Cuantificador (lógica)

En lógica , un cuantificador es un operador que especifica cuántos individuos en el dominio del discurso satisfacen una fórmula abierta . Por ejemplo, el cuantificador universal.${\displaystyle \forall }$en la fórmula de primer orden${\displaystyle \forall xP(x)}$expresa que todo en el dominio satisface la propiedad denotada por${\displaystyle P}$Por otro lado, el cuantificador existencial${\displaystyle \exists }$en la fórmula${\displaystyle \exists xP(x)}$Expresa que existe algo en el dominio que satisface esa propiedad. Una fórmula donde un cuantificador tiene el alcance más amplio se denomina fórmula cuantificada. Una fórmula cuantificada debe contener una variable ligada y una subfórmula que especifique una propiedad del referente de dicha variable.

Los cuantificadores más utilizados son${\displaystyle \forall }$y${\displaystyle \exists }$Estos cuantificadores se definen estándarmente como duales ; en lógica clásica : cada uno puede definirse en términos del otro mediante la negación . También pueden usarse para definir cuantificadores más complejos, como en la fórmula${\displaystyle \neg \exists xP(x)}$que expresa que nada tiene la propiedad${\displaystyle P}$Otros cuantificadores solo se pueden definir dentro de la lógica de segundo orden o lógicas de orden superior . Los cuantificadores se han generalizado a partir del trabajo de Andrzej Mostowski y Per Lindström .

En una proposición de lógica de primer orden, las cuantificaciones del mismo tipo (ya sean universales o existenciales) pueden intercambiarse sin alterar el significado de la proposición, mientras que el intercambio de cuantificaciones de tipos diferentes sí lo modifica. Por ejemplo, la única diferencia entre la definición de continuidad uniforme y la de continuidad (ordinaria) radica en el orden de las cuantificaciones.

Los cuantificadores de primer orden se aproximan a los significados de algunos cuantificadores del lenguaje natural , como "algunos" y "todos". Sin embargo, muchos cuantificadores del lenguaje natural solo pueden analizarse en términos de cuantificadores generalizados .

Para un dominio finito de discurso${\displaystyle D=\{a_{1},...a_{n}\}}$, la fórmula cuantificada universalmente${\displaystyle \forall x\in D\;P(x)}$es equivalente a la conjunción lógica${\displaystyle P(a_{1})\land ...\land P(a_{n})}$. De manera dual, la fórmula cuantificada existencialmente${\displaystyle \exists x\in D\;P(x)}$es equivalente a la disyunción lógica${\displaystyle P(a_{1})\lor ...\lor P(a_{n})}$. Por ejemplo, si${\displaystyle B=\{0,1\}}$es el conjunto de dígitos binarios , la fórmula${\displaystyle \forall x\in B\;x=x^{2}}$abreviaturas${\displaystyle 0=0^{2}\land 1=1^{2}}$, que se evalúa como verdadero .

Es posible diseñar álgebras abstractas cuyos modelos incluyan lenguajes formales con cuantificación, pero el progreso ha sido lento y el interés en dichas álgebras ha sido limitado. Hasta la fecha se han ideado tres enfoques:

• Álgebra de relaciones , inventada por Augustus De Morgan y desarrollada por Charles Sanders Peirce , Ernst Schröder , Alfred Tarski y los estudiantes de Tarski. El álgebra de relaciones no puede representar ninguna fórmula con cuantificadores anidados a más de tres niveles. Sorprendentemente, los modelos del álgebra de relaciones incluyen la teoría axiomática de conjuntos ZFC y la aritmética de Peano ;
• Álgebra cilíndrica , ideada por Alfred Tarski , Leon Henkin y otros;
• El álgebra poliádica de Paul Halmos .

Los dos cuantificadores más comunes son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El símbolo tradicional para el cuantificador universal es " ∀ ", una letra " A " girada, que significa "para todos" o "todos". El símbolo correspondiente para el cuantificador existencial es " ∃ ", una letra " E " girada , que significa "existe" o "existe". ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un ejemplo de traducción de una afirmación cuantificada a un lenguaje natural como el inglés sería el siguiente. Dada la afirmación "A cada uno de los amigos de Peter le gusta bailar o le gusta ir a la playa (o ambas cosas)", se pueden identificar aspectos clave y reescribirlos utilizando símbolos que incluyan cuantificadores. Así, sea X el conjunto de todos los amigos de Peter, P ( x ) el predicado " a x le gusta bailar" y Q ( x ) el predicado " a x le gusta ir a la playa". Entonces, la oración anterior se puede escribir en notación formal como:${\displaystyle \forall {x}{\in }X,(P(x)\lor Q(x))}$, que se lee, "para cada x que es miembro de X , P se aplica a x o Q se aplica a x ".

Algunas otras expresiones cuantificadas se construyen de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \exists {x}\,P}$^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \forall {x}\,P}$

para una fórmula P. Estas dos expresiones (usando las definiciones anteriores) se leen como "existe un amigo de Peter al que le gusta bailar" y "a todos los amigos de Peter les gusta bailar", respectivamente. Las notaciones variantes incluyen, para el conjunto X y los miembros del conjunto x :

• ${\displaystyle \bigvee _{x}P}$
• ${\displaystyle (\exists {x})P}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle (\exists x\ .\ P)}$
• ${\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}$
• ${\displaystyle (\exists x:P)}$
• ${\displaystyle \exists {x}(P)}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \exists _{x}\,P}$
• ${\displaystyle \exists {x}{,}\,P}$
• ${\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}$
• ${\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}$

Todas estas variaciones también se aplican a la cuantificación universal. Otras variaciones para el cuantificador universal son:

• ${\displaystyle \bigwedge _{x}P}$
• ${\displaystyle \bigwedge xP}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle (x)\,P}$^{[ 7 ]}

Algunas versiones de la notación mencionan explícitamente el rango de cuantificación. El rango de cuantificación siempre debe especificarse; para una teoría matemática dada, esto puede hacerse de varias maneras:

• Supongamos un dominio de discurso fijo para cada cuantificación, como se hace en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .
• Defina de antemano varios dominios de discurso y exija que cada variable tenga un dominio declarado, que corresponde al tipo de dicha variable. Esto es análogo a la situación en los lenguajes de programación de tipado estático , donde las variables tienen tipos declarados.
• Mencione explícitamente el rango de cuantificación, tal vez utilizando un símbolo para el conjunto de todos los objetos en ese dominio (o el tipo de objetos en ese dominio).

Se puede utilizar cualquier variable como variable cuantificada en lugar de cualquier otra, bajo ciertas restricciones en las que no se produce la captura de variables . Incluso si la notación utiliza variables tipificadas, se pueden usar variables de ese tipo.

De manera informal o en lenguaje natural, "∀ x " o "∃ x " podría aparecer después o en medio de P ( x ). Formalmente, sin embargo, la frase que introduce la variable ficticia se coloca delante.

Las fórmulas matemáticas combinan expresiones simbólicas para cuantificadores con cuantificadores del lenguaje natural, tales como:

Las palabras clave para la cuantificación de la singularidad incluyen:

Además, x puede ser reemplazado por un pronombre . Por ejemplo,

El orden de los cuantificadores es fundamental para el significado, como lo ilustran las dos proposiciones siguientes:

Esto es claramente cierto; simplemente afirma que todo número natural tiene un cuadrado. El significado de la afirmación en la que se invierte el orden de los cuantificadores es diferente:

Esto es claramente falso; afirma que existe un único número natural s que es el cuadrado de todos los números naturales. Esto se debe a que la sintaxis indica que ninguna variable puede ser función de variables introducidas posteriormente.

Un ejemplo menos trivial del análisis matemático se refiere a los conceptos de continuidad uniforme y puntual , cuyas definiciones difieren solo por un intercambio en las posiciones de dos cuantificadores. Una función f de R a R se llama

• Continua puntualmente si$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$
• Uniformemente continuo si$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$

En el primer caso, el valor particular elegido para δ puede ser función tanto de ε como de x , las variables que lo preceden. En el segundo caso, δ solo puede ser función de ε ⁽ es decir, debe elegirse independientemente de x ). Por ejemplo, f ( x ) = x² satisface la continuidad puntual, pero no la uniforme (su pendiente no está acotada). En cambio, intercambiar los dos cuantificadores universales iniciales en la definición de continuidad puntual no altera el significado.

Como regla general, intercambiar dos cuantificadores universales adyacentes con el mismo alcance (o intercambiar dos cuantificadores existenciales adyacentes con el mismo alcance) no cambia el significado de la fórmula (ver Ejemplo aquí ), pero intercambiar un cuantificador existencial y un cuantificador universal adyacente puede cambiar su significado.

La profundidad máxima de anidamiento de cuantificadores en una fórmula se denomina " rango del cuantificador ".

Si D es un dominio de x y P ( x ) es un predicado que depende de la variable objeto x , entonces la proposición universal se puede expresar como

$${\displaystyle \forall x\!\in \!D\;P(x).}$$

Esta notación se conoce como cuantificación restringida, relativizada o acotada . De forma equivalente, se puede escribir:

$${\displaystyle \forall x\;(x\!\in \!D\to P(x)).}$$

La proposición existencial puede expresarse con cuantificación limitada como

$${\displaystyle \exists x\!\in \!D\;P(x),}$$

o equivalentemente

$${\displaystyle \exists x\;(x\!\in \!\!D\land P(x)).}$$

Junto con la negación, solo se necesita uno de los cuantificadores, ya sea el universal o el existencial, para realizar ambas tareas:

$${\displaystyle \neg (\forall x\!\in \!D\;P(x))\equiv \exists x\!\in \!D\;\neg P(x),}$$

lo que demuestra que para refutar una proposición "para todo x ", no se necesita más que encontrar un x para el cual el predicado sea falso. De manera similar,

$${\displaystyle \neg (\exists x\!\in \!D\;P(x))\equiv \forall x\!\in \!D\;\neg P(x),}$$

Para refutar una proposición "existe un x ", es necesario demostrar que el predicado es falso para todo x .

En lógica clásica , toda fórmula es lógicamente equivalente a una fórmula en forma normal prenexa , es decir, una cadena de cuantificadores y variables ligadas seguida de una fórmula sin cuantificadores.

Toda cuantificación implica una variable específica y un dominio de discurso o rango de cuantificación de dicha variable. El rango de cuantificación especifica el conjunto de valores que puede tomar la variable. En los ejemplos anteriores, el rango de cuantificación es el conjunto de los números naturales. La especificación del rango de cuantificación nos permite expresar la diferencia entre, por ejemplo, afirmar que un predicado se cumple para algún número natural o para algún número real . Las convenciones expositivas suelen reservar algunos nombres de variables, como " n " para los números naturales y " x " para los números reales, aunque basarse exclusivamente en las convenciones de nomenclatura no suele ser viable, ya que los rangos de las variables pueden cambiar en el transcurso de un argumento matemático.

Una fórmula cuantificada universalmente sobre un rango vacío (como${\displaystyle \forall x\!\in \!\varnothing \;x\neq x}$) siempre es vacuamente verdadero . Por el contrario, una fórmula cuantificada existencialmente sobre un rango vacío (como${\displaystyle \exists x\!\in \!\varnothing \;x=x}$) siempre es falso.

Una forma más natural de restringir el dominio del discurso utiliza la cuantificación cautelosa . Por ejemplo, la cuantificación cautelosa

medio

En algunas teorías matemáticas , se asume un único dominio de discurso fijado de antemano. Por ejemplo, en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , las variables abarcan todos los conjuntos. En este caso, se pueden usar cuantificadores protegidos para simular un rango de cuantificación más reducido. Así, en el ejemplo anterior, para expresar

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, se escribiría:

donde N es el conjunto de todos los números naturales.

La semántica matemática es la aplicación de las matemáticas al estudio del significado de las expresiones en un lenguaje formal. Consta de tres elementos: una especificación matemática de una clase de objetos mediante sintaxis , una especificación matemática de diversos dominios semánticos y la relación entre ambos, que generalmente se expresa como una función de objetos sintácticos a semánticos. Este artículo solo aborda la cuestión de cómo se interpretan los elementos cuantificadores. La sintaxis de una fórmula puede ser dada por un árbol sintáctico. Un cuantificador tiene un ámbito , y una ocurrencia de una variable x es libre si no está dentro del ámbito de una cuantificación para esa variable. Por lo tanto, en

$${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$$

La aparición de x e y en C ( y , x ) es libre, mientras que la aparición de x e y en B ( y , x ) es ligada (es decir, no libre).

Una interpretación para el cálculo de predicados de primer orden asume como dado un dominio de individuos X. Una fórmula A cuyas variables libres son x ₁ , ..., x _n se interpreta como una función booleana F ( v ₁ , ..., v _n ) de n argumentos, donde cada argumento abarca el dominio X. Booleana significa que la función asume uno de los valores T (interpretado como verdad) o F (interpretado como falsedad). La interpretación de la fórmula

$${\displaystyle \forall x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

es la función G de n -1 argumentos tal que G ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T si y solo si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T para todo w en X . Si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = F para al menos un valor de w , entonces G ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F . De manera similar, la interpretación de la fórmula

$${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

es la función H de n -1 argumentos tal que H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T si y solo si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T para al menos un w y H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F en caso contrario.

