Límite cuántico de Cramér-Rao

La cota de Cramér-Rao cuántica es el análogo cuántico de la cota de Cramér-Rao clásica . Limita la precisión alcanzable en la estimación de parámetros con un sistema cuántico:

${\displaystyle (\Delta \theta )^{2}\geq {\frac {1}{mF_{\rm {Q}}[\varrho ,H]}},}$

dónde${\displaystyle m}$es el número de repeticiones independientes, y${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]}$es la información cuántica de Fisher . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Aquí,${\displaystyle \varrho }$es el estado del sistema y${\displaystyle H}$es el hamiltoniano del sistema. Al considerar una dinámica unitaria del tipo

${\displaystyle \varrho (\theta )=\exp(-iH\theta )\varrho _{0}\exp(+iH\theta ),}$

dónde${\displaystyle \varrho _{0}}$es el estado inicial del sistema,${\displaystyle \theta }$es el parámetro que se debe estimar en función de las mediciones en${\displaystyle \varrho (\theta ).}$

Consideremos la descomposición de la matriz de densidad en componentes puros como

${\displaystyle \varrho =\sum _ {k}p_ {k}\vert \Psi _ {k}\rangle \langle \Psi _ {k}\vert .}$

La relación de incertidumbre de Heisenberg es válida para todos${\displaystyle \vert \Psi _ {k}\rangle }$

${\displaystyle (\Delta A)_{\Psi _{k}}^{2}(\Delta B)_{\Psi _{k}}^{2}\geq {\frac {1}{4}}|\langle i[A,B]\rangle _{\Psi _{k}}|^{2}.}$

A partir de estos, empleando la desigualdad de Cauchy-Schwarz llegamos a ^{[ 3 ].}

${\displaystyle (\Delta \theta )_{A}^{2}\geq {\frac {1}{4\min _{\{p_{k},\Psi _{k}\}}[\sum _{k}p_{k}(\Delta B)_{\Psi _{k}}^{2}]}}.}$

Aquí ^{[ 4 ]}

${\displaystyle (\Delta \theta )_{A}^{2}={\frac {(\Delta A)^{2}}{|\partial _{\theta }\langle A\rangle |^{2}}}={\frac {(\Delta A)^{2}}{|\langle i[A,B]\rangle |^{2}}}}$

es la fórmula de propagación de errores, que nos indica aproximadamente qué tan bien${\displaystyle \theta }$se puede estimar midiendo${\displaystyle A.}$Además, el techo convexo de la varianza se da como ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle \min _{\{p_{k},\Psi _{k}\}}\left[\sum _{k}p_{k}(\Delta B)_{\Psi _{k}}^{2}\right]={\frac {1}{4}}F_{Q}[\varrho ,B],}$

dónde${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$es la información cuántica de Fisher .