Código convolucional cuántico

Los códigos de bloques cuánticos son útiles en la computación cuántica y en las comunicaciones cuánticas . El circuito de codificación para un código de bloques grande suele tener una alta complejidad, aunque los de los códigos modernos tienen una complejidad menor.

La teoría de la codificación convolucional cuántica ofrece un paradigma diferente para la codificación de información cuántica. La estructura convolucional resulta útil en escenarios de comunicación cuántica donde un emisor dispone de un flujo de cúbits para enviar a un receptor. El circuito de codificación para un código convolucional cuántico tiene una complejidad mucho menor que el circuito necesario para un código de bloques extenso. Además, presenta un patrón repetitivo, lo que permite que los mismos dispositivos físicos o las mismas rutinas manipulen el flujo de información cuántica.

Los códigos estabilizadores convolucionales cuánticos se basan en gran medida en la estructura de sus contrapartes clásicas . Son similares porque algunos de los cúbits retroalimentan una unidad de codificación repetida, lo que les confiere una estructura de memoria similar a la de un código convolucional clásico. Los códigos cuánticos permiten la codificación y decodificación en línea de los cúbits. Esta característica les otorga una baja complejidad de codificación y decodificación, así como la capacidad de corregir un conjunto de errores mayor que un código de bloques con parámetros similares.

Un código estabilizador convolucional cuántico actúa sobre un espacio de Hilbert.${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ que es un producto tensorial infinito numerable de espacios de Hilbert de cúbits bidimensionales indexados sobre enteros ≥ 0 ${\displaystyle \left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}}$:

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ {\mathcal {H}}_{i}.}$

Una secuencia ${\displaystyle \mathbf {A} }$de matrices de Pauli${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}}$, dónde

${\displaystyle \mathbf {A} ={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ A_{i},}$

puede actuar sobre los estados en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Dejar${\displaystyle \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}}$denotamos el conjunto de todas las secuencias de Pauli. El soporte supp${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$de una secuencia de Pauli${\displaystyle \mathbf {A} }$es el conjunto de índices de las entradas en${\displaystyle \mathbf {A} }$que no son iguales a la identidad. El peso de una secuencia${\displaystyle \mathbf {A} }$es el tamaño${\displaystyle \left\vert {\text{supp}}\left(\mathbf {A} \right)\right\vert }$de su apoyo. El retraso del${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$de una secuencia${\displaystyle \mathbf {A} }$es el índice más pequeño para una entrada que no es igual a la identidad. El grado deg${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$de una secuencia${\displaystyle \mathbf {A} }$es el índice más grande para una entrada que no es igual a la identidad. Por ejemplo, la siguiente secuencia de Pauli

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}I&X&I&Y&Z&I&I&\cdots \end{array}},}$

tiene apoyo${\displaystyle \left\{1,3,4\right\}}$, peso tres, retardo uno y grado cuatro. Una secuencia tiene soporte finito si su peso es finito. Sea ${\displaystyle F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})}$denotamos el conjunto de secuencias de Pauli con soporte finito. La siguiente definición para un código convolucional cuántico utiliza el conjunto${\displaystyle F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})}$en su descripción.

Una tasa${\displaystyle k/n}$-código estabilizador convolucional con${\displaystyle 0\leq k\leq n}$es un conjunto de transporte diario${\displaystyle {\mathcal {G}}}$de todos${\displaystyle n}$-desplazamientos de cúbits de un conjunto generador básico${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$El conjunto generador básico${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$tiene ${\displaystyle nk}$Secuencias de Pauli de soporte finito:

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\left\{\mathbf {G} _{i}\in F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}):1\leq i\leq nk\right\}.}$

La longitud de la restricción${\displaystyle \nu }$del código es el grado máximo de los generadores en${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$. Un marco del código consta de${\displaystyle n}$cúbits.

Un código convolucional cuántico admite una definición equivalente en términos de la transformada de retardo o${\displaystyle D}$-transformar. El${\displaystyle D}$-transform captura los desplazamientos del conjunto generador básico${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$. Definamos el${\displaystyle n}$operador de retardo de cúbit${\displaystyle D}$actuando sobre cualquier secuencia de Pauli${\displaystyle \mathbf {A} \en \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}}$como sigue:

${\displaystyle D\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes n}\otimes \mathbf {A.} }$

Podemos escribir${\displaystyle j}$aplicaciones repetidas de${\displaystyle D}$como un poder de${\displaystyle D}$:

${\displaystyle D^{j}\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes jn}\otimes \mathbf {A.} }$

Dejar${\displaystyle D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right)}$ser el conjunto de cambios de elementos de${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$por${\displaystyle j}$. Luego el estabilizador completo${\displaystyle {\mathcal {G}}}$para el código del estabilizador convolucional es

${\displaystyle {\mathcal {G}}={\textstyle \bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} ^{+}}}D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right).}$

El funcionamiento de un código estabilizador convolucional es el siguiente. El protocolo comienza con el emisor codificando un flujo de cúbits con un circuito de codificación en línea como el que se muestra en (Grassl y Roetteler 2006). El circuito de codificación está en línea si actúa sobre unos pocos bloques de cúbits a la vez. El emisor transmite un conjunto de cúbits tan pronto como el primer unitario termina de procesarlos. El receptor mide todos los generadores en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$y corrige los errores a medida que recibe los cúbits codificados en línea. Finalmente, decodifica los cúbits codificados con un circuito de decodificación. Los cúbits decodificados mediante este procedimiento convolucional deberían estar libres de errores y listos para la computación cuántica en el extremo receptor.

Un circuito de profundidad finita mapea una secuencia de Pauli con peso finito a una con peso finito (Ollivier y Tillich 2004). No mapea una secuencia de Pauli con peso finito a una con peso infinito. Esta propiedad es importante porque no queremos que el circuito de decodificación propague errores no corregidos en el flujo de cúbits de información (Johannesson y Zigangirov 1999). Un circuito de decodificación de profundidad finita correspondiente al estabilizador${\displaystyle {\mathcal {G}}}$Existe según el algoritmo dado en (Grassl y Roetteler 2006).

Forney et al. proporcionaron un ejemplo de un código convolucional cuántico de tasa 1/3 mediante la importación de un código convolucional cuaternario clásico particular (Forney y Guha 2005). Grassl y Roetteler determinaron un circuito de codificación no catastrófico para el código convolucional cuántico de tasa 1/3 de Forney et al. (Grassl y Roetteler 2006). El estabilizador básico y su primer desplazamiento son los siguientes:

${\displaystyle \cdots {\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|}I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I\\\end{array}}\cdots }$

El código consta de todos los desplazamientos de tres cúbits de los generadores mencionados. Las barras verticales sirven como ayuda visual para ilustrar los desplazamientos de tres cúbits de los generadores básicos. El código puede corregir un error arbitrario de un solo cúbit en cada segundo fotograma.

Wilde y Brun han integrado la teoría de los códigos estabilizadores asistidos por entrelazamiento y los códigos convolucionales cuánticos en una serie de artículos (Wilde y Brun 2007a, 2007b, 2008, 2009) para formar una teoría de la codificación convolucional cuántica asistida por entrelazamiento. Esta teoría supone que un emisor y un receptor comparten un entrelazamiento bipartito sin ruido que pueden aprovechar para proteger un flujo de información cuántica.

(Wilde 2009), basándose en el trabajo de (Ollivier y Tillich 2004) y (Grassl y Roetteler 2006), también mostró cómo codificar estos códigos con circuitos de registro de desplazamiento cuántico, una extensión natural de la teoría de los circuitos de registro de desplazamiento clásicos .

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