La semántica para la cuantificación de unicidad requiere cálculo de predicados de primer orden con igualdad. Esto significa que se da un predicado distinguido de dos lugares "="; la semántica también se modifica en consecuencia de modo que "=" siempre se interpreta como la relación de igualdad de dos lugares en X. La interpretación de

$${\displaystyle \exists !x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

entonces es la función de n -1 argumentos, que es la lógica y de las interpretaciones de

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exists x_{n}&A(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\forall y,z&{\big (}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},y)\wedge A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},z)\implies y=z{\big )}.\end{aligned}}}$$

Cada tipo de cuantificación define un operador de cierre correspondiente en el conjunto de fórmulas, agregando, para cada variable libre x , un cuantificador para vincular x . ^{[ 9 ]} Por ejemplo, el cierre existencial de la fórmula abierta n >2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ es la fórmula cerrada ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n >2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ ); se sabe que esta última fórmula, cuando se interpreta sobre los enteros positivos, es falsa según el Último Teorema de Fermat . Como otro ejemplo, los axiomas de ecuaciones, como x + y = y + x , generalmente se usan para denotar su cierre universal , como ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ) para expresar la conmutatividad .

Ninguno de los cuantificadores analizados anteriormente se aplica a una cuantificación como

Un posible mecanismo de interpretación se puede obtener de la siguiente manera: Supongamos que, además de un dominio semántico X , tenemos una medida de probabilidad P definida en X y números de corte 0 < a ≤ b ≤ 1. Si A es una fórmula con variables libres x ₁ ,..., x _n cuya interpretación es la función F de las variables v ₁ ,..., v _n, entonces la interpretación de

$${\displaystyle \exists ^{\mathrm {muchos} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$$

es la función de v ₁ ,..., v _{n -1} que es T si y solo si

$${\displaystyle \operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b}$$

y F en caso contrario. De manera similar, la interpretación de

$${\displaystyle \exists ^{\mathrm {pocos} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$$

es la función de v ₁ ,..., v _{n -1} que es F si y solo si

$${\displaystyle 0<\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a}$$

y T en caso contrario.

Con el tiempo se han propuesto algunos otros cuantificadores. En particular, el cuantificador de solución, ^{[ 10 ] : 28} señaló § ( signo de sección ) y se leyó "esos". Por ejemplo,

$${\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}}$$

se lee "aquellos n en N tales que n ² ≤ 4 están en {0,1,2}". La misma construcción se puede expresar en notación de construcción de conjuntos como

$${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.}$$

A diferencia de los otros cuantificadores, § produce un conjunto en lugar de una fórmula. ^{[ 11 ]}

Otros cuantificadores que a veces se utilizan en matemáticas incluyen:

• Existen infinitos elementos tales que...
• Para todos los elementos excepto un número finito de ellos... (a veces expresado como "para casi todos los elementos...").
• Existen innumerables elementos tales que...
• Para todos los elementos, salvo un número incontable...
• Para todos los elementos de un conjunto de medida positiva...
• Para todos los elementos excepto aquellos en un conjunto de medida cero...

La lógica de términos , también llamada lógica aristotélica, trata la cuantificación de una manera más cercana al lenguaje natural y menos adecuada para el análisis formal. La lógica de términos trató los conceptos de " Todo" , " Algunos" y "No" en el siglo IV a. C., en un análisis que también abordaba las modalidades aléticas .

En 1827, George Bentham publicó su obra Esquema de un nuevo sistema de lógica: con un examen crítico de los Elementos de lógica del Dr. Whately , en la que describía el principio del cuantificador, pero el libro no tuvo una amplia difusión. ^{[ 12 ]}

William Hamilton afirmó haber acuñado los términos "cuantificar" y "cuantificación", muy probablemente en sus conferencias de Edimburgo alrededor de 1840. Augustus De Morgan lo confirmó en 1847, pero el uso moderno comenzó con De Morgan en 1862, donde hace afirmaciones como "Debemos tomar tanto ' todos' como 'algunos-no todos' como cuantificadores". ^{[ 13 ]}

Gottlob Frege , en su Begriffsschrift de 1879 , fue el primero en emplear un cuantificador para vincular una variable que abarca un dominio de discurso y aparece en predicados . Cuantificaba universalmente una variable (o relación) escribiéndola sobre una hendidura en una línea recta que aparecía en sus fórmulas diagramáticas. Frege no ideó una notación explícita para la cuantificación existencial, sino que empleó su equivalente de ~∀ x ~, o contraposición . El tratamiento de la cuantificación por parte de Frege pasó en gran medida desapercibido hasta la publicación de los Principios de Matemáticas de Bertrand Russell en 1903 .

En un trabajo que culminó con el artículo de Peirce de 1885, "Sobre el álgebra de la lógica: una contribución a la filosofía de la notación", Charles Sanders Peirce y su alumno Oscar Howard Mitchell inventaron de forma independiente los cuantificadores universales y existenciales, y las variables ligadas . Peirce y Mitchell escribieron Π _x y Σ _x donde ahora escribimos ∀ x y ∃ x . La notación de Peirce se puede encontrar en los escritos de Ernst Schröder , Leopold Loewenheim , Thoralf Skolem y lógicos polacos hasta la década de 1950. En particular, es la notación del artículo fundamental de Kurt Gödel de 1930 sobre la completitud de la lógica de primer orden y del artículo de 1931 sobre la incompletitud de la aritmética de Peano . Per Martin-Löf adoptó una notación similar para productos y sumas dependientes en su teoría de tipos intuicionista , que están conceptualmente relacionados con la cuantificación.

El enfoque de Peirce sobre la cuantificación también influyó en William Ernest Johnson y Giuseppe Peano , quienes inventaron otra notación, a saber, ( x ) para la cuantificación universal de x y (en 1897) ∃ x para la cuantificación existencial de x . Por lo tanto, durante décadas, la notación canónica en filosofía y lógica matemática fue ( x ) P para expresar "todos los individuos en el dominio del discurso tienen la propiedad P ", y "(∃ x ) P " para "existe al menos un individuo en el dominio del discurso que tiene la propiedad P ". Peano, quien era mucho más conocido que Peirce, de hecho difundió el pensamiento de este último por toda Europa. La notación de Peano fue adoptada por los Principia Mathematica de Whitehead y Russell , Quine y Alonzo Church . En 1935, Gentzen introdujo el símbolo ∀, por analogía con el símbolo ∃ de Peano. ∀ no se convirtió en canónico hasta la década de 1960.

Hacia 1895, Peirce comenzó a desarrollar sus grafos existenciales , cuyas variables pueden considerarse cuantificadas tácitamente. Que la instancia más superficial de una variable sea par o impar determina si la cuantificación de esa variable es universal o existencial. (La superficialidad es lo contrario de la profundidad, que se determina mediante el anidamiento de negaciones). La lógica gráfica de Peirce ha atraído cierta atención en los últimos años por parte de quienes investigan el razonamiento heterogéneo y la inferencia diagramática .

• Generalidad absoluta
• Casi todos
• cuantificador de ramificación
• cuantificador condicional
• cuantificación de recuento
• Finalmente (matemáticas)
• Cuantificador generalizado : una propiedad de orden superior utilizada como semántica estándar de los sintagmas nominales cuantificados.
• Cuantificador de Lindström : un cuantificador poliádico generalizado
• Desplazamiento del cuantificador

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• Frege, Gottlob , 1879. Begriffsschrift . Traducido por Jean van Heijenoort , 1967. From Frege to Gödel: A Source Book on Mathematical Logic, 1879-1931 . Harvard University Press. La primera aparición de la cuantificación.
• Hilbert, David ; y Ackermann, Wilhelm , 1950 (1928). Principios de lógica matemática . Chelsea. Traducción de Grundzüge der theoretischen Logik . Springer-Verlag. La primera edición de 1928 es la primera vez que la cuantificación se empleó conscientemente de la manera ahora estándar, es decir, como variables de enlace que abarcan un dominio de discurso fijo. Este es el aspecto definitorio de la lógica de primer orden .
• Peirce, CS , 1885, «Sobre el álgebra de la lógica: una contribución a la filosofía de la notación», American Journal of Mathematics , vol. 7, págs. 180-202. Reimpreso en Kloesel, N. et al. , eds., 1993. Writings of CS Peirce, vol. 5. Indiana University Press. La primera aparición de la cuantificación en algo parecido a su forma actual.
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