Cuantización (física)

La cuantización (en inglés británico, quantisation ) es el procedimiento de transición sistemática desde una comprensión clásica de los fenómenos físicos a una comprensión más reciente conocida como mecánica cuántica . Es un procedimiento para construir la mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica . Una generalización que involucra grados de libertad infinitos es la cuantización de campo , como en la "cuantización del campo electromagnético ", que se refiere a los fotones como " cuantos " de campo (por ejemplo, como cuantos de luz ). Este procedimiento es fundamental para las teorías de la física atómica , la química, la física de partículas , la física nuclear , la física de la materia condensada y la óptica cuántica .

En 1901, cuando Max Planck desarrollaba la función de distribución de la mecánica estadística para resolver el problema de la catástrofe ultravioleta , se dio cuenta de que las propiedades de la radiación de cuerpo negro pueden explicarse asumiendo que la cantidad de energía debe estar en unidades fundamentales contables, es decir, la cantidad de energía no es continua sino discreta . Es decir, existe una unidad mínima de energía y se cumple la siguiente relación. ${\displaystyle E=h\nu }$ para la frecuencia ${\displaystyle \nu }$. Aquí, ${\displaystyle h}$Se denomina constante de Planck , que representa la magnitud del efecto cuántico. Significa un cambio fundamental en el modelo matemático de las magnitudes físicas.

En 1905, Albert Einstein publicó un artículo titulado "Sobre un punto de vista heurístico acerca de la emisión y transformación de la luz", que explicaba el efecto fotoeléctrico en ondas electromagnéticas cuantizadas . ^{[ 1 ]} El cuanto de energía al que se hacía referencia en este artículo fue posteriormente denominado " fotón ". En julio de 1913, Niels Bohr utilizó la cuantización para describir el espectro de un átomo de hidrógeno en su artículo "Sobre la constitución de átomos y moléculas".

Las teorías precedentes han tenido éxito, pero son teorías muy fenomenológicas. Sin embargo, el matemático francés Henri Poincaré fue el primero en dar una definición sistemática y rigurosa de lo que es la cuantización en su artículo de 1912 «Sur la théorie des quanta». ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El término "física cuántica" se utilizó por primera vez en la obra de Johnston, El universo de Planck a la luz de la física moderna (1931).

La cuantización canónica desarrolla la mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica . Se introduce una relación de conmutación entre coordenadas canónicas . Técnicamente, se convierten las coordenadas en operadores mediante combinaciones de operadores de creación y aniquilación . Los operadores actúan sobre los estados cuánticos de la teoría. El estado de menor energía se denomina estado de vacío .

Incluso dentro del marco de la cuantización canónica, existe una dificultad asociada a la cuantización de observables arbitrarios en el espacio de fases clásico. Esta es la ambigüedad de ordenación : clásicamente, las variables de posición y momento x y p conmutan, pero sus operadores cuánticos correspondientes no lo hacen. Se han propuesto varios esquemas de cuantización para resolver esta ambigüedad, ^{[ 4 ]} de los cuales el más popular es el esquema de cuantización de Weyl . Sin embargo, el teorema de Groenewold dicta que no existe un esquema de cuantización perfecto. Específicamente, si las cuantizaciones de x y p se toman como los operadores usuales de posición y momento, entonces ningún esquema de cuantización puede reproducir perfectamente las relaciones de corchete de Poisson entre los observables clásicos. ^{[ 5 ]}

Existe una forma de realizar una cuantización canónica sin tener que recurrir al método no covariante de foliar el espaciotiempo y elegir un hamiltoniano . Este método se basa en una acción clásica, pero difiere del método de la integral funcional.

El método no se aplica a todas las acciones posibles (por ejemplo, acciones con una estructura no causal o acciones con "flujos" de gauge ). Comienza con el álgebra clásica de todos los funcionales (suaves) sobre el espacio de configuración. Esta álgebra se cociente por el ideal generado por las ecuaciones de Euler-Lagrange . Luego, esta álgebra cociente se convierte en un álgebra de Poisson mediante la introducción de un corchete de Poisson derivable de la acción, llamado corchete de Peierls . Esta álgebra de Poisson se deforma entonces mediante ℏ de la misma manera que en la cuantización canónica.

En la teoría cuántica de campos , también hay una forma de cuantizar acciones con "flujos" de gauge . Esto implica el formalismo de Batalin-Vilkovisky , una extensión del formalismo BRST .

Uno de los primeros intentos de cuantización natural fue la cuantización de Weyl, propuesta por Hermann Weyl en 1927. ^{[ 6 ]} En ella, se intenta asociar una observable cuántico-mecánica (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert) con una función de valor real en el espacio de fases clásico. La posición y el momento en este espacio de fases se mapean a los generadores del grupo de Heisenberg, y el espacio de Hilbert aparece como una representación de grupo del grupo de Heisenberg. En 1946, H. J. Groenewold ^{[ 7 ]} consideró el producto de un par de tales observables y se preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fases clásico. Esto lo llevó a descubrir el producto estrella en el espacio de fases de un par de funciones. De manera más general, esta técnica conduce a la cuantización por deformación, donde el producto estrella se considera una deformación del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o una variedad de Poisson. Sin embargo, como esquema de cuantización natural (un functor ), el mapa de Weyl no es satisfactorio.

Por ejemplo, el mapa de Weyl del momento angular al cuadrado clásico no es solo el operador de momento angular al cuadrado cuántico, sino que además contiene un término constante ⁠ 3ħ ² / 2 ⁠ . (Este término de desplazamiento adicional es pedagógicamente significativo, ya que da cuenta del momento angular no nulo de la órbita de Bohr del estado fundamental en el átomo de hidrógeno, aunque el estado fundamental QM estándar del átomo tenga l nulo ). ^{[ 8 ]}

Sin embargo, como mero cambio de representación , el mapa de Weyl resulta útil e importante, ya que subyace a la formulación alternativa del espacio de fases equivalente de la mecánica cuántica convencional.

En física matemática, la cuantización geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica que corresponda a una teoría clásica dada. Busca llevar a cabo la cuantización, para la cual generalmente no existe una fórmula exacta, de manera que ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica permanezcan evidentes. Por ejemplo, debería incorporarse la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la representación heisenbergiana de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.

Un enfoque más geométrico de la cuantización, en el que el espacio de fase clásico puede ser una variedad simpléctica general, fue desarrollado en la década de 1970 por Bertram Kostant y Jean-Marie Souriau . El método procede en dos etapas. ^{[ 9 ]} Primero, se construye un "espacio de Hilbert precuántico" que consiste en funciones de cuadrado integrable (o, más propiamente, secciones de un fibrado de líneas) sobre el espacio de fase. Aquí se pueden construir operadores que satisfacen relaciones de conmutación que corresponden exactamente a las relaciones clásicas de corchetes de Poisson. Por otro lado, este espacio de Hilbert precuántico es demasiado grande para tener significado físico. Entonces se restringe a funciones (o secciones) que dependen de la mitad de las variables en el espacio de fase, lo que produce el espacio de Hilbert cuántico.

Una teoría mecánica clásica se define mediante una acción , cuyas configuraciones permisibles son las extremales con respecto a las variaciones funcionales de dicha acción. Una descripción cuántico-mecánica del sistema clásico también puede construirse a partir de la acción del sistema mediante la formulación de la integral de trayectoria .

• Gravedad cuántica de bucles (cuantización de bucles)
• Principio de incertidumbre (enfoque de la mecánica estadística cuántica)
• Principio de acción cuántica de Schwinger

• Ali, ST, & Engliš, M. (2005). «Métodos de cuantización: una guía para físicos y analistas». Reviews in Mathematical Physics 17 (04), 391-490. arXiv : math-ph/0405065 doi : 10.1142/S0129055X05002376
• Abraham, R. y Marsden (1985): Fundamentos de mecánica , ed. Addison–Wesley, ISBN 0-8053-0102-X
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H
• Woodhouse, Nicholas MJ (2007). Cuantización geométrica . Monografías matemáticas de Oxford (2.ª ed., reimpresión  ). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850270-8.
• Landsman, NP (2005-07-25). "Entre lo clásico y lo cuántico". arXiv : quant-ph/0506082 .
• M. Peskin, D. Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2
• Weinberg, Steven, La teoría cuántica de campos (3 volúmenes)
• Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Asia Pacific Physics Newsletter . 01 : 37–46 . arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 . 
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica (World Scientific, 2005) ISBN 981-256-129-3
• Todorov, Ivan (2012)."La cuantización es un misterio"". arXiv : 1206.3116 [ math-ph ].