Efecto Hall cuántico

La cuantización de la conductancia de Hall (${\displaystyle G_{xy}=1/R_{xy}}$) tiene la importante propiedad de ser extremadamente preciso. ^{[ 4 ]} Se ha encontrado que las mediciones reales de la conductancia de Hall son múltiplos enteros o fraccionarios de ⁠ e ² / h ⁠ con una precisión superior a una parte en mil millones. ^{[ 5 ]} Ha permitido la definición de un nuevo estándar práctico para la resistencia eléctrica , basado en el cuanto de resistencia dado por la constante de von Klitzing R _K. Este recibe su nombre de Klaus von Klitzing , el descubridor de la cuantización exacta. El efecto Hall cuántico también proporciona una determinación independiente extremadamente precisa de la constante de estructura fina , una magnitud de importancia fundamental en la electrodinámica cuántica .

En 1990, un valor convencional fijo R _K-90 =25 812 .807  Ω se definió para su uso en calibraciones de resistencia en todo el mundo. ^{[ 6 ]} Posteriormente, la revisión de 2019 del SI fijó valores exactos de h y e , lo que resultó en un R _K exacto = ⁠ h / e ² ⁠ =25 812 .807 45 ...  Ω . ^{[ 7 ]}

En dos dimensiones, cuando los electrones clásicos se ven sometidos a un campo magnético, siguen órbitas ciclotrónicas circulares. Al tratar el sistema desde una perspectiva cuántica, estas órbitas se cuantizan. Para determinar los valores de los niveles de energía, es necesario resolver la ecuación de Schrödinger.

Dado que el sistema está sometido a un campo magnético, este debe introducirse como un potencial vectorial electromagnético en la ecuación de Schrödinger . El sistema considerado es un gas de electrones que puede moverse libremente en las direcciones x e y, pero está fuertemente confinado en la dirección z. Entonces, se aplica un campo magnético en la dirección z y, según el calibre de Landau, el potencial vectorial electromagnético es${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$y el potencial escalar es${\displaystyle \phi =0}$. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger para una partícula de carga ${\displaystyle q}$y masa efectiva${\displaystyle m^{*}}$En este sistema es:

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\psi (x,y,z)=\varepsilon \psi (x,y,z)}$

dónde${\displaystyle \mathbf {p} }$ es el momento canónico, que es reemplazado por el operador${\displaystyle -i\hbar \nabla }$y${\displaystyle \varepsilon }$es la energía total.

Para resolver esta ecuación, es posible separarla en dos ecuaciones, ya que el campo magnético solo afecta el movimiento a lo largo de los ejes x e y. La energía total se convierte entonces en la suma de dos contribuciones.${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _ {z}+\varepsilon _ {xy}}$La ecuación correspondiente en el eje z es:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+V(z)\right]u(z)=\varepsilon _ {z}u(z)}$

Para simplificar las cosas, la solución es${\displaystyle V(z)}$se considera como un pozo infinito. Por lo tanto, las soluciones para la dirección z son las energías${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$,${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$ y las funciones de onda son sinusoidales. Para el${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$direcciones, la solución de la ecuación de Schrödinger puede elegirse como el producto de una onda plana en${\displaystyle y}$-dirección con alguna función desconocida de${\displaystyle x}$, es decir,${\displaystyle \psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}}$Esto se debe a que el potencial vectorial no depende de${\displaystyle y}$y el operador de momento${\displaystyle {\sombrero {p}}_{y}}$Por lo tanto, conmuta con el hamiltoniano. Al sustituir este Ansatz en la ecuación de Schrödinger se obtiene la ecuación del oscilador armónico unidimensional centrado en${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$.

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}\omega _{\rm {c}}^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})^{2}\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

dónde${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$se define como la frecuencia ciclotrónica y${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$la longitud magnética. Las energías son:

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)}$, ${\displaystyle n_{x}=1,2,3...}$

Y las funciones de onda para el movimiento en el${\displaystyle xy}$Los planos se dan por el producto de una onda plana en${\displaystyle y}$y polinomios de Hermite atenuados por la función gaussiana en${\displaystyle x}$, que son las funciones de onda de un oscilador armónico.

De la expresión para los niveles de Landau se observa que la energía depende únicamente de${\displaystyle n_{x}}$, no en${\displaystyle k_{y}}$Estados con el mismo${\displaystyle n_{x}}$pero diferente${\displaystyle k_{y}}$son degenerados.

En campo cero, la densidad de estados por unidad de superficie para el gas de electrones bidimensional teniendo en cuenta la degeneración debida al espín es independiente de la energía.

${\displaystyle n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$.

Cuando se activa el campo, la densidad de estados colapsa de la constante a un peine de Dirac , una serie de Dirac.${\displaystyle \delta }$funciones, correspondientes a los niveles de Landau separados${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}}$Sin embargo, a temperatura finita, los niveles de Landau adquieren un ancho${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _ {i}}}}$ ser${\displaystyle \tau _{i}}$ el tiempo entre eventos de dispersión. Comúnmente se asume que la forma precisa de los niveles de Landau es un perfil gaussiano o lorentziano .

Otra característica es que las funciones de onda forman franjas paralelas en el${\displaystyle y}$-dirección espaciada uniformemente a lo largo de la${\displaystyle x}$eje, a lo largo de las líneas de${\displaystyle \mathbf {A} }$. Dado que no hay nada especial en ninguna dirección en el${\displaystyle xy}$-plano si el potencial vectorial se eligiera de manera diferente, se debería encontrar simetría circular.

Dado un ejemplo de dimensiones${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$y aplicando las condiciones de contorno periódicas en el${\displaystyle y}$-dirección${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$,${\displaystyle j}$Siendo un número entero, se obtiene que cada potencial parabólico se coloca en un valor${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$.

El número de estados para cada nivel de Landau y${\displaystyle k}$se puede calcular a partir de la relación entre el flujo magnético total que pasa a través de la muestra y el flujo magnético correspondiente a un estado.

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&\omega _{\rm {c}}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}A}{2\pi \hbar }}}$

Por lo tanto, la densidad de estados por unidad de superficie es

${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}}$.

Nótese la dependencia de la densidad de estados con el campo magnético. Cuanto mayor sea el campo magnético, mayor será el número de estados en cada nivel de Landau. En consecuencia, el sistema se encuentra más confinado, ya que se ocupan menos niveles de energía.

Reescribiendo la última expresión como${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$Está claro que cada nivel de Landau contiene tantos estados como en un 2DEG en un${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar \omega _{\rm {c}}}$.

Dado que los electrones son fermiones , cada estado disponible en los niveles de Landau corresponde a dos electrones, uno con cada valor de espín.${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$Sin embargo, si se aplica un campo magnético grande, las energías se dividen en dos niveles debido al momento magnético asociado con la alineación del espín con el campo magnético. La diferencia en las energías es${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$ser${\displaystyle g}$ un factor que depende del material (${\displaystyle g=2}$para electrones libres) y${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$el magnetón de Bohr . El signo${\displaystyle +}$ se toma cuando el giro es paralelo al campo y${\displaystyle -}$ cuando es antiparalelo. Este hecho, llamado desdoblamiento de espín, implica que la densidad de estados para cada nivel se reduce a la mitad. Tenga en cuenta que${\displaystyle \Delta E}$ es proporcional al campo magnético, por lo que cuanto mayor sea el campo magnético, más relevante será la división.

Para obtener el número de niveles de Landau ocupados, se define el llamado factor de llenado.${\displaystyle \nu }$como la relación entre la densidad de estados en un 2DEG y la densidad de estados en los niveles de Landau.

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{\rm {2D}}}{n_{B}}}={\frac {hn_{\rm {2D}}}{eB}}}$

En general, el factor de llenado${\displaystyle \nu }$no es un número entero. Resulta ser un número entero cuando hay un número exacto de niveles de Landau llenos. En cambio, se convierte en un número no entero cuando el nivel superior no está completamente ocupado. En experimentos reales, se varía el campo magnético y se mantiene fija la densidad electrónica (¡y no la energía de Fermi!) o se varía la densidad electrónica y se mantiene fijo el campo magnético. Ambos casos corresponden a una variación continua del factor de llenado.${\displaystyle \nu }$y uno no puede esperar${\displaystyle \nu }$ser un número entero. Dado que${\displaystyle n_{B}\propto B}$, al aumentar el campo magnético, los niveles de Landau se mueven hacia arriba en energía y el número de estados en cada nivel crece, por lo que menos electrones ocupan el nivel superior hasta que queda vacío. Si el campo magnético sigue aumentando, eventualmente, todos los electrones estarán en el nivel de Landau más bajo (${\displaystyle \nu <1}$) y esto se denomina límite cuántico magnético.

Es posible relacionar el factor de llenado con la resistividad y, por lo tanto, con la conductividad del sistema. Cuando${\displaystyle \nu }$ es un número entero, la energía de Fermi se encuentra entre los niveles de Landau donde no hay estados disponibles para los portadores, por lo que la conductividad se vuelve cero (se considera que el campo magnético es lo suficientemente grande como para que no haya superposición entre los niveles de Landau, de lo contrario habría pocos electrones y la conductividad sería aproximadamente${\displaystyle 0}$). En consecuencia, la resistividad también se vuelve cero (en campos magnéticos muy altos se ha demostrado que la conductividad longitudinal y la resistividad son proporcionales). ^{[ 20 ]}

Con la conductividad${\displaystyle \sigma =\rho ^{-1}}$uno encuentra

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\det \rho }}{\begin{pmatrix}\rho _{yy}&-\rho _{xy}\\-\rho _{yx}&\rho _{xx}\end{pmatrix}}\;.}$

Si la resistividad longitudinal es cero y la transversal es finita, entonces${\displaystyle \det \rho \neq 0}$De este modo, tanto la conductividad longitudinal como la resistividad se vuelven cero.

En cambio, cuando${\displaystyle \nu }$ Si es un número semi-entero, la energía de Fermi se encuentra en el pico de la distribución de densidad de algún nivel de Landau. Esto significa que la resistividad tendrá un máximo debido al aumento de la dispersión.

Esta distribución de mínimos y máximos corresponde a las oscilaciones cuánticas de Shubnikov-de Haas , que adquieren mayor relevancia a medida que aumenta el campo magnético. Evidentemente, la altura de los picos es mayor al aumentar el campo magnético, ya que la densidad de estados se incrementa con el campo, lo que implica un mayor número de portadores que contribuyen a la resistividad. Cabe destacar que, si el campo magnético es muy pequeño, la resistividad longitudinal es constante, lo que significa que se alcanza el resultado clásico.

A partir de la relación clásica de la resistividad transversal${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$y sustituyendo${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ Se determina la cuantización de la resistividad y conductividad transversales:

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

Se concluye entonces que la resistividad transversal es un múltiplo del inverso del llamado cuanto de conductancia.${\displaystyle e^{2}/h}$si el factor de llenado es un número entero. Sin embargo, en los experimentos se observan mesetas para rangos completos de valores de llenado.${\displaystyle \nu }$Esto indica que, de hecho, existen estados electrónicos entre los niveles de Landau. Estos estados se localizan, por ejemplo, en impurezas del material, donde quedan atrapados en órbitas y, por lo tanto, no contribuyen a la conductividad. Por eso, la resistividad permanece constante entre los niveles de Landau. De nuevo, si el campo magnético disminuye, se obtiene el resultado clásico en el que la resistividad es proporcional al campo magnético.