Ecuación cuántica de Boltzmann

La ecuación cuántica de Boltzmann, también conocida como ecuación de Uehling-Uhlenbeck , ^{[1] [2]} es la modificación mecánico cuántica de la ecuación de Boltzmann , que da la evolución temporal de no equilibrio de un gas de partículas que interactúan mecánicamente cuánticamente. Típicamente, la ecuación cuántica de Boltzmann se da solo como el "término de colisión" de la ecuación de Boltzmann completa, dando el cambio de la distribución del momento de un gas localmente homogéneo, pero no la deriva y la difusión en el espacio. Fue formulada originalmente por LW Nordheim (1928), ^[3] y por EA Uehling y George Uhlenbeck (1933). ^[4]

En su generalidad completa (incluidos los términos de deriva del espacio p y del espacio x, que a menudo se descuidan), la ecuación se representa de forma análoga a la ecuación de Boltzmann. $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{x}+\mathbf {F} \cdot \nabla _{p}\right] f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)={\mathcal {Q}}[f](\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$$

donde representa un potencial aplicado externamente que actúa sobre la distribución del espacio p del gas y es el operador de colisión, que explica las interacciones entre las partículas del gas. La mecánica cuántica debe representarse en la forma exacta de , que depende de la física del sistema a modelar. ^[5]${\displaystyle \mathbf {F}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

La ecuación cuántica de Boltzmann da un comportamiento irreversible y, por lo tanto, una flecha del tiempo ; es decir, después de un tiempo suficientemente largo da una distribución de equilibrio que ya no cambia. Aunque la mecánica cuántica es microscópicamente reversible en el tiempo, la ecuación cuántica de Boltzmann da un comportamiento irreversible porque se descarta la información de fase ^[6] y solo se conserva el número medio de ocupación de los estados cuánticos. La solución de la ecuación cuántica de Boltzmann es, por tanto, una buena aproximación al comportamiento exacto del sistema en escalas de tiempo cortas en comparación con el tiempo de recurrencia de Poincaré , lo que normalmente no es una limitación grave, porque el tiempo de recurrencia de Poincaré puede ser muchas veces la edad del universo incluso en sistemas pequeños.

La ecuación cuántica de Boltzmann se ha verificado por comparación directa con mediciones experimentales resueltas en el tiempo y, en general, ha encontrado mucho uso en la óptica de semiconductores. ^{[7] Por ejemplo, se ha demostrado [8] que} la distribución de energía de un gas de excitones en función del tiempo (en picosegundos), medida utilizando una cámara de rayas, se aproxima a una distribución de Maxwell-Boltzmann de equilibrio .

Se puede construir un modelo típico de un semiconductor suponiendo que:

1. La distribución de electrones es espacialmente homogénea hasta una aproximación razonable (por lo que se puede suprimir toda dependencia de x)
2. El potencial externo es una función únicamente de la posición y es isótropo en el espacio p, por lo que puede establecerse en cero sin perder más generalidad.${\displaystyle \mathbf {F}}$
3. El gas está suficientemente diluido como para que se puedan ignorar las interacciones de tres cuerpos entre electrones.

Considerando el intercambio de momento entre electrones con momentos iniciales y , es posible derivar la expresión ${\displaystyle \mathbf {q}}$${\displaystyle \mathbf {k}}$${\displaystyle \mathbf {k_{1}}}$$${\displaystyle {\mathcal {Q}}[f](\mathbf {k} )={\frac {-2}{\hbar (2\pi )^{5}}}\int d\mathbf {q} \int d\mathbf {k_{1}} |{\hat {v}}(\mathbf {q} )|^{2}\delta \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m} }(|\mathbf {kq} |^{2}+|\mathbf {k_{1}+q} |^{2}-\mathbf {k} _{1}^{2}-\mathbf {k} ^{2})\right)\left[f_{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k_{1}} }(1-f_{\mathbf {kq} })(1-f_{\mathbf { k_{1}+q} })-f_{\mathbf {kq} }f_{\mathbf {k_{1}+q} }(1-f_{\mathbf {k} })(1-f_{\mathbf {k_{1}} } )\bien]}$$