Relación de conmutación canónica

En mecánica cuántica , la relación de conmutación canónica es la relación fundamental entre cantidades canónicas conjugadas (cantidades que están relacionadas por definición de tal manera que una es la transformada de Fourier de la otra). Por ejemplo, $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }$$

entre el operador de posición x y el operador de momento p _x en la dirección x de una partícula puntual en una dimensión, donde [ x , p _x ] = x p _x − p _x x es el conmutador de x y p _x , i es la unidad imaginaria , y ℏ es la constante de Planck reducida ( h /2 π ), y${\displaystyle \mathbb {I} }$es el operador unitario. En dimensiones finitas, la posición y el momento son vectores de operadores y su relación de conmutación entre diferentes componentes de la posición y el momento se puede expresar como $${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$ dónde${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker .

Esta relación se atribuye a Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan (1925), ^{[ 1 ] [ 2 ]} quienes la denominaron una "condición cuántica" que sirve como postulado de la teoría; E. Kennard (1927) ^{[ 3 ]} señaló que implica el principio de incertidumbre de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann proporciona un resultado de unicidad para operadores que satisfacen (una forma exponenciada de) la relación de conmutación canónica.

Por el contrario, en la física clásica , todas las observables conmutan y el conmutador sería cero. Sin embargo, existe una relación análoga, que se obtiene reemplazando el conmutador por el corchete de Poisson multiplicado por${\displaystyle i\hbar }$, $${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$$

Esta observación llevó a Dirac a proponer que las contrapartes cuánticas${\displaystyle {\hat {f}}}$,${\displaystyle {\hat {g}}}$de observables clásicos f , g satisfacen $${\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}$$

En 1946, Hip Groenewold demostró que no podía existir una correspondencia sistemática general entre conmutadores cuánticos y corchetes de Poisson de forma consistente. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Sin embargo, reconoció además que, de hecho, existe una correspondencia sistemática entre el conmutador cuántico y una deformación del corchete de Poisson, hoy llamado corchete de Moyal , y, en general, entre los operadores cuánticos y las observables y distribuciones clásicas en el espacio de fases . Así, dilucidó finalmente el mecanismo de correspondencia consistente, la transformada de Wigner-Weyl , que subyace a una representación matemática equivalente alternativa de la mecánica cuántica conocida como cuantización por deformación . ^{[ 4 ] [ 6 ]}

El grupo${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$generado por la exponenciación del álgebra de Lie tridimensional determinada por la relación de conmutación${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$se llama grupo de Heisenberg . Este grupo se puede realizar como el grupo de${\displaystyle 3\times 3}$Matrices triangulares superiores con unos en la diagonal. ^{[ 7 ]}

Según la formulación matemática estándar de la mecánica cuántica , los observables cuánticos como${\displaystyle {\hat {x}}}$y${\displaystyle {\hat {p}}}$deben representarse como operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert . Es relativamente fácil ver que dos operadores que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas anteriores no pueden estar ambos acotados . Ciertamente, si${\displaystyle {\hat {x}}}$y${\displaystyle {\hat {p}}}$eran operadores de clase de traza , la relación${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$da un número distinto de cero a la derecha y cero a la izquierda.

Alternativamente, si${\displaystyle {\hat {x}}}$y${\displaystyle {\hat {p}}}$eran operadores acotados, tenga en cuenta que${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$, por lo tanto, las normas del operador se cumplirían $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}$$de modo que, para cualquier n , $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }$$ Sin embargo, n puede ser arbitrariamente grande, por lo que al menos un operador no puede ser acotado, y la dimensión del espacio de Hilbert subyacente no puede ser finita. Si los operadores satisfacen las relaciones de Weyl (una versión exponenciada de las relaciones de conmutación canónicas, descritas más adelante), entonces, como consecuencia del teorema de Stone-von Neumann , ambos operadores deben ser no acotados.

Sin embargo, estas relaciones de conmutación canónicas pueden hacerse algo más "suaves" escribiéndolas en términos de operadores unitarios (acotados).${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}$y${\displaystyle \exp(es{\hat {p}})}$Las relaciones de trenzado resultantes para estos operadores son las llamadas relaciones de Weyl .$${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).}$$ Estas relaciones pueden considerarse como una versión exponenciada de las relaciones de conmutación canónicas; reflejan que las traslaciones en posición y las traslaciones en momento no conmutan. Es fácil reformular las relaciones de Weyl en términos de las representaciones del grupo de Heisenberg .

La unicidad de las relaciones de conmutación canónicas —en la forma de las relaciones de Weyl— queda entonces garantizada por el teorema de Stone-von Neumann .

Por razones técnicas, las relaciones de Weyl no son estrictamente equivalentes a la relación de conmutación canónica.${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$. Si${\displaystyle {\hat {x}}}$y${\displaystyle {\hat {p}}}$Si los operadores fueran acotados, entonces un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff permitiría "exponenciar" las relaciones de conmutación canónicas a las relaciones de Weyl. ^{[ 8 ]} Dado que, como hemos señalado, cualquier operador que satisfaga las relaciones de conmutación canónicas debe ser no acotado, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff no se aplica sin supuestos de dominio adicionales. De hecho, existen contraejemplos que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas pero no las de Weyl. ^{[ 9 ]} (Estos mismos operadores dan un contraejemplo a la forma ingenua del principio de incertidumbre). Estas cuestiones técnicas son la razón por la que el teorema de Stone-von Neumann se formula en términos de las relaciones de Weyl.

Una versión discreta de las relaciones de Weyl, en la que los parámetros s y t varían sobre${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$, se puede realizar en un espacio de Hilbert de dimensión finita mediante las matrices de reloj y desplazamiento .

Se puede demostrar que $${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$$

Usando${\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}$Se puede demostrar que, mediante inducción matemática,$${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {x}}^{nk}{\hat {p}}^{mk}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {p}}^{mk}{\hat {x}}^{nk}},}$$ generalmente conocida como la fórmula de McCoy. ^{[ 10 ]}

Además, la fórmula simple $${\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}$$ válido para la cuantización del sistema clásico más simple, puede generalizarse al caso de un lagrangiano arbitrario.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. ^{[ 11 ]} Identificamos coordenadas canónicas (como x en el ejemplo anterior, o un campo Φ( x ) en el caso de la teoría cuántica de campos ) y momentos canónicos π _x (en el ejemplo anterior es p , o más generalmente, algunas funciones que involucran las derivadas de las coordenadas canónicas con respecto al tiempo): $${\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}$$

Esta definición del momento canónico garantiza que una de las ecuaciones de Euler-Lagrange tenga la forma $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}$$

Las relaciones de conmutación canónicas equivalen entonces a $${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}$$ donde δ _ij es la delta de Kronecker .

La cuantización canónica se aplica, por definición, a coordenadas canónicas . Sin embargo, en presencia de un campo electromagnético , el momento canónico p no es invariante de gauge . El momento invariante de gauge correcto (o "momento cinético") es

${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}$ ( Unidades del SI )    ${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}$ ( unidades cgs ),

donde q es la carga eléctrica de la partícula , A es el potencial vectorial y c es la velocidad de la luz . Aunque la cantidad p _kin es el "momento físico", en el sentido de que es la cantidad que se identifica con el momento en los experimentos de laboratorio, no satisface las relaciones de conmutación canónicas; solo el momento canónico lo hace. Esto se puede ver de la siguiente manera.

El hamiltoniano no relativista para una partícula cargada cuantizada de masa m en un campo electromagnético clásico es (en unidades cgs): $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }$$ donde A es el potencial tridimensional y φ es el potencial escalar . Esta forma del hamiltoniano, así como la ecuación de Schrödinger Hψ = iħ∂ψ/∂t , las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz son invariantes bajo la transformación de gauge. $${\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }$$$${\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$$$${\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }$$$${\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}$$ dónde$${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}$$y Λ = Λ( x , t ) es la función de calibre.

El operador de momento angular es $${\displaystyle L=r\times p\,\!}$$ y obedece las relaciones de cuantización canónicas $${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}$$ definiendo el álgebra de Lie para so(3) , donde${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$es el símbolo de Levi-Civita . Bajo transformaciones de gauge, el momento angular se transforma como $${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$$

El momento angular invariante de gauge (o "momento angular cinético") viene dado por $${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}$$ que tiene las relaciones de conmutación $${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}$$ dónde$${\displaystyle B=\nabla \times A}$$es el campo magnético . La no equivalencia de estas dos formulaciones se manifiesta en el efecto Zeeman y el efecto Aharonov-Bohm .

Todas estas relaciones de conmutación no triviales para pares de operadores conducen a relaciones de incertidumbre correspondientes , ^{[ 12 ]} que involucran contribuciones de expectativa semidefinidas positivas por sus respectivos conmutadores y anticonmutadores. En general, para dos operadores hermíticos A y B , consideremos valores esperados en un sistema en el estado ψ , siendo las varianzas alrededor de los valores esperados correspondientes (Δ A ) ² ≡ ⟨ ( A − ⟨ A ⟩ ) ² ⟩ , etc.

Entonces $${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}$$ donde [ A , B ] ≡ A B − B A es el conmutador de A y B , y { A , B } ≡ A B + B A es el anticonmutador .

Esto se deduce mediante el uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , ya que | ⟨ A ² ⟩ | | ⟨ B ² ⟩ | ≥ | ⟨ A B ⟩ | ² , y A B = ([ A , B ] + { A , B })/2 ; y de forma similar para los operadores desplazados A − ⟨ A ⟩ y B − ⟨ B ⟩ . (Véase también las derivaciones del principio de incertidumbre ).

Sustituyendo A y B (y teniendo cuidado con el análisis) se obtiene la conocida relación de incertidumbre de Heisenberg para x y p , como de costumbre.

Para los operadores de momento angular L _x = y p _z − z p _y , etc., se tiene que $${\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$$ dónde${\displaystyle \epsilon _{xyz}}$es el símbolo de Levi-Civita y simplemente invierte el signo de la respuesta al intercambiar los índices por pares. Una relación análoga se aplica a los operadores de espín .

Aquí, para L _x y L _y , ^{[ 12 ]} en multipletes de momento angular ψ = | ℓ , m ⟩ , se tiene, para las componentes transversales del invariante de Casimir L _x ² + L _y ² + L _z ² , las relaciones z -simétricas

⟨ L _x ² ⟩ = ⟨ L _y ² ⟩ = ( ℓ ( ℓ + 1) − m ² ) ℏ ² /2 ,

así como ⟨ L _x ⟩ = ⟨ L _y ⟩ = 0 .

En consecuencia, la desigualdad anterior aplicada a esta relación de conmutación especifica $${\displaystyle \Delta L_{x}\,\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}$$ por eso $${\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert }$$ y por lo tanto $${\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}$$ Entonces, produce restricciones útiles como una cota inferior en el invariante de Casimir : ℓ ( ℓ + 1) ≥ | m | ( | m | + 1) , y por lo tanto ℓ ≥ | m | , entre otras.

• Cuantización canónica
• Álgebras CCR y CAR
• Espaciotiempos conformstáticos
• Derivada de Lie
• Soporte Moyal
• Teorema de Stone-von Neumann

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  267, Springer.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer.