Grupo cuántico

En matemáticas y física teórica , el término grupo cuántico designa uno de los distintos tipos de álgebras no conmutativas con estructura adicional. Entre ellas se incluyen los grupos cuánticos de tipo Drinfeld-Jimbo (que son álgebras de Hopf cuasitriangulares ), los grupos cuánticos de matrices compactas (que son estructuras sobre álgebras C* separables unitarias ) y los grupos cuánticos de biproducto cruzado. A pesar de su nombre, no poseen una estructura de grupo natural, aunque en cierto sentido se asemejan a un grupo.

El término "grupo cuántico" apareció por primera vez en la teoría de sistemas cuánticos integrables , que posteriormente fue formalizada por Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una clase particular de álgebra de Hopf . El mismo término también se utiliza para otras álgebras de Hopf que deforman o son similares a los grupos de Lie clásicos o a las álgebras de Lie , como la clase de grupos cuánticos "bicrossproduct" introducida por Shahn Majid poco después del trabajo de Drinfeld y Jimbo.

En el enfoque de Drinfeld, los grupos cuánticos surgen como álgebras de Hopf que dependen de un parámetro auxiliar q o h , las cuales se convierten en álgebras envolventes universales de un cierto álgebra de Lie, frecuentemente semisimple o afín , cuando q = 1 o h = 0. Estrechamente relacionados están ciertos objetos duales, también álgebras de Hopf y también llamados grupos cuánticos, que deforman el álgebra de funciones en el grupo algebraico semisimple correspondiente o en un grupo de Lie compacto .

Significado intuitivo

El descubrimiento de los grupos cuánticos fue bastante inesperado, ya que se sabía desde hacía tiempo que los grupos compactos y las álgebras de Lie semisimples son objetos "rígidos", es decir, no pueden " deformarse ". Una de las ideas subyacentes a los grupos cuánticos es que, si consideramos una estructura equivalente pero de mayor tamaño, como un álgebra de grupo o un álgebra envolvente universal , entonces un álgebra de grupo o un álgebra envolvente puede "deformarse", aunque la deformación ya no seguirá siendo un álgebra de grupo o un álgebra envolvente. Más precisamente, la deformación puede realizarse dentro de la categoría de álgebras de Hopf que no requieren ser conmutativas ni cocommutativas . Se puede pensar en el objeto deformado como un álgebra de funciones en un "espacio no conmutativo", en la línea de la geometría no conmutativa de Alain Connes . Esta intuición, sin embargo, surgió después de que ciertas clases de grupos cuánticos ya hubieran demostrado su utilidad en el estudio de la ecuación cuántica de Yang-Baxter y el método de dispersión inversa cuántica desarrollados por la Escuela de Leningrado ( Ludwig Faddeev , Leon Takhtajan , Evgeny Sklyanin , Nicolai Reshetikhin y Vladimir Korepin ) y trabajos relacionados de la Escuela Japonesa. ^{[ 1 ]} La intuición detrás de la segunda clase de grupos cuánticos, bicrossproduct , era diferente y provenía de la búsqueda de objetos autoduales como una aproximación a la gravedad cuántica . ^{[ 2 ]}

grupos cuánticos del tipo Drinfeld-Jimbo

Un tipo de objetos comúnmente llamados "grupos cuánticos" apareció en el trabajo de Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una deformación del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple o, más generalmente, un álgebra de Kac-Moody , en la categoría de álgebras de Hopf . El álgebra resultante tiene una estructura adicional, lo que la convierte en un álgebra de Hopf cuasitriangular .

Sea A = ( a _ij ) la matriz de Cartan del álgebra de Kac-Moody, y sea q ≠ 0, 1 un número complejo, entonces el grupo cuántico, U _q ( G ), donde G es el álgebra de Lie cuya matriz de Cartan es A , se define como el álgebra asociativa unitaria con generadores k _λ (donde λ es un elemento de la red de pesos , es decir 2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) es un entero para todo i ), y e _i y f _i (para raíces simples , α _i ), sujeto a las siguientes relaciones:

{\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}

Y para i ≠ j tenemos las relaciones q -Serre, que son deformaciones de las relaciones de Serre :

{\begin{alineado}\sum _ {n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}

donde el q-factorial , el q-análogo del factorial ordinario , se define recursivamente usando el número q:

{\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}

En el límite cuando q → 1, estas relaciones se aproximan a las relaciones para el álgebra envolvente universal U ( G ), donde

k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{qq^{-1}}}\to t_{\lambda }

y t _λ es el elemento de la subálgebra de Cartan que satisface ( t _λ , h ) = λ ( h ) para todo h en la subálgebra de Cartan.

Existen varios coproductos coasociativos bajo los cuales estas álgebras son álgebras de Hopf, por ejemplo:

{\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}

donde el conjunto de generadores se ha extendido, si es necesario, para incluir k _λ para λ que se puede expresar como la suma de un elemento de la red de pesos y la mitad de un elemento de la red de raíces .

Además, cualquier álgebra de Hopf conduce a otra con coproducto invertido T o Δ, donde T viene dado por T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x , lo que da tres versiones posibles más.

La counidad en U _q ( A ) es la misma para todos estos coproductos: ε ( k _λ ) = 1, ε ( e _i ) = ε ( f _i ) = 0, y los respectivos antípodas para los coproductos anteriores están dados por

{\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}

Alternativamente, el grupo cuántico U _q ( G ) puede considerarse como un álgebra sobre el campo C ( q ), el campo de todas las funciones racionales de una indeterminada q sobre C .

De manera similar, el grupo cuántico U _q ( G ) puede considerarse como un álgebra sobre el cuerpo Q ( q ), el cuerpo de todas las funciones racionales de una indeterminada q sobre Q (véase más adelante en la sección sobre grupos cuánticos en q = 0). El centro del grupo cuántico puede describirse mediante un determinante cuántico.

Teoría de la representación

Así como existen muchos tipos diferentes de representaciones para las álgebras de Kac-Moody y sus álgebras envolventes universales, también existen muchos tipos diferentes de representación para los grupos cuánticos.

Como ocurre con todas las álgebras de Hopf, U _q ( G ) tiene una representación adjunta sobre sí misma como módulo, cuya acción viene dada por

\mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),

dónde

\Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.

Caso 1: q no es una raíz de la unidad.

Un tipo importante de representación es una representación ponderada, y el módulo correspondiente se llama módulo ponderado. Un módulo ponderado es un módulo con una base de vectores ponderados. Un vector ponderado es un vector no nulo v tal que k _λ · v = d _λ v para todo λ , donde d _λ son números complejos para todos los pesos λ tales que

d_{0}=1,

d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },

para todos los pesos λ y μ .

Un módulo de peso se denomina integrable si las acciones de e _i y f _i son localmente nilpotentes (es decir, para cualquier vector v en el módulo, existe un entero positivo k , posiblemente dependiente de v , tal que $e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0$ para todo i ). En el caso de módulos integrables, los números complejos d _λ asociados a un vector de pesos satisfacen $d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}$ donde ν es un elemento de la red de pesos y c _λ son números complejos tales que

$c_{0}=1,$
$c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },$ para todos los pesos λ y μ ,
$c_{2\alpha _{i}}=1$ para todos yo .

De especial interés son las representaciones de peso máximo y los módulos de peso máximo correspondientes. Un módulo de peso máximo es un módulo generado por un vector de peso v , sujeto a k _λ · v = d _λ v para todos los pesos μ , y e _i · v = 0 para todo i . De manera similar, un grupo cuántico puede tener una representación de peso mínimo y un módulo de peso mínimo, es decir, un módulo generado por un vector de peso v , sujeto a k _λ · v = d _λ v para todos los pesos λ , y f _i · v = 0 para todo i .

Defina un vector v que tenga peso ν si $k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v$ para todos los λ en la red de pesos.

Si G es un álgebra de Kac-Moody, entonces en cualquier representación irreducible de peso máximo de U _q ( G ), con peso máximo ν, las multiplicidades de los pesos son iguales a sus multiplicidades en una representación irreducible de U ( G ) con igual peso máximo. Si el peso máximo es dominante e integral (un peso μ es dominante e integral si μ satisface la condición de que $2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})$ es un entero no negativo para todo i ), entonces el espectro de peso de la representación irreducible es invariante bajo el grupo de Weyl para G , y la representación es integrable.

Por el contrario, si un módulo de peso máximo es integrable, entonces su vector de peso máximo v satisface $k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v$ donde c _λ · v = d _λ v son números complejos tales que

$c_{0}=1,$
$c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },$ para todos los pesos λ y μ ,
$c_{2\alpha _{i}}=1$ para todos yo ,

y ν es dominante e integral.

Como ocurre con todas las álgebras de Hopf, el producto tensorial de dos módulos es otro módulo. Para un elemento x de U _q (G) , y para vectores v y w en los módulos respectivos, x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ), de modo que $k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w$ y en el caso del coproducto Δ ₁ , $e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w$ y $f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.$

El módulo integrable de mayor peso descrito anteriormente es un producto tensorial de un módulo unidimensional (en el que k _λ = c _λ para todo λ , y e _i = f _i = 0 para todo i ) y un módulo de mayor peso generado por un vector no nulo v ₀ , sujeto a $k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}$ para todos los pesos λ y $e_{i}\cdot v_{0}=0$ para todos yo .

En el caso específico en que G es un álgebra de Lie de dimensión finita (como un caso especial de un álgebra de Kac-Moody), entonces las representaciones irreducibles con pesos enteros máximos dominantes también son de dimensión finita.

En el caso de un producto tensorial de módulos de peso máximo, su descomposición en submódulos es la misma que para el producto tensorial de los módulos correspondientes del álgebra de Kac-Moody (los pesos máximos son los mismos, al igual que sus multiplicidades).

Caso 2: q es una raíz de la unidad

Cuasitriangularidad

Caso 1: q no es una raíz de la unidad.

Estrictamente, el grupo cuántico U _q ( G ) no es cuasitriangular, pero puede pensarse como "casi cuasitriangular" en el sentido de que existe una suma formal infinita que desempeña el papel de una matriz R. Esta suma formal infinita se puede expresar en términos de los generadores e _i y f _i , y los generadores de Cartan t _λ , donde k _λ se identifica formalmente con q ^{t _λ} . La suma formal infinita es el producto de dos factores,

q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}

y una suma formal infinita, donde λ _j es una base para el espacio dual de la subálgebra de Cartan, y μ _j es la base dual, y η = ±1.

La suma infinita formal que desempeña el papel de la matriz R tiene una acción bien definida sobre el producto tensorial de dos módulos irreducibles de peso máximo, y también sobre el producto tensorial de dos módulos de peso mínimo. Específicamente, si v tiene peso α y w tiene peso β , entonces

q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,

y el hecho de que los módulos sean ambos módulos de mayor peso o ambos módulos de menor peso reduce la acción del otro factor sobre v ⊗ W a una suma finita.

Específicamente, si V es un módulo de peso máximo, entonces la suma infinita formal, R , tiene una acción bien definida e invertible sobre V ⊗ V , y este valor de R (como un elemento de End( V ⊗ V )) satisface la ecuación de Yang-Baxter , y por lo tanto nos permite determinar una representación del grupo de trenzas y definir cuasi-invariantes para nudos , enlaces y trenzas .

Caso 2: q es una raíz de la unidad

Grupos cuánticos en q = 0

Masaki Kashiwara ha investigado el comportamiento límite de los grupos cuánticos cuando q → 0, y ha encontrado una base particularmente bien comportada llamada base cristalina .

Descripción y clasificación por sistemas radiculares y diagramas de Dynkin.

Se ha avanzado considerablemente en la descripción de cocientes finitos de grupos cuánticos como el U _q ( g ) anterior para q ⁿ = 1; normalmente se considera la clase de álgebras de Hopf con punto , lo que significa que todos los comodulos simples izquierdos o derechos son unidimensionales y, por lo tanto, la suma de todas sus subcoalgebras simples forma un álgebra de grupo llamada coradical :

En 2002, H.-J. Schneider y N. Andruskiewitsch ^{[ 3 ]} terminaron su clasificación de álgebras de Hopf con punto central con un grupo corradical abeliano (excluyendo los primos 2, 3, 5, 7), especialmente porque los cocientes finitos anteriores de U _q ( g ) se descomponen en E ′s (parte de Borel), F ′s duales y K ′s (álgebra de Cartan) al igual que las álgebras de Lie semisimples ordinarias :

\left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }

Aquí, como en la teoría clásica, V es un espacio vectorial trenzado de dimensión n generado por los E ', y σ (un llamado giro cocíclico) crea el vínculo no trivial entre los E ' y los F '. Nótese que, a diferencia de la teoría clásica, pueden aparecer más de dos componentes vinculadas. El papel del álgebra de Borel cuántica lo asume un álgebra de Nichols.

{\mathfrak {B}}(V)

del espacio vectorial trenzado.

Diagrama de Dynkin generalizado para un álgebra de Hopf puntiaguda que enlaza cuatro copias A3

Un ingrediente crucial fue la clasificación de I. Heckenberger de las álgebras de Nichols finitas para grupos abelianos en términos de diagramas de Dynkin generalizados . ^{[ 4 ]} Cuando hay primos pequeños, aparecen algunos ejemplos exóticos, como un triángulo (véase también la figura de un diagrama de Dynkin de rango 3).

Mientras tanto, Schneider y Heckenberger ^{[ 5 ]} han demostrado en general la existencia de un sistema de raíces aritméticas también en el caso no abeliano, generando una base PBW como demostró Kharcheko en el caso abeliano (sin la suposición de dimensión finita). Esto puede usarse ^[⁶^] en casos específicos U _q ( g ) y explica, por ejemplo, la coincidencia numérica entre ciertas subálgebras coideales de estos grupos cuánticos y el orden del grupo de Weyl del álgebra de Lie g .

grupos cuánticos de matriz compacta

SL Woronowicz introdujo los grupos cuánticos matriciales compactos. Los grupos cuánticos matriciales compactos son estructuras abstractas en las que las "funciones continuas" sobre la estructura vienen dadas por elementos de un álgebra C* . La geometría de un grupo cuántico matricial compacto es un caso especial de una geometría no conmutativa .

Las funciones continuas de valor complejo en un espacio topológico compacto de Hausdorff forman un álgebra C* conmutativa. Por el teorema de Gelfand , un álgebra C* conmutativa es isomorfa al álgebra C* de funciones continuas de valor complejo en un espacio topológico compacto de Hausdorff, y el espacio topológico está determinado unívocamente por el álgebra C* salvo homeomorfismo .

Para un grupo topológico compacto , G , existe un homomorfismo de C*-álgebra Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (donde C ( G ) ⊗ C ( G ) es el producto tensorial de C*-álgebra, la completación del producto tensorial algebraico de C ( G ) y C ( G )), tal que Δ( f )( x , y ) = f ( xy ) para todo f ∈ C ( G ), y para todo x , y ∈ G (donde ( f ⊗ g )( x , y ) = f ( x ) g ( y ) para todo f , g ∈ C ( G ) y todo x , y ∈ G ). También existe una aplicación multiplicativa lineal κ : C ( G ) → C ( G ), tal que κ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ ) para todo f ∈ C ( G ) y todo x ∈ G . Estrictamente, esto no convierte a C ( G ) en un álgebra de Hopf, a menos que G sea finito. Por otro lado, una representación de dimensión finita de G puede usarse para generar una *-subálgebra de C ( G ) que también es un *-álgebra de Hopf. Específicamente, si $g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}$ es una representación n -dimensional de G , entonces para todo i , j u _ij ∈ C ( G ) y

\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.

De ello se deduce que el *-álgebra generada por u _ij para todo i, j y κ ( u _ij ) para todo i, j es un *-álgebra de Hopf: la counidad está determinada por ε( u _ij ) = δ _ij para todo i, j (donde δ _ij es la delta de Kronecker ), el antípoda es κ y la unidad está dada por

1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.

Definición general

Como generalización, un grupo cuántico de matriz compacta se define como un par ( C , u ), donde C es un álgebra C* y $u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$ es una matriz con entradas en C tales que

La *-subálgebra, C ₀ , de C , que es generada por los elementos de matriz de u , es densa en C ;

Existe un homomorfismo de C*-álgebra llamado comultiplicación Δ: C → C ⊗ C (donde C ⊗ C es el producto tensorial de C*-álgebra, la completación del producto tensorial algebraico de C y C ) tal que para todo i, j se cumple:

\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}

Existe una aplicación antimultiplicativa lineal κ: C ₀ → C ₀ (la inversa de la moneda) tal que κ ( κ ( v *)*) = v para todo v ∈ C ₀ y

\sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,

donde I es el elemento identidad de C. Dado que κ es antimultiplicativo, entonces κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) para todo v , w en C ₀ .

Como consecuencia de la continuidad, la comultiplicación en C es coasociativa.

En general, C no es una bialgebra, y C ₀ es un álgebra de Hopf *.

De manera informal, C puede considerarse como el *-álgebra de funciones continuas de valor complejo sobre el grupo cuántico de matrices compactas, y u puede considerarse como una representación de dimensión finita del grupo cuántico de matrices compactas.

Representaciones

Una representación del grupo cuántico de matrices compactas viene dada por una correpresentación del álgebra de Hopf * (una correpresentación de una coálgebra coasociativa counitaria A es una matriz cuadrada). $v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$ con entradas en A (de modo que v pertenece a M( n , A )) tales que

\Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}

para todo i , j y ε ( v _ij ) = δ _ij para todo i, j ). Además, una representación v se denomina unitaria si la matriz para v es unitaria (o equivalentemente, si κ( v _ij ) = v* _ij para todo i , j ).

Ejemplo

Un ejemplo de un grupo cuántico de matriz compacta es SU _μ (2), donde el parámetro μ es un número real positivo. Entonces SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), u ), donde C(SU _μ (2)) es el álgebra C* generada por α y γ, sujeta a

\gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,

\alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,

\alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,

\alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,

y

u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),

de modo que la comultiplicación está determinada por ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*, y el coinverso está determinado por κ(α) = α*, κ(γ) = −μ ⁻¹ γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. Tenga en cuenta que u es una representación, pero no una representación unitaria. u es equivalente a la representación unitaria

v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).

Equivalentemente, SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), w ), donde C(SU _μ (2)) es el álgebra C* generada por α y β, sujeta a

\beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,

\alpha \beta =\mu \beta \alpha ,

\alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,

\alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,

y

w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),

de modo que la comultiplicación está determinada por ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α*, y el coinverso está determinado por κ(α) = α*, κ(β) = −μ ⁻¹ β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. Tenga en cuenta que w es una representación unitaria. Las realizaciones se pueden identificar equiparando $\gamma ={\sqrt {\mu }}\beta$ .

Cuando μ = 1, entonces SU _μ (2) es igual al álgebra C (SU(2)) de funciones en el grupo compacto concreto SU(2).

grupos cuánticos de bicrossproduct

Mientras que los pseudogrupos de matrices compactas suelen ser versiones de los grupos cuánticos de Drinfeld-Jimbo en una formulación de álgebra de función dual, con estructura adicional, los de biproducto cruzado constituyen una segunda familia distinta de grupos cuánticos de creciente importancia como deformaciones de grupos de Lie resolubles en lugar de semisimples. Están asociados a descomposiciones de Lie de álgebras de Lie o factorizaciones locales de grupos de Lie y pueden considerarse como el producto cruzado o la cuantización de Mackey de uno de los factores que actúa sobre el otro para el álgebra, y una historia similar para el coproducto Δ, donde el segundo factor actúa de nuevo sobre el primero.

El ejemplo no trivial más simple corresponde a dos copias de R que actúan localmente una sobre la otra y da como resultado un grupo cuántico (dado aquí en forma algebraica) con generadores p , K , K ^-1 , por ejemplo, y coproducto

[p,K]=hK(K-1)

\Delta p=p\otimes K+1\otimes p

\Delta K=K\otimes K

donde h es el parámetro de deformación.

Este grupo cuántico se vinculó a un modelo de juguete de la física a escala de Planck que implementa la reciprocidad de Born cuando se considera como una deformación del álgebra de Heisenberg de la mecánica cuántica. Además, partiendo de cualquier forma real compacta de un álgebra de Lie semisimple g, su complejización como un álgebra de Lie real del doble de dimensión se divide en g y un cierto álgebra de Lie resoluble (la descomposición de Iwasawa ), y esto proporciona un grupo cuántico de bicruzproducto canónico asociado a g . Para su (2) se obtiene una deformación de grupo cuántico del grupo euclidiano E(3) de movimientos en 3 dimensiones.

Véase también

Notas

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↑ Andruskiewitsch, Schneider: Álgebras de Hopf puntiagudas, Nuevas direcciones en álgebras de Hopf, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.
↑ Heckenberger: Álgebras de Nichols de tipo diagonal y sistemas de raíces aritméticas, tesis de habilitación 2005.
^ Heckenberger, Schneider: Sistema de raíces y gruppoide de Weyl para álgebras de Nichols, 2008.
↑ Heckenberger, Schneider: Subálgebras coideales derechas de álgebras de Nichols y el orden de Duflo del grupoide de Weyl, 2009.

Referencias

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[1] Schwiebert, Christian (1994), Dispersión inversa cuántica generalizada , pág. 12237, arXiv : hep-th/9412237v3 , Bibcode : 1994hep.th...12237S

[2] Majid, Shahn (1988), "Álgebras de Hopf para la física a escala de Planck", Classical and Quantum Gravity , 5 (12): 1587–1607 , Bibcode : 1988CQGra...5.1587M , CiteSeerX 10.1.1.125.6178 , doi : 10.1088/0264-9381/5/12/010

[3] Andruskiewitsch, Schneider: Álgebras de Hopf puntiagudas, Nuevas direcciones en álgebras de Hopf, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.

[4] Heckenberger: Álgebras de Nichols de tipo diagonal y sistemas de raíces aritméticas, tesis de habilitación 2005.

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