Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

ecuación cuántica de Boltzmann

La ecuación de Boltzmann cuántica, también conocida como ecuación de Uehling-Uhlenbeck , [ 1 ] [ 2 ] es la modificación cuántica de la ecuación de Boltzmann , que proporciona la...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

La ecuación de Boltzmann cuántica, también conocida como ecuación de Uehling-Uhlenbeck , [ 1 ] [ 2 ] es la modificación cuántica de la ecuación de Boltzmann , que proporciona la evolución temporal fuera del equilibrio de un gas de partículas que interactúan cuánticamente. Típicamente, la ecuación de Boltzmann cuántica se da solo como el "término de colisión" de la ecuación de Boltzmann completa, que proporciona el cambio en la distribución de momento de un gas localmente homogéneo, pero no la deriva ni la difusión en el espacio. Fue formulada originalmente por LW Nordheim (1928), [ 3 ] y por EA Uehling y George Uhlenbeck (1933). [ 4 ]

En su forma más general (incluyendo los términos de deriva en el espacio p y en el espacio x, que a menudo se omiten), la ecuación se representa de forma análoga a la ecuación de Boltzmann. [∂∂t+v⋅∇incógnita+F⋅∇pag]F(incógnita,pag,t)=Q[F](incógnita,pag){\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{x}+\mathbf {F} \cdot \nabla _{p}\right]f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)={\mathcal {Q}}[f](\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}

dóndeF{\displaystyle \mathbf {F} }representa un potencial aplicado externamente que actúa sobre la distribución del espacio p del gas yQ{\displaystyle {\mathcal {Q}}}es el operador de colisión, que tiene en cuenta las interacciones entre las partículas de gas. La mecánica cuántica debe representarse en la forma exacta deQ{\displaystyle {\mathcal {Q}}}, que depende de la física del sistema que se va a modelar. [ 5 ]

La ecuación de Boltzmann cuántica da un comportamiento irreversible y, por lo tanto, una flecha del tiempo ; es decir, después de un tiempo suficientemente largo da una distribución de equilibrio que ya no cambia. Aunque la mecánica cuántica es microscópicamente reversible en el tiempo, la ecuación de Boltzmann cuántica da un comportamiento irreversible porque se descarta la información de fase [ 6 ], solo se conserva el número de ocupación promedio de los estados cuánticos. La solución de la ecuación de Boltzmann cuántica es, por lo tanto, una buena aproximación al comportamiento exacto del sistema en escalas de tiempo cortas en comparación con el tiempo de recurrencia de Poincaré , lo cual generalmente no es una limitación severa, porque el tiempo de recurrencia de Poincaré puede ser muchas veces la edad del universo incluso en sistemas pequeños.

La ecuación cuántica de Boltzmann se ha verificado mediante comparación directa con mediciones experimentales resueltas en el tiempo y, en general, ha encontrado mucho uso en la óptica de semiconductores . [ 7 ] Por ejemplo, se ha demostrado que la distribución de energía de un gas de excitones en función del tiempo (en picosegundos), medida utilizando una cámara de barrido , [ 8 ] se aproxima a una distribución de Maxwell-Boltzmann de equilibrio .

Aplicaciones

Aplicación a la física de semiconductores

Un modelo típico de un semiconductor puede construirse sobre las siguientes suposiciones:

  1. La distribución de electrones es espacialmente homogénea con una aproximación razonable (por lo que se puede suprimir toda dependencia de x).
  2. El potencial externo es función únicamente de la posición e isotrópico en el espacio p, y por lo tantoF{\displaystyle \mathbf {F} }puede establecerse en cero sin perder ninguna generalidad adicional
  3. El gas está suficientemente diluido como para que se puedan ignorar las interacciones de tres cuerpos entre los electrones.

Considerando el intercambio de momentoq{\displaystyle \mathbf {q} }entre electrones con momentos inicialesk{\displaystyle \mathbf {k} }yk1{\displaystyle \mathbf {k_{1}} }, es posible derivar la expresión Q[F](k)=−2ℏ(2π)5∫dq∫dk1|v^(q)|2×δ(ℏ22metro(|k−q|2+|k1+q|2−k12−k2))×[FkFk1(1−Fk−q)(1−Fk1+q)−Fk−qFk1+q(1−Fk)(1−Fk1)]{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Q}}[f](\mathbf {k} )&={\frac {-2}{\hbar (2\pi )^{5}}}\int d\mathbf {q} \int d\mathbf {k_{1}} |{\hat {v}}(\mathbf {q} )|^{2}\\&\quad \times \delta \!\left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(|\mathbf {kq} |^{2}+|\mathbf {k_{1}+q} |^{2}-\mathbf {k} _ {1}^{2}-\mathbf {k} ^{2})\right)\\&\quad \times \left[f_{\mathbf {k} }f_ {\mathbf {k_{1}} }(1-f_{\mathbf {kq} })(1-f_{\mathbf {k_{1}+q} })-f_{\mathbf {kq} }f_{\mathbf {k_{1}+q} }(1-f_{\mathbf {k} })(1-f_{\mathbf {k_{1}} })\right]\end{aligned}}}

Dispersión fonón-fonón

La dispersión fonón-fonón, regida por interacciones de red anarmónicas, termaliza la población de fonones en escalas de tiempo de decenas a cientos de picosegundos y es el principal mecanismo de resistencia térmica en aislantes y semiconductores [ 9 ] [ 10 ] . En este contexto, la ecuación de Boltzmann cuántica dependiente del tiempo también se conoce como ecuación de Peierls-Boltzmann. El hamiltoniano subyacente se escribe en segunda cuantización de la siguiente manera:

H^anh=13¡∑qν,q′ν′,q″ν″Ψqν,q′ν′,q″ν″(a^qν†−a^−qν)(a^q′ν′†−a^−q′ν′)(a^q″ν″†−a^−q″ν″){\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}_{\text{anh}}={\frac {1}{3!}}\sum _{\mathbf {q} \nu ,\,\mathbf {q} '\nu ',\,\mathbf {q} ''\nu ''}\Psi _{\mathbf {q} \nu ,\mathbf {q} '\nu ',\mathbf {q} ''\nu ''}\left({\hat {a}}_{\mathbf {q} \nu }^{\dagger }-{\hat {a}}_{-\mathbf {q} \nu }\right)\left({\hat {a}}_{\mathbf {q} '\nu '}^{\dagger }-{\hat {a}}_{-\mathbf {q} '\nu '}\right)\left({\hat {a}}_{\mathbf {q} ''\nu ''}^{\daga }-{\hat {a}}_{-\mathbf {q} ''\nu ''}\right)}

dóndea^qν†{\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {q} \nu }^{\daga }}ya^qν{\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {q} \nu }}son operadores de creación y aniquilación de fonones. El coeficiente de acoplamientoΨqν,q′ν′,q″ν″{\displaystyle \Psi _{\mathbf {q} \nu ,\mathbf {q} '\nu ',\mathbf {q} ''\nu ''}}se construye a partir de las constantes de fuerza interatómicas de tercer orden (IFC).Φ0b,norteb′,metrob″αβγ{\displaystyle \Phi _{0b,\,nb',\,mb''}^{\alpha \beta \gamma }}, que dan el cambio en la fuerza sobre el átomob{\displaystyle b}en la celda unitaria a lo largo de la direcciónα{\displaystyle \alpha }debido a desplazamientos simultáneos de átomosb′{\displaystyle b'}yb″{\displaystyle b''}en celdas unitariasnorte{\displaystyle n}ymetro{\displaystyle m}en las direccionesβ{\displaystyle \beta }yγ{\displaystyle \gamma }. [ 11 ]

Tras la transformada de Fourier y la proyección sobre los vectores de polarización de fononesmib,qνα{\displaystyle e_{b,\mathbf {q} \nu }^{\alpha }}, uno obtiene

Ψqν,q′ν′,q″ν″=iVδGRAMO,q+q′+q″∑b,b′,b″ℏ3metrobmetrob′metrob″ωqνωq′ν′ωq″ν″mib,qναmib′,q′ν′βmib″,q″ν″γΦqb,q′b′,q″b″αβγ{\displaystyle \Psi _{\mathbf {q} \nu ,\mathbf {q} '\nu ',\mathbf {q} ''\nu ''}={\frac {i}{\sqrt {V}}}\,\delta _{\mathbf {G} ,\,\mathbf {q} +\mathbf {q} '+\mathbf {q} ''}\sum _{b,b',b''}{\sqrt {\frac {\hbar ^{3}}{m_{b}m_{b'}m_{b''}\,\omega _{\mathbf {q} \nu }\,\omega _{\mathbf {q} '\nu '}\,\omega _{\mathbf {q} ''\nu ''}}}}\;e_{b,\mathbf {q} \nu }^{\alpha }\,e_{b',\mathbf {q} '\nu '}^{\beta }\,e_{b'',\mathbf {q} ''\nu ''}^{\gamma }\;\Phi _{\mathbf {q} b,\mathbf {q} 'b',\mathbf {q} ''b''}^{\alpha \beta \gamma }}

dóndeV{\displaystyle V}es el volumen del cristal,metrob{\displaystyle m_{b}}es la masa del átomob{\displaystyle b}y el delta de KroneckerδGRAMO,q+q′+q″{\displaystyle \delta _{\mathbf {G} ,\,\mathbf {q} +\mathbf {q} '+\mathbf {q} ''}}impone la conservación del momento cristalino módulo un vector de red recíprocaGRAMO{\displaystyle \mathbf {G} }.

Aplicando la regla de oro de Fermi aH^anh{\displaystyle {\sombrero {\mathcal {H}}}_{\text{anh}}}produce el término de colisión fonón-fonón. Para un modo fonónico(q,ν){\displaystyle (\mathbf {q},\nu)}, tres procesos distintos de tres fonones rigen la evolución temporal del número de ocupación de fonones [ 12 ] :

norte˙qν|pH-f=−2πℏ2∑kλ,k′λ′|Ψqν,kλ,k′λ′|2[D−(qν;kλ,k′λ′)+D+(qν;kλ,k′λ′)+D+(qν;k′λ′,kλ)]{\displaystyle {\dot {n}}_{\mathbf {q} \nu }{\big |}_{\text{ph-ph}}=-{\frac {2\pi }{\hbar ^{2}}}\sum _{\mathbf {k} \lambda ,\,\mathbf {k} '\lambda '}\left|\Psi _{\mathbf {q} \nu ,\mathbf {k} \lambda ,\mathbf {k} '\lambda '}\right|^{2}{\Big [}\,{\mathcal {D}}^{-}(\mathbf {q} \nu ;\mathbf {k} \lambda ,\mathbf {k} '\lambda ')+{\mathbf {D}}^{+}(\mathbf {q} \nu  ;\mathbf {k} \lambda ,\mathbf {k} '\lambda ')+{\mathcal {D}}^{+}(\mathbf {q} \nu  ;\mathbf {k} '\lambda ',\mathbf {k} \lambda )\,{\Grande ]}}

donde los tres términos corresponden a distintos canales de dispersión. El proceso, en el que un fonón se desintegra en dos,

D−=[norteqν(nortekλ+1)(nortek′λ′+1)−(norteqν+1)nortekλnortek′λ′]δ(ωqν−ωkλ−ωk′λ′){\displaystyle {\mathcal {D}}^{-}=\left[n_{\mathbf {q} \nu }(n_{\mathbf {k} \lambda }+1)(n_{\mathbf {k} '\lambda '}+1)-(n_{\mathbf {q} \nu }+1)\,n_{\mathbf {k} \lambda }\,n_{\mathbf {k} '\lambda '}\right]\delta (\omega _{\mathbf {q} \nu }-\omega _{\mathbf {k} \lambda }-\omega _{\mathbf {k} '\lambda '})}

y el proceso de coalescencia, en el que dos fonones se fusionan en uno,

D+=[norteqνnortekλ(nortek′λ′+1)−(norteqν+1)(nortekλ+1)nortek′λ′]δ(ωqν+ωkλ−ωk′λ′){\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}=\left[n_{\mathbf {q} \nu }\,n_{\mathbf {k} \lambda }(n_{\mathbf {k} '\lambda '}+1)-(n_{\mathbf {q} \nu }+1)(n_{\mathbf {k} \lambda }+1)\,n_{\mathbf {k} '\lambda '}\right]\delta (\omega _{\mathbf {q} \nu }+\omega _{\mathbf {k} \lambda }-\omega _{\mathbf {k} '\lambda '})}

En cada caso, la función delta impone la conservación de la energía, y los prefactores del número de ocupación respetan la estadística de Bose-Einstein. El tercer término es la inversión temporal del proceso de coalescencia.

Dinámica electrón-fonón

Las simulaciones de dinámica ultrarrápida basadas en la ecuación de Boltzmann dependiente del tiempo, parametrizada a partir de ab initio, se han utilizado ampliamente para describir procesos de no equilibrio que involucran electrones y fonones en la física de la materia condensada [ 13 ] . Las aplicaciones incluyen la investigación de la termalización de electrones y fonones después de la fotoirradiación [ 14 ] [ 15 ] , y el marco se ha extendido desde entonces a la dinámica de magnetización ultrarrápida en ferromagnetos fotoexcitados [ 16 ] [ 17 ] .

Entradas ab initio

Aunque la ecuación cuántica de Boltzmann es de naturaleza semiclasica —ya que especifica las ocupaciones (de, por ejemplo, electrones, fonones y magnones) en lugar de rastrear las trayectorias de partículas individuales— sus tasas de dispersión pueden parametrizarse a partir de cálculos de primeros principios dentro de un marco totalmente cuántico.

En el caso de la dispersión fonón-fonón, los datos de entrada ab initio son las IFC de tercer orden.Φαβγ{\displaystyle \Phi ^{\alpha \beta \gamma }}. Se calculan a partir de la teoría de perturbación funcional de la densidad (DFPT) o mediante diferencias finitas de las constantes de fuerza de segundo orden [ 18 ] .

Códigos como ShengBTE [ 19 ] utilizan este enfoque para calcular la conductividad térmica de la red a partir de primeros principios.

Referencias

  1. ↑ Filbet, Francis; Hu, Jingwei; Jin, Shi (2012). "Un esquema numérico para la ecuación de Boltzmann cuántica eficiente en el régimen fluido". Esaim: M2An . 46 (2): 443– 463. arXiv : 1009.3352 . doi : 10.1051/m2an/2011051 .
  2. ↑ Bao, Weizhu; Markowich, Peter; Pareschi, Lorenzo (2004). "Teoría cinética cuántica: modelado y métodos numéricos para la condensación de Bose-Einstein". Modelado y métodos computacionales para ecuaciones cinéticas . Modelado y simulación en ciencia, ingeniería y tecnología. pp. 287–320 . doi : 10.1007/978-0-8176-8200-2_10 . ISBN  978-1-4612-6487-3.
  3. ↑ Nordhiem, LW; Fowler, Ralph Howard (1928-07-02). "Sobre el método cinético en la nueva estadística y su aplicación en la teoría electrónica de la conductividad" . Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico . 119 (783): 689– 698. Bibcode : 1928RSPSA.119..689N . doi : 10.1098/rspa.1928.0126 .
  4. ↑ Uehling, EA; Uhlenbeck, GE (1933-04-01). "Fenómenos de transporte en gases de Einstein-Bose y Fermi-Dirac. I" . Physical Review . 43 (7): 552– 561. Bibcode : 1933PhRv...43..552U . doi : 10.1103/PhysRev.43.552 . ISSN 0031-899X . 
  5. ↑ Filbert, Francis; Hu, Jingwei; Jin, Shi (2012). "Un esquema numérico para la ecuación de Boltzmann cuántica eficiente en el régimen fluido". Esaim: M2An . 46 (2): 443– 463. arXiv : 1009.3352 . doi : 10.1051/m2an/2011051 .
  6. ↑ Snoke, DW; Liu, G.; Girvin, SM (2012). "La base de la segunda ley de la termodinámica en la teoría cuántica de campos". Annals of Physics . 327 (7): 1825– 1851. arXiv : 1112.3009 . Bibcode : 2012AnPhy.327.1825S . doi : 10.1016/j.aop.2011.12.016 . S2CID 118666925 . 
  7. ↑ Snoke, DW (2011). "La ecuación cuántica de Boltzmann en la física de semiconductores". Annalen der Physik . 523 ( 1– 2): 87– 100. arXiv : 1011.3849 . Bibcode : 2011AnP...523...87S . doi : 10.1002/andp.201000102 . S2CID 119250989 . 
  8. ↑ Snoke, DW; Braun, D.; Cardona, M. (1991). "Termalización de portadores en Cu 2 O: Emisión de fonones por excitones". Physical Review B . 44 (7): 2991– 3000. Bibcode : 1991PhRvB..44.2991S . doi : 10.1103/PhysRevB.44.2991 . PMID 9999890 . 
  9. ↑ Caruso, Fabio; Novko, Dino (2022). "Dinámica ultrarrápida de electrones y fonones: del modelo de dos temperaturas a la ecuación de Boltzmann dependiente del tiempo" . Advances in Physics: X. 7 ( 1) 2095925. arXiv : 2202.07237 . Bibcode : 2022AdPhX...795925C . doi : 10.1080/23746149.2022.2095925 . Recuperado el 9 de junio de 2026 .
  10. ↑ Caruso, Fabio; Novko, Dino (31-12-2022). "Dinámica ultrarrápida de electrones y fonones: del modelo de dos temperaturas a la ecuación de Boltzmann dependiente del tiempo". Advances in Physics: X . 7 (1) 2095925. Bibcode : 2022AdPhX...795925C . doi : 10.1080/23746149.2022.2095925 .
  11. ↑ Caruso, Fabio; Novko, Dino (31-12-2022). "Dinámica ultrarrápida de electrones y fonones: del modelo de dos temperaturas a la ecuación de Boltzmann dependiente del tiempo". Advances in Physics: X . 7 (1) 2095925. Bibcode : 2022AdPhX...795925C . doi : 10.1080/23746149.2022.2095925 .
  12. ↑ Ritzmann, Ulrike; Oppeneer, Peter M.; Maldonado, Pablo (18 de diciembre de 2020). "Teoría de la dinámica de electrones y fonones fuera del equilibrio en metales después de la excitación con láser de femtosegundos" . Physical Review B. 102 ( 21) 214305. Bibcode : 2020PhRvB.102u4305R . doi : 10.1103/PhysRevB.102.214305 . ISSN 2469-9950 . 
  13. ↑ Caruso, Fabio; Novko, Dino (2022). "Dinámica ultrarrápida de electrones y fonones: del modelo de dos temperaturas a la ecuación de Boltzmann dependiente del tiempo" . Advances in Physics: X. 7 2095925. arXiv : 2202.07237 . Bibcode : 2022AdPhX ...795925C . doi : 10.1080/23746149.2022.2095925 .
  14. ↑ Rethfeld, B.; Kaiser, A.; Vicanek, M.; Simon, G. (22 de mayo de 2002). "Dinámica ultrarrápida de electrones en desequilibrio en metales bajo irradiación láser de femtosegundos" . Physical Review B. 65 ( 21) 214303. Bibcode : 2002PhRvB..65u4303R . doi : 10.1103/PhysRevB.65.214303 . ISSN 0163-1829 . 
  15. ↑ Maldonado, Pablo; Carva, Karel; Flammer, Martina; Oppeneer, Peter M. (2017-11-27). "Teoría de la dinámica de relajación ultrarrápida fuera del equilibrio en metales" . Physical Review B. 96 ( 17) 174439. arXiv : 1708.01470 . Bibcode : 2017PhRvB..96q4439M . doi : 10.1103/PhysRevB.96.174439 . ISSN 2469-9950 . 
  16. ↑ Mueller, BY; Baral, A.; Vollmar, S.; Cinchetti, M.; Aeschlimann, M.; Schneider, HC; Rethfeld, B. (2013-10-16). "Efecto de retroalimentación durante la dinámica de desmagnetización ultrarrápida en ferromagnetos" . Physical Review Letters . 111 (16) 167204. Bibcode : 2013PhRvL.111p7204M . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.167204 . ISSN 0031-9007 . PMID 24182297 .  
  17. ↑ Mueller, BY; Roth, T; Cinchetti, M; Aeschlimann, M; Rethfeld, B (2011-12-07). "Fuerza impulsora de la dinámica de magnetización ultrarrápida" . New Journal of Physics . 13 (12) 123010. Bibcode : 2011NJPh...13l3010Y . doi : 10.1088/1367-2630/13/12/123010 . ISSN 1367-2630 . 
  18. ↑ Wei, Siqing; Chou, MY (1992-11-09). "Cálculo ab initio de constantes de fuerza y ​​dispersiones de fonones completas" . Physical Review Letters . 69 (19): 2799– 2802. Bibcode : 1992PhRvL..69.2799W . doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2799 . ISSN 0031-9007 . PMID 10046592 .  
  19. ↑ Li, Wu; Carrete, Jesús; A. Katcho, Nebil; Mingo, Natalio (2014). "ShengBTE: un solucionador de la ecuación de transporte de Boltzmann para fonones" . Comunicaciones de Física Informática . 185 (6): 1747–1758 . Bibcode : 2014CoPhC.185.1747L . doi : 10.1016/j.cpc.2014.02.015 .