la suma:${\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }$.
• Distributividad del producto escalar respecto de la suma:${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }$.
• Distributividad del producto vectorial sobre la suma:${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }$.
• Producto triple escalar :$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}$$
• Producto triple vectorial :${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }$.
• Identidad jacobiana :$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$$
• La identidad de Lagrange :${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}$.

Estas relaciones son útiles para derivar diversas fórmulas en geometría esférica y euclidiana. Por ejemplo, si se eligen cuatro puntos en la esfera unitaria, A, B, C, D , y se trazan vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta los cuatro puntos, a, b, c, d respectivamente, la identidad:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ ,}$

en conjunto con la relación para la magnitud del producto cruzado:

${\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,}$

y el producto escalar:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,}$

donde a = b = 1 para la esfera unitaria, resulta en la identidad entre los ángulos atribuidos a Gauss:

${\displaystyle \sin \theta _{ab}\sin \theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,}$

donde x es el ángulo entre a × b y c × d , o equivalentemente, entre los planos definidos por estos vectores. ^{[ 2 ]}

• Identidades del cálculo vectorial
• Espacio vectorial
• álgebra geométrica

• Gibbs, Josiah Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas . Scribner